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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破五 三角形角平分线探究问题【压轴题】（20道）
1．(24-25八上·甘肃张掖山丹县·期中)和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系．
小明是这样做的：
解：如图（2）以点为端点作射线，
是的外角，，
同理，
，
即，
小英的思路是：如图延长交于点．
(1)按小英的思路完成这一结论．
(2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明．
2．(24-25七下·山西临汾曲沃县·期末)在中，已知．
(1)如图1，的平分线相交于点D．
①当时， 度；
②时， 度；
③猜测与的数量关系，并加以证明．
(2)如图2，若的平分线与和相邻外角的角平分线交于点F，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)在（2）的条件下，将以直线为对称轴翻折得到的角平分线与的角平分线交于点M（如图3），用含的代数式表示的度数（直接写出结果）．
3．（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ．
（2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论．
（3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由．
4．(24-25八下·山东济宁实验初中·月考)如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”．
(1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你利用结论，解决下列问题：
①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度．
②如图③，平分，平分，若的度数是_________．
5．(24-25七下·山东淄博张店区柳泉中学·月考)【问题】如图1，在中，平分，平分，
（1）若，则_______；
（2）若，则_______．
【探究】
（1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______；
（2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由；
6．(23-24八上·山东临沂罗庄区临沂沂堂中学·期中)如图，已知：点是内一点，，分别平分，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图①，求证：大于；
(3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由．
7．(25-26八上·河北邯郸广平县广平县实验中学·)如图1，已知，两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．为三条内角平分线的交点，连接．
(1)如图2，当，求的度数；
(2)①下列不随点位置的变化而变化的是______；（多选）
A． B． C．
②在点的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
(3)如图3，连接并延长，与的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数．
8．(24-25七下·河北廊坊三河润德学校·月考)如图1，已知直线，点在直线上，点，在直线上，连接，，，，平分，平分，与相交于点．
(1)直接写出度数： ______，______．
(2)若将图1中的线段沿向右平移到，如图2所示位置，此时平分，平分，与相交于点，，，求的度数．
(3)若将图1中的线段沿向左平移到，如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时的度数（直接写结果）．
9．(24-25七下·广东佛山南海区桂城街道·期末)（1）如图①，已知线段，相交于点，连接，，可以得到、、、的关系式是______．
（2）如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．猜测，，之间的关系，并证明你的结论．
（3）若和的三等分线和相交于点，与，分别交于点，，其中，，则，，之间又有怎样的数量关系，并说明理由．
10．如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：
(1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________．
(2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N．
①若，，求的度数；
②探究与、之间有何等量关系，并说明理由．
11．(24-25九下·山东青岛第六十一中学·月考)我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)问题再现：
如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______．
(2)问题推广：
①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______．
②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______．
12．如图①，在中，，三个内角平分线交于点O，的外角的角平分线交的延长线于点F．
【问题初探】
（1）的度数为，的度数为；
【问题再探】
（2）如图②，过点O作．[可直接使用问题（1）中的结论]
①求的度数；
②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）若，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度β与α之间的关系．
13.小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究．
【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：；
【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由．
14．（）如图，，点在之间，且在的左侧平面区域内一点，连结．求证：．
（）如图，在（）的条件下，作出和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，并证明你的猜想．
（）如图，在（）的条件下，作出的平分线和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，不用证明，直接写结论．
15．(24-25七下·江苏镇江句容·期末)（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请证明；
【简单应用】
（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，且，，求的度数．
16．(24-25七下·江苏无锡积余实验学校·月考)【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在中，，若的三分线交于点D，则 °；
（2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
【延伸推广】
（3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与三分线所在的直线交于点P．若，，则 °．（用含x、y的代数式表示）
