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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破九 全等三角形的判定之动点问题（15道）
1．(24-25八下·山东济南莱芜区·期末)如图，在中，D为的中点，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是．
(1)在运动过程中，当点C位于线段的垂直平分线上时，求出t的值；
(2)在运动过程中，当时，求出t的值；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2．(24-25八上·吉林长春高新区慧仁学校·期末)如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
(1)求；
(2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有；
(3)当t取何值时，与全等；
(4)若，求．
3．(24-25七下·吉林长春第四十八中学·期中)如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当时，________cm，当时，________cm．
(2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度．
4．(24-25七下·山东青岛崂山区·期末)在长方形中，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．设运动时间为，解答下列问题：
(1)点C在垂直平分线上时，求t的值；
(2)当与全等时，求t的值；
(3)当时，求t的值．
5．如图，在中，，高、相交于点，，且．
(1)请说明的理由；
(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值；
(3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值．
6．(24-25七下·山东济南中区·期中)如图，在中，为高线，．点E为上一点，，连接，交于点O，若．
(1)猜想线段与的位置关系，并说明理由．
(2)若动点Q从点A出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒．
①当点Q在线段上时，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②动点P从点O出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点F是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出t的值．
7．(24-25八上·江苏扬州邗江区维扬中学·月考)（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
①如图1，若，当__________秒时，；
②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形；
（2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形；
②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．
8．(24-25八上·吉林吉林第九中学·月考)如图，的两条高与交于点，，．
(1)若，则______；
(2)求的长；
(3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值．
9．(24-25八上·江苏无锡辅成实验学校·月考)在中，，，，点在边上，且，过点作射线（与在同侧），若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为．连接、．
(1)如图①，求证：当时，；
(2)如图②，当，垂足为时，求此时的值．
10．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒
．
(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)求t为何值时，与的面积相等；
(3)求t为何值时，与全等；
(4)是否存在t值，使，且？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
11．(24-25八上·江西新余·期末)如图①，在中，，cm，cm，cm，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
(1)如图①，若点在边上，______cm，若点在边上，______cm（用表示）；
(2)如图①，当_______秒时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，cm，cm，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度．
12．(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______；
（2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果）
13．(24-25八上·吉林长春榆树慧望初级中学·期中)如图①，在中，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边运动，返回到点停止．同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿边运动，回到点停止．设点的运动时间为秒．
(1)当点到边的中点时，若点到边中点，则的值为______．
(2)当的面积等于面积的一半时，求的值．
(3)如图②，在中，．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形与全等，直接写出的值．
14．(24-25八上·江苏苏州吴中、吴江、相城、高新区·调研)如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为，
(1)分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长．
(2)当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值．
15．(24-25八上·甘肃武威凉州区武威第八中学·期中)如图，在四边形中，，，，，动点 P 从点 A 出发以每秒1个单位的速度沿向点 D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿向点B运动， 同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接．设点P运动时间为t秒，问当t为何值时， ，并证明．中小学教育资源及组卷应用平台
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专题突破九 全等三角形的判定之动点问题（15道）
1．(24-25八下·山东济南莱芜区·)如图，在中，D为的中点，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是．
(1)在运动过程中，当点C位于线段的垂直平分线上时，求出t的值；
(2)在运动过程中，当时，求出t的值；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，据此列出方程求解即可；
（2）根据时，，建立方程求解即可；
（3）根据时，，，建立方程求解即可说明．
【详解】（1）解：由题意得，则，
当点C位于线段的垂直平分线上时，，
∴，解得，
则当时，点C位于线段的垂直平分线上；
（2）解：∵D为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴当时，；
（3）解：不存在，理由如下：
∵，
∴，，
则，，
解得，，，
∵，
∴不存在某一时刻t，使．
2．(24-25八上·吉林长春高新区慧仁学校·期末)如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
(1)求；
(2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有；
(3)当t取何值时，与全等；
(4)若，求．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)当或时，与全等
(4)
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质、一元一次方程的应用、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由于是角平分线，则，；
（2）由于，所以与之比就等于与之比，而与之比为2；
（3）根据全等三角形的性质得到，得到，．，再分两种情况，利用全等三角形的性质求解即可；
（4）过点A作交于N，如图，由（1）得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∵动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，
