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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破七 全等三角形的判定【培优题】（20道）
1．(25-26八上·辽宁盘锦辽河油田实验中学·期末)在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点．
(1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：；
(2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：．
2．(24-25七下·陕西汉中勉县·期末)如图，，，点是边上一点，连接，连接并延长交的延长线于点．点是边上一点，连接，使得．
(1)试说明是的角平分线；
(2)若的角平分线交于点，，求的度数．
3．(24-25七下·山西太原迎泽区第三十七中学校·月考)在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②；
(2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由．
4．(20-21八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·月考)在中，，，直线经过点，，，垂足分别为．
(1)如图（）， 求证：；
(2)如图（） 将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由．
5．(24-25八上·吉林四平铁西区·期中)如图，和中，，，，边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧，I为的内角平分线交点．
(1)求证：；
(2)设，请用含x的式子表示，并求的最大值；
(3)请猜测和的数量关系，并说明理由；
(4)当时，请直接写出度数的取值范围．
6．(24-25八上·陕西西安陕西师范大学附中·月考)如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
7．(24-25八上·重庆南川区·期末)如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
8．(24-25八下·甘肃临夏回族永靖县·)如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，且，求的面积．
9．(25-26八上·山西太原志达中学校·)如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，．
(1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：；
(2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系．
10．如图：，
(1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
(2)连接，求证：平分．
11．如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．
(1)求证：；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
12．如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题：
(1)如图1，若，问，成立吗？说明理由．
(2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由．
13．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①；
②；
(2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．
14．(24-25七下·广东梅州兴宁宋声学校·月考)如图，已知，， 相交于点M，，．
(1)试说明：．
(2)试说明：．
(3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
15．(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证：
(1)；
(2)．
16．(24-25七下·四川成都龙泉驿区·期末)如图，，，，，交于点H，连接
(1)求证： ；
(2)求；用含的式子表示
(3)求证：平分
17．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为．
(1)求的长及的度数；
(2)分别连接，若的周长为，求的长．
18．如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点．
(1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由；
(2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由．
19．(24-25七下·广东佛山南海区瀚文外国语学校·月考)如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方）
(1)在线段上时，
如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系；
如图，连接交于点，若，求证：点为中点；
(2)连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示）
20．如图，中，分别是边上的点，．
(1)若，求证：；
(2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破七 全等三角形的判定【培优题】（20道）
1．(25-26八上·辽宁盘锦辽河油田实验中学·)在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点．
(1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：；
(2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）过点作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示：
在中，，，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
2．(24-25七下·陕西汉中勉县·期末)如图，，，点是边上一点，连接，连接并延长交的延长线于点．点是边上一点，连接，使得．
(1)试说明是的角平分线；
(2)若的角平分线交于点，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义和性质，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
（1）先根据，结合，等量代换得到，可证明，得到，根据得，进而等量代换得，由此根据角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据是的角平分线， 设，则，根据得，则，再根据平分得到，然后根据即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线；
（2）解：由（1）可知：是的角平分线，
设，则，
，
，
，
平分，
，
．
3．(24-25七下·山西太原迎泽区第三十七中学校·月考)在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)如图1，当在直线的同侧时，试说明：①；②；
(2)如图2，当直线与斜边相交时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出和正确的数量关系，不必说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)不成立；
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）①根据，．可得，再由，可得，从而得到，即可求证；
②根据，可得，，即可求证；
（2）证明方法同（1）可得，即可求解．
【详解】（1）证明：①∵，．（已知）
∴（垂直的定义）．
∵（已知）
∴，
又∵( 直角三角形的两个锐角互余 )
∴(同角的余角相等)
在和中，
∵，，，
∴；
②∵，
∴， ，(全等三角形，对应边相等)
∴ ；(等量代换)
（2）解：（1）中的结论②不成立．；
∵，．（已知）
∴（垂直的定义）．
∵（已知）
∴，
又∵( 直角三角形的两个锐角互余 )
∴ (同角的余角相等)
在和中
∵，，，
∴，
∴， (全等三角形，对应边相等)
∴ (等量代换)
4．(20-21八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·月考)在中，，，直线经过点，，，垂足分别为．
(1)如图（）， 求证：；
(2)如图（） 将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)仍然成立，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，三角形内角和定理，垂直定义，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
（）根据，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，进而即可得到结论；
（）由，则，得出，然后根据“”可证得，再利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
5．(24-25八上·吉林四平铁西区·期中)如图，和中，，，，边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧，I为的内角平分线交点．
(1)求证：；
(2)设，请用含x的式子表示，并求的最大值；
(3)请猜测和的数量关系，并说明理由；
(4)当时，请直接写出度数的取值范围．
【答案】(1)见解析；
(2)，3；
(3)，理由见解析；
(4)．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．
（1）三角形的性质得到，进而证明结论；
（2）根据垂线段最短解答；
（3）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（4）根据三角形的外角性质得到，得到，根据（3）的结论解答即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，
∴，
当时，最小，
在中，，
∴，即的最小值为，的最大值为：；
（3）解：，理由如下：
为的内角平分线交点，
∴、分别平分，，
∴，，
∴
；
（4）解：，，
，
∵
∴．
6．(24-25八上·陕西西安陕西师范大学附中·月考)如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，
（）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证；
（）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解；
【详解】（1）证明：，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