17．(24-25七下·四川广安友实学校·期末)已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题：
(1)在图中，试说明：．
(2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数；
(3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系．
18．(23-24七下·甘肃兰州第三十五中学·期末)在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若，则 ．
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，求与之间的数量关系；
(3)【拓展提升】如图3，在四边形中， ，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，求和，之间的数量关系．
19．(24-25七·江苏六合高级中学附属初级中学·月考)【概念认识】
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 ；
（2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
【延伸推广】
（3）如图④，直线、交于点，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，，直接写出的度数．
20．(24-25七下·吉林实验繁荣学校·月考)我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
(1)【性质理解】
如图2，点E在线段上，在“对顶三角形”与中，，，求证：；
(2)【性质应用】
如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大，求的度数是__________；
(3)【拓展提高】
如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点．
①若，则的度数是__________．
②设，则的度数是__________．（结果用含的式子表示）．中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破五 三角形角平分线探究问题【压轴题】（20道）
1．(24-25八上·甘肃张掖山丹县·期中)和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系．
小明是这样做的：
解：如图（2）以点为端点作射线，
是的外角，，
同理，
，
即，
小英的思路是：如图延长交于点．
(1)按小英的思路完成这一结论．
(2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)与的关系：；证明见解析
【分析】本题考查了三角形外角性质的运用，三角形内角和定理应用，角平分线性质，解题时注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（1）依据三角形外角性质，即可得到，，进而得出；
（2）依据、分别是与的角平分线，即可得出，，再根据三角形内角和定理，即可得到．
【详解】（1）证明：如图（3），延长交于，
是的外角，
∴，
同理可得，
∴；
（2）解：与的关系：，
证明：、分别是与的角平分线，
，，
∴
．
2．(24-25七下·山西临汾曲沃县·期末)在中，已知．
(1)如图1，的平分线相交于点D．
①当时， 度；
②时， 度；
③猜测与的数量关系，并加以证明．
(2)如图2，若的平分线与和相邻外角的角平分线交于点F，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)在（2）的条件下，将以直线为对称轴翻折得到的角平分线与的角平分线交于点M（如图3），用含的代数式表示的度数（直接写出结果）．
【答案】(1) ；40； ，证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．
（1）①由三角形内角和定理、角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求；②求出，即可得到答案；③由三角形内角和定理和角平分线，采用①的推导方法即可求解；
（2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解；
（3）由折叠的对称性得，结合（1）的结论可得答案．
【详解】（1）①∵的平分线相交于点D．
∴，，
∴
故答案为：
②∵
∴
∵的平分线相交于点D．
∴，，
∴
∴
故答案为：40
③
证明：∵，，
∴
．
（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE
∴，，
∴＝
即．
（3）由轴对称性质知： ，
由（1）③可得，
∴．
3．（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ．
（2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论．
（3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2），见解析；
（3），见解析．
【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答；
（2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可；
（3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解．
【详解】解：（1）在中，，
在中，，
又，
，
故答案为：；
（2）之间的数量关系是：，证明如下：
和的平分线和相交于点P，
设，，
由（1）的结论：在和中，
，即，
由（1）的结论：在和中，
，即，
得：，
；
（3）之间的数量关系是：，理由如下：
设，
，
由（1）的结论：在和中，
，即，
由（1）的结论：在和中，
，即，
，
，
整理得：．
4．(24-25八下·山东济宁实验初中·月考)如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”．
(1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你利用结论，解决下列问题：
①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度．
②如图③，平分，平分，若的度数是_________．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
（1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案．
（2）①由可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，因为，即可求解；
②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此．
【详解】（1）解：如图，连接并延长至点，
根据外角的性质，可得，，
又 ∵，
．
（2）解：①由（1）可得，，
∵、的平分线交于点P，
∴，，
∴，
又 ∵，
．
②由（1）可得，，
，
又 ∵平分平分，
，
．
5．(24-25七下·山东淄博张店区柳泉中学·月考)【问题】如图1，在中，平分，平分，
（1）若，则_______；
（2）若，则_______．
【探究】
（1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______；
（2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由；
【答案】【问题】（1）；（2）；【探究】（1）；（2），理由见解析
【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；（2）将的度数换成，然后求解即可；