∴，．
∴，
∴，
∴在运动过程中，不管t取何值，都有；
（3）解：∵，，，
∴，
∴，
∵点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t，
∴，．
∴，
∴，
①当M在线段上时，，
当时与全等时，
∴，
解得；
②当M在线段延长线上时，，
当时与全等时，
∴，
解得：，
∴当或时，与全等．
（4）解：过点A作交于N，如图，
由（1）得，
又∵，，
∴；
∴．
3．(24-25七下·吉林长春第四十八中学·期中)如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当时，________cm，当时，________cm．
(2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度．
【答案】(1)；
(2)或
(3)运动的速度为或
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
（1）当时，点P在线段上；当时，，点在线段上，分别求解即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分两种情况进行分析，利用全等三角形的判定与性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可．
【详解】（1）解：当时，点在线段上，
∵点速度为，
∴．
当时，，
点在线段上，
∴．
故答案为：；；
（2）解：∵，，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴．
①当点在上时，
，
∴，
．
②当点在上时，
过点作于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：或；
（3）解：①当点在上，点在上，时，
，
∴；
②当点P在上，点Q在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴．
∴运动的速度为或．
4．(24-25七下·山东青岛崂山区·期末)在长方形中，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．设运动时间为，解答下列问题：
(1)点C在垂直平分线上时，求t的值；
(2)当与全等时，求t的值；
(3)当时，求t的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．
（1）分C在垂直平分线上和P在线段延长线上两种情况求解即可；
（2）分和两种情况求解即可；
（3）分C在垂直平分线上和P在线段延长线上两种情况求解即可．
【详解】（1）C在垂直平分线上，则
P在线段BC上：
即
P在线段延长线上：
即
（2）①，即
∴，但是此时：
②，即，
∴
（3）∵
∴
P在线段上：
∴
P在线段延长线上：
∴
5．如图，在中，，高、相交于点，，且．
(1)请说明的理由；
(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值；
(3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)当的面积为时，的值为或
(3)或时，与全等
【分析】（1）根据原理证明即可；
（2）由题意，，当点在线段上时，，
当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可．
（3）分类解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：是高，
，
是高，
，
，，
，
在和中，
，
．
（2）解：由知，
，
，
，
由题意，，
当点在线段上时，，
，
解得：；
当点在延长线上时，，
，
解得：；
综上，当的面积为时，的值为或．
（3）解：存在．理由如下：
如图中，当时，
，，
．
，
，
解得，
如图中，当时，
，，
．
，
，
解得，
综上所述，或时，与全等．
6．(24-25七下·山东济南中区·期中)如图，在中，为高线，．点E为上一点，，连接，交于点O，若．
(1)猜想线段与的位置关系，并说明理由．
(2)若动点Q从点A出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为t秒．
①当点Q在线段上时，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②动点P从点O出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，点F是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出t的值．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①存在的值，使得的面积为；②的值为或 4
【分析】（1）由全等三角形的性质可得，根据三角形内角和结合等式的性质可得，即可求解；
（2）①由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题意，∵为高，
，
又 ∵，
，
，
，
．
（2）解：①存在的值，使得的面积为 18 ，理由如下：
由题意，∵，
，
，
，
由（1）可知，，
，
∵在线段上，
，
解得：；
②∵，
，
、当点在线段延长线上时，如图3，
，
，
，
∴当时，，
此时，，
解得：；
b、当点在线段上时，如图4，
，
，
，
∴当时，，
此时，，
解得：；
综上所述，当与全等时，的值为或 4 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，一元一次方程，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
7．(24-25八上·江苏扬州邗江区维扬中学·月考)（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
①如图1，若，当__________秒时，；
②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形；
（2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形；
②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．
【答案】（1）①4②8（2）①5或8②2或
【分析】（1）①由平行线的性质，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可；②根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出等量关系，列方程求解即可；
（2）①分三种情况讨论，即可求解，②分两种情况进行讨论，列出关系式，即可求解，
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．
【详解】解：（1）①是等边三角形，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
由题意可知：，
解得：，
∴当的值为4时，；
②当点在边上时，
此时不可能为等边三角形；
当点Q在边上时，
若为等边三角形，则，
由题意可知，，
∴，
即：，解得：，
∴当时，为等边三角形；
（2）①当时，
， 为等腰三角形，
当时，，
∴，
∴，
∴，，为等腰三角形，
当时，
上不存在点P使为等腰三角形，
∴当或8时，为等腰三角形，
②
由题意可知：，，
∴，
若，
则
∴，，
解得：，
若，
则，
，，
解得：，
综上所述：当全等时，a的值为2或．
8．(24-25八上·吉林吉林第九中学·月考)如图，的两条高与交于点，，．
(1)若，则______；
(2)求的长；
(3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．
（1）根据的两条高与交于点，利用同角的余角相等得出即可得答案；
（2）利用可证明，利用全等三角形的性质即可得答案；
（3）分点在延长线上和点在线段上两种情况，利用全等三角形的性质，分别用表示出、，解方程求出值，即可得答案．
【详解】（1）解：∵的两条高与交于点，
∴，
∴．
故答案为：
（2）在和中，，
∴，
∴．
（3）与全等时
①如图，当点在延长线上时，，
∴，，
∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，
∴，，，
∴，
解得：．
②如图，当点在线段上时，，
∴，，
∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，
∴，，，
∴，
解得：．
综上所述：或时，与全等．
9．(24-25八上·江苏无锡辅成实验学校·月考)在中，，，，点在边上，且，过点作射线（与在同侧），若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为．连接、．
(1)如图①，求证：当时，；
(2)如图②，当，垂足为时，求此时的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）根据垂直定义和同角的余角相等得到，进而利用全等三角形的判定“”可得结论；