7．(24-25八上·重庆南川区·期末)如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）利用证明即可；
（2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵F为的中点，
∴，
又∵，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．(24-25八下·甘肃临夏回族永靖县·)如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，且，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
（1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；
（2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可．
【详解】（1）证明：，交的延长线于点，
．
，
．
，
．
如图，过点作于点于点，
平分，交的延长线于点，
．
，
平分，
，
．
，
平分；
（2）解：的面积的面积的面积，
，
，
，
，
，
的面积．
9．(25-26八上·山西太原志达中学校·)如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，．
(1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：；
(2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，需熟练掌握分类讨论的思想，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键．
（1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，即可证明；
（2）作于点M，分别证明，，根据全等三角形的性质解得即可；
（3）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：作于点D，如图，
∵是的平分线，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下，
作于点M，如图，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：点P在线段上时，此时，如图，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴，
即；
点P在线段的延长线上时，此时，
作于点M，如图，
∵，
∴，
由（2）知，，
∴，
即；
综上，或．
10．如图：，
(1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
(2)连接，求证：平分．
【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定，
（1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论；
（2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论；
【详解】（1）解：结论：，理由如下：
如图，设交于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图，作于P，于Q，
∵，
∴（全等三角形对应边上的高相等），
∵于P，于Q，
∴平分．
11．如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．
(1)求证：；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出；
（2）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解；
（3）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，，
．
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，，
．
12．如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题：
(1)如图1，若，问，成立吗？说明理由．
(2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由．
【答案】(1)成立，理由见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质；
（1）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证；
（2）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证．
【详解】（1）解：成立，理由如下：
，
，
，
，
，
（），
，，
．
（2）解：成立，理由如下：
，
，
，
，
．
，
，
，
（），
，，
．
13．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①；
②；
(2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．
（1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明；
（2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明：
（3）解题方法与（2）类似．
【详解】（1）证明①在中，，
，
于D ，于E，
，
，
，
，
；
② ，
，，
；
（2）证明：由（1）①同理可证，
，，
；
（3）解：，理由如下：
由（1）①同理可证，
，，
．
14．(24-25七下·广东梅州兴宁宋声学校·月考)如图，已知，， 相交于点M，，．
(1)试说明：．
(2)试说明：．
(3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)结论成立，结论不成立，见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键
（1）根据求得，推出，根据全等三角形的性质即可得到；
（2）利用全等三角形的性质，得出，再得出，进行证明即可；
（3）结论成立，结论不成立，同法可证，得出，，根据，得出与不垂直，进而可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）如图，设交于O，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）条件改为，则结论成立，结论不成立，
理由：同法可证，
∴，．
∵，
∴与不垂直，
∴结论成立，结论不成立，
15．(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，得，而，即可根据证明；
（2）由全等三角形的性质得，推导出，因为，且，所以，而，即可根据证明，得，则．
【详解】（1）证明：，，
．
在与中
．
（2）由（1）得，，
，．
，，
．
在和中
，
．
，
，
．
16．(24-25七下·四川成都龙泉驿区·期末)如图，，，，，交于点H，连接
(1)求证： ；
(2)求；用含的式子表示
(3)求证：平分
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）由，利用，即可证明；
（2）由，可得，继而求得；
（3）首先作于M，于N，由，可得，即可证得平分
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
又，
；
（3）证明：过点C作于M，于N，
，
，，
平分
17．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为．
(1)求的长及的度数；
(2)分别连接，若的周长为，求的长．
【答案】(1)的长是，的度数是
(2)的长是
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用线段垂直平分线的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和可以解答本题；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长及（1）中的长可以解答本题．
【详解】（1）解：∵在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为．
∴，，，，
∴，，，
∴，，
即的长是，的度数是；
（2）解：如图，
由题意可得，，，，
∴，
∵的周长为，
∴，
，
∴，
∴，
即的长是．
18．如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点．
(1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由；
(2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
（1）根据垂线性质得到，证明，得到，进而得出结论；
（2）通过证明，得到，结合，得到，从而得出（1）中结论不成立．
【详解】（1）解：于点，于点，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）（1）中结论不成立，理由如下：
，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
．
则不成立．
19．(24-25七下·广东佛山南海区瀚文外国语学校·月考)如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方）
(1)在线段上时，
如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系；
如图，连接交于点，若，求证：点为中点；
(2)连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示）
【答案】(1)证明见解析，；证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）通过全等三角形的对应边相等，可得结论；
过点作交于点，根据（）中结论可得，即可证明，可得，根据，推出，，即可解题；
（）过作于点，根据全等三角形的性质得到，进行求解.
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，且，
∴；
证明: 如图，过点作交于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴为的中点；
（2）解：如图中，过作于点，，，
由（）（）知：，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．如图，中，分别是边上的点，．
(1)若，求证：；
(2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形．
（1）证明即可；
（2）过点、分别作于点M，于点N，证明，得到，再结合条件可以证明，进而得到即可求解．
【详解】（1）解：如图1所示：
由三角形的外角定理可知：，
且，，
，
在和中，，
；
（2）解：成立，理由如下：
过点、分别作于点M，于点N，如图2所示：
，，
，
又，
在和中，
．
，
又，
，
，
又，．
．
即若，则此命题成立．