探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解；
【详解】问题：（1）解：，
，
平分，平分，
，，
，
；
故答案为：
（2）由三角形的内角和定理得，，
平分，平分，
，，
，
；
故答案为：
探究：（1）由三角形的内角和定理得，，
，三等分，，三等分，
，，
，
；
故答案为：；
（2）．
理由如下：由三角形的外角性质得，，
，
是与外角的平分线和的交点，
，，
，
，
；
6．(23-24八上·山东临沂罗庄区临沂沂堂中学·期中)如图，已知：点是内一点，，分别平分，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图①，求证：大于；
(3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解；
（2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证；
（3）根据角平分线的定义可得 ，再根据三角形的内角和即可解答．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∴；
（2）解：延长交于D，如图所示：
∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵的外角，的角平分线交于点Q，
∴，，
∴
，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
7．(25-26八上·河北邯郸广平县广平县实验中学·)如图1，已知，两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．为三条内角平分线的交点，连接．
(1)如图2，当，求的度数；
(2)①下列不随点位置的变化而变化的是______；（多选）
A． B． C．
②在点的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
(3)如图3，连接并延长，与的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)①A、B、C；②不变；
(3)在中有一个角是另一个角的倍时，为或
【分析】（1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据，即可；
（2）①根据邻补角，三角形内角和定理逐项进行判断即可；
②根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可；
（3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可．
【详解】（1）解：∵点为三条内角平分线交点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：①A．，即不随点位置的变化而变化，故A符合题意；
B．，即不随点位置的变化而变化，故B符合题意；
C．
，
即不随点位置的变化而变化，故C符合题意；
②不变，理由如下：
∵点为三条内角平分线交点，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵点为三条内角平分线交点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
在中有一个角是另一个角的倍，
∴ ，
∴，
解得：，
∴；
，
∴，
解得：，
∴；
，
∴，
解得：，
∴；
，
∴，
解得：（舍去）；
∴在中有一个角是另一个角的倍时，为或．
【点睛】本题考查三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质．
8．(24-25七下·河北廊坊三河润德学校·月考)如图1，已知直线，点在直线上，点，在直线上，连接，，，，平分，平分，与相交于点．
(1)直接写出度数： ______，______．
(2)若将图1中的线段沿向右平移到，如图2所示位置，此时平分，平分，与相交于点，，，求的度数．
(3)若将图1中的线段沿向左平移到，如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时的度数（直接写结果）．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平移的性质，平行线的性质，正确应用相关知识是解题关键．
（1）由直线，，，可求出，的度数，由平分，平分，可求出，的度数，进而求出，得出答案；
（2）线段沿向右平移到，类比（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出以及的度数得出答案；
（3）过点作，类比（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出和的度数，进而得出答案．
【详解】（1）解：（1）如图所示：
直线，，，
，，
，
平分，
，
，
平分，
，
；
故答案为：，；
（2）如图所示：
，线段沿向右平移到，，
，
，
平分，
，
，，
，，
平分，
，
；
（3）如图所示：
过点作，
，线段沿向左平移到，，
，
平分，
，
，，
，
平分，
，
．
9．(24-25七下·广东佛山南海区桂城街道·期末)（1）如图①，已知线段，相交于点，连接，，可以得到、、、的关系式是______．
（2）如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．猜测，，之间的关系，并证明你的结论．
（3）若和的三等分线和相交于点，与，分别交于点，，其中，，则，，之间又有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），证明见解析，（3），理由见解析
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
（1）由三角形内角和定理得，，再根据即可得出、、、的关系式；
（2）根据角平分线定义设，，由的结论得，，即，，即可得出，，之间的数量关系；
（3）设，，则，，由（1）的结论得，，即，，由此即可得出，，之间的数量关系．
【详解】（1）在中，，
在中，，
又，
，
故答案为：；
（2），，之间的数量关系是：，证明如下：
和的平分线和相交于点，
设，，
由（1）的结论：在和中，，
即，
由（1）的结论：在和中，，
即，
得：，
，
（3），，之间的数量关系是：，理由如下：
设，，
，，
由（1）的结论：在和中，，
即，
由（1）的结论：在和中，，
即，
，
，
整理得：．
10．如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：
(1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________．
(2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N．
①若，，求的度数；
②探究与、之间有何等量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②；理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．
（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；
（2）①根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
②根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证．
【详解】（1）解：，，
又∵，
；
（2）解：①，，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
又，
；
②；理由如下：
根据“8字形”数量关系，，，
∴，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
整理得，，
．