（2）先证明，进而证明，利用全等三角形的性质得到，进而可求解．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
10．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒
．
(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)求t为何值时，与的面积相等；
(3)求t为何值时，与全等；
(4)是否存在t值，使，且？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，；当时，
(2)或
(3)
(4)
【分析】本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键．
（1）分类讨论当和两种情况即可；
（2）由题意得，可得，类讨论当和两种情况即可；
（3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解；
（4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：厘米，
当时，；
当时，；
（2）解：由题意得：，
∴，
当时，，
此时，解得：；
当时，，
此时，解得：；
综上所述：当或时，与的面积相等；
（3）解：由题意得：是直角三角形，
∴当，即点在上运动时，有与全等
此时，
∴
∵，；
∴，
解得：；
（4）解：分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
解得：．
11．(24-25八上·江西新余·期末)如图①，在中，，cm，cm，cm，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
(1)如图①，若点在边上，______cm，若点在边上，______cm（用表示）；
(2)如图①，当_______秒时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，cm，cm，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度．
【答案】(1)；
(2)或
(3)运动的速度为或或或
【分析】（1）利用速度乘时间即可求解；
（2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答；
（3）设点Q的运动速度为，然后再分类讨论，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
【详解】（1）解：∵，cm，cm，cm，动点速度为，设运动时间为秒．
点在边上，，点在边上，，
故答案为：；；
（2）解：①如图1.1，当P在上，的面积等于面积的一半，
∴ ，
，
②当P在上时，如图，的面积等于面积的一半，
∴，
，
；
t的值为或；
（3）在中，，cm，cm，．设点Q的运动速度为，
当点P在上，点Q在上，①时，，
，
解得；
②时，
，
，
解得；
当点P在上，点Q在上，①时，，
∴，
解得，
，
②时，
，
∴，
解得，
，
综上所述， 运动的速度为或或或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．
12．(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______；
（2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果）
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或或
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理．
（1）利用平角的定义即可求解；
（2）先证明出，得出，，即可得出结果；
（3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）当点移动到点时，，移动到点时，；
当点移动到点时，，移动到点时，；
分以下三种情况：
①当E在上，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当E在上，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当E在上，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴，
不在范围内，不符合题意；
④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
13．(24-25八上·吉林长春榆树慧望初级中学·期中)如图①，在中，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边运动，返回到点停止．同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿边运动，回到点停止．设点的运动时间为秒．
(1)当点到边的中点时，若点到边中点，则的值为______．
(2)当的面积等于面积的一半时，求的值．
(3)如图②，在中，．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形与全等，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)5或
(3)或或或
【分析】（1）先根据题意求得到，求出，由点运动到边中点，得到点Q运动的路程为，由此列出方程求解即可．
（2）分点P在上和点P在上两种情况讨论，根据三角形面积公式即可解答；
（3）取中点，过点H作交于点，连接，证明，得到，由可得以为顶点的三角形与全等时，或，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
解得：，
点运动到边中点，
点Q运动的路程为，
，
，
；
（2）解：当点P在上时，
，
，
，
；
当点P在上时，
设中边上的高为h，
，
，
，
，
，
；
综上，当的面积等于面积的一半时，的值为5或；
（3）解：如图，取中点，过点H作交于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴以为顶点的三角形与全等时，或，
当，时，
①点P在上且点Q在上，
此时，
∴，
∴，即；
②点P在上且点Q在上，
此时，
∴，
∴，即；
当，时，
③点P在上且点Q在上，
此时，
∴，
∴，即
④点P在上且点Q在上，
此时，
∴，
∴，即；
综上，以为顶点的三角形与全等时，的值为或或或．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的面积，三角形全等的判定和性质，分类思想，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
14．(24-25八上·江苏苏州吴中、吴江、相城、高新区·调研)如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为，
(1)分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长．
(2)当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】根据，可以求出，根据点、运动的速度求出它们运动的时间；
点运动到点需要，点运动到点需要，因为，所以，因为，所以，所以，要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明即可．
【详解】（1）解：、，
，
点D的运动时长为，
点E的运动时长为：；
（2）解：，
，
，
，
，
在和中，
，，
要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明，
如下图所示
当在上，在上时，即，
，，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
，
，
；
如下图所示，
当在上，也在上时，即，
，
，
；
当到达，在上时，即，
，，
，
．
综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
【点睛】本题考查了三角形上的动点问题和全等三角形的判定．解决本题的关键是根据点、运动的速度和路程，分情况讨论点、在不同的位置上时形成的两个直角三角形的关系．
15．(24-25八上·甘肃武威凉州区武威第八中学·期中)如图，在四边形中，，，，，动点 P 从点 A 出发以每秒1个单位的速度沿向点 D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿向点B运动， 同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接．设点P运动时间为t秒，问当t为何值时， ，并证明．
【答案】当 时，，理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，熟练地掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据题意可知，，时，列方程可求出的值，再根据全等三角形的判定定理判定即可．
【详解】解：如图，由题意得，，
，
，
当时，即，，
当时，，理由如下：
，
，
在和中，
，
．