11．(24-25九下·山东青岛第六十一中学·月考)我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)问题再现：
如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______．
(2)问题推广：
①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______．
②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
（1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可；
（2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可；
②同理①求解即可．
【详解】（1）解：、的角平分线交于点，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：①如图所示：
，，
，
由折叠可知：，，
，
，
，
，
、的角平分线交于点，
，
，
，
，
故答案为：；
②，，，
，
，
由折叠可知：，，
，
，
，
，
、的角平分线交于点，
、的角平分线交于点，
，
，
，
，
故答案为：．
12．如图①，在中，，三个内角平分线交于点O，的外角的角平分线交的延长线于点F．
【问题初探】
（1）的度数为，的度数为；
【问题再探】
（2）如图②，过点O作．[可直接使用问题（1）中的结论]
①求的度数；
②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）若，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度β与α之间的关系．
【答案】（2）①；②，理由见解析；（3）或
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识．
（2）①根据两个三角形有两个同角相等，则第三个角也相等即可求解；
②由，根据同位角相等两直线平行即可得；
（3）由题意得；过点C作，分点在射线上与点在射线上两种情况考虑即可求解．
【详解】解：（2）①∵在中，，
∴．
②，
理由：∵，
∴，
∴．
(3)若，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到，
∵平分，
∴；
如图，过点C作；
当点在射线上时，
∵，
∴，
∴；
当点在射线上时，
∵，
∴，
∴．
综上，或．
13小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究．
【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：；
【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】习题回顾：证明见解析；变式思考：相等，理由见解析；探究延伸：，理由见解析
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
习题回顾：先证明，，再利用三角形的外角的性质可得：，，从而可得结论；
变式思考： 先证明，，结合， 可得；
探究延伸： 先证明，， 可得， 结合，，，， 可得， 从而可得答案．
【详解】习题回顾：证明：∵，是高，
∴，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，，
∴；
变式思考：，
证明：∵为的角平分线，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
探究延伸：，
证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴．
14．（）如图，，点在之间，且在的左侧平面区域内一点，连结．求证：．
（）如图，在（）的条件下，作出和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，并证明你的猜想．
（）如图，在（）的条件下，作出的平分线和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，不用证明，直接写结论．
【答案】
（）见解析；
（），证明见解析；
（）
【分析】（）利用平行线的性质即可得出结论；
（）先判断出，进而得出，最后用三角形的内角和即可得出结论；
（）先由（）知，，再利用角平分线的定义和三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：（）如图，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（），证明如下：
由（）知，，
∵，
∴，
∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∴，
在中，
，
即；
（），证明如下：
由（）知，，
∵是的平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，来证明和猜想角度之间的关系．通过作辅助线和利用已知条件，逐步推导出所需的结论．
15．(24-25七下·江苏镇江句容·期末)（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请证明；
【简单应用】
（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，且，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质，构造二元一次方程组求解，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题．
（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到，，列方程组即可得到结论；
（3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，进一步结合完全平方公式即可解决问题.
【详解】（1）证明：在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如图2，
、分别平分，，
，，
由（1）的结论得： ，
①②，得，
；
（3）解：如图3，
平分的外角，平分的外角，
，，
，，
，
∴，
，
∴，
∴得，，
，
∵，
∴，
即（负值舍去），
.
16．(24-25七下·江苏无锡积余实验学校·月考)【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在中，，若的三分线交于点D，则 °；
（2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
【延伸推广】
（3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与三分线所在的直线交于点P．若，，则 °．（用含x、y的代数式表示）
【答案】（1）或；（2）；（3）或或或或．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三等分线，
对于（1），分两种情况：当是“邻三分线”时，根据三角形外角的性质可得，进而得出答案；当是“邻三分线”时，结合可得答案；
对于（2），先根据三角形内角和定理得，再根据三分线的定义可得，进而求出，最后根据三角形内角和定理求出答案；
对于（3），分为四种情况：
情况一：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据可得答案；
情况二：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据可得答案；
情况三：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
当时，根据可得答案；
当时，根据可得答案；
情况四：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据可得答案.
【详解】解：（1）如图，
当是“邻三分线”时，
∵，
∴；
当是“邻三分线”时，
∵，
∴；
综上所述，或.
故答案为：或；
（2）如图，
∵，
∴，
∵分别是邻三分线和邻三分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）分为四种情况：
情况一：如图1，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可得：，
∴；
情况二：如图2，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可知：，
∴；
情况三：
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
当时，如图3，
由外角可得：，
∴；
当时，如图4，
由外角及对顶角可得：，
∴；
情况四、如图5，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由外角可得：，
∴；
综合上述：的度数是或或或或．
故答案为：或或或或．
17．(24-25七下·四川广安友实学校·期末)已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题：
(1)在图中，试说明：．
(2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数；
(3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论；
（2）根据角平分线的定义得出，，由（1）得，，两式相加即可得答案，
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【详解】（1）解：∵线段、相交于点，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：由（1）可知：，，
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵和的平分线和相交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
18．(23-24七下·甘肃兰州第三十五中学·期末)在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若，则 ．
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，求与之间的数量关系；
(3)【拓展提升】如图3，在四边形中， ，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，求和，之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)当点F在点E左侧时， ；当点F在点D，E之间时，；当点F在点D的右侧，
【分析】此题主要考查了角平分线定义，平行线性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握角平分线定义，平行线性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点．
（1）由角平分线定义得，再由三角形内角和定义得，则，然后由三角形内角和定理得，由此可得的度数；
（2）设，由角平分线性质得，则，再由得，由此得，然后由得，由此可得结论；
（3）分三种情况讨论如下：①当点F在点E左侧时；②当点F在点D，E之间时；③当点F在点D的右侧，根据角平分线定义结合三角形内角和定理可得出和α，β之间的数量关系，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）解：∵的角平分线交于点P，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）设，
∵的角平分线与的角平分线交于点P，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），
∴有以下三种情况：
①当点F在点E左侧时，如图所示：
∵，
∴，
∵的角平分线交于点Q，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
②当点F在点D，E之间时，如图所示：
同理得：，
∴，
∴，
∴；
③当点F在点D的右侧，如图所示：
同理得：，
∴，
综上所述：当点F在点E左侧时， ；当点F在点D，E之间时，；当点F在点D的右侧，．
19．(24-25七·江苏六合高级中学附属初级中学·月考)【概念认识】
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 ；
（2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
【延伸推广】
（3）如图④，直线、交于点，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，，直接写出的度数．
【答案】（1）或100；（2），（3）的度数为或或或．
【分析】（1）分为两种情况：当是“邻三分线”时，当是“邻三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可；
（2）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可；
（3）画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，③当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，④当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【详解】解：（1），，是的“三分线”，
，
，
或，
故答案为：或100；
（2）如题图③，，
，
，
、分别是邻三分线和邻三分线，
，，
，
，
；
（3）四种情况：
①如图1，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
②如图2，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
，，
由①知：，
同理得：，
；
③如图3，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
，，
由①知：，
同理得：，
；
④如图4，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
，，
由①知：，
同理得：，
；
综上，的度数为或或或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和新定义：三分线，“8字形”和分类讨论思想的运用是解题的关键．
20．(24-25七下·吉林实验繁荣学校·月考)我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
(1)【性质理解】
如图2，点E在线段上，在“对顶三角形”与中，，，求证：；
(2)【性质应用】
如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大，求的度数是__________；
(3)【拓展提高】
如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点．
①若，则的度数是__________．
②设，则的度数是__________．（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)①，②
【分析】（1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论；
（2）设， ，则，，可得，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解；
（3）①先求解，设，，可得，结合，即可得到结论．②设，，可得，结合，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵在“对顶三角形”与中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴；
（2）解：∵比大，，
∴设， ，则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：①∵，
∴，
∵，是的角平分线，
∴设，，
∴，即：，
∵和的平分线和相交于点P，
∴，，
∵，
∴．
②∵，是的角平分线，
∴设，，
∴，即：，
∵和的平分线和相交于点P，
∴，，
∵，
∴
即：．
