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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破八 全等三角形的判定之探究问题【压轴题】（20道）
1．(24-25七下·安徽宿州萧县萧县城东初级中学·月考)阅读下列学习内容：
(1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
探究思路如下：延长到点G，使，连接．
则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________．
(2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度．
【答案】(1)
(2)仍然成立，理由见解析
(3)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键.
（1）根据三角形的全等可得出线段、、之间的数量关系；
（2）延长到点，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（3）旋转至位置，证明，得到，即可解答.
【详解】（1）解：，
∴，
故答案为：；
（2）结论仍然成立；
理由：延长到点，使，连结，如图，
在和中，
，
，
，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵四边形中，，，
∴四边形是正方形，
如图，旋转至位置，
， ，
在和中，
，
，
，
．
2．(24-25七下·山东济南历城第三中学·月考)【阅读理解】
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是______；
A． B． C． D．．
（2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______________；
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中；
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为_____．
【答案】（1）B（2）；（3）．（4）6
【分析】（1）延长到点E；使，连接，证明，根据的是，解答即可．
（2）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可．
（3）延长到点G；使，连接，先证明，再证明即可得证．
（4）仿照（3）前面的证明，后再，确定，根据三角形全等的性质得到，再根据，得到，继而可以证明，即，解答即可．
本题考查了中线的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，垂直的证明，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：延长到点E；使，连接．
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
（2）解：∵，
∴．
∵,
∴，
∵，，
∴
故．
故答案为：．
（3）解：理由如下：
延长到点G使，连接．
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴．
（4）解：延长到点M使，连接．
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵,
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
3．(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．
【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”．
【问题解决】
(1)直接写出图1中的取值范围：______；
(2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明．
【答案】(1)
(2)，．理由见解析
(3)，．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理．通过“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的边、角条件集中到同一三角形中，结合三角形三边关系、全等三角形性质及角度推导解决问题．灵活运用全等判定（）和性质，以及角度之间的转化（如补角、内错角等）是解题的关键．
（1）利用倍长中线构造全等，将转化为，再用三边关系确定范围；
（2）由全等三角形对应边、角相等，推导与的数量和位置关系；
（3）再次倍长中线构造全等，结合角度关系证明三角形全等，进而确定与的数量和位置关系．
【详解】（1）解：延长到点M，使，连接，
D是中点，
，
在和中， ，
，
，
在中，，
，即，
又，
，即．
故答案为：．
（2），．理由如下：
，
，，
．
（3），．证明如下：
如图，延长到点Q，使得，连接．
同理可证，
，．
，
．
在中，，
，
．
，
，
．
在和中
，
，．
如图，延长交于点P．
，
，
，
，
．
，
．
，
．
综上所述，，．
4．(24-25七下·陕西汉中勉县·期末)【问题背景】
如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线右侧作，且．
【问题再现】
（1）如图1，当点在线段上时，过点作于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题推广】
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，过点作交的延长线于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
【拓展提升】
（3）如图3，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，连接交于点．若，求的值．
【答案】（1），理由见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）由“”可证，可得，然后结合即可得到；
（2）过点作，交延长线于，由“”可证，可得，由“”可证，可得；
（3）首先证明出，得到，，然后证明出，得到，，然后求出，，然后利用代入求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，，
，
在与中
，
，
，
∵，
∴；
（2）如图2，过点作，交延长线于，
∵，，
∴，，
，
在与中，
，
，
又∵，
，
又在与中，
，
∴；
（3）∵，
∴设，，
∵，，
∴，
∴，，
，
在与中，
，
，，
又∵，
，
在与中，
，
∴，，
∴，，
∴，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
5．(24-25七下·广东清远清城区·期末)【问题提出】
（1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：；
【变式探究】
（2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：；
【拓展应用】
（3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等；
（2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明；
（3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解．
【详解】解：（1）证明：在中，
．
又
在和中，
，
∴
（2），
证明：
在和中，
∴，
∴，
；
（3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点，
．
与（1）同理可得，，
，，
，
∵
∴
6．问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）．
特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：；
归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：；
拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键．
（1）根据图②，求出，根据证两三角形全等即可；
（2）根据图③，运用三角形外角性质求出，根据证两三角形全等即可；
（3）根据图④，由的面积为15，可求出的面积为5 ，根据，得出与的面积之和等于的面积，据此即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图②，∵，
，
，
，
在和中，，
．
（2）证明：如图③，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（3）如图④，∵的面积为，
∴的面积，
由（2）可得，
即：，
，
即与的面积之和等于的面积5 ，
故答案为：5．
7．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属实验中学·月考)某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点．
【答案】(1)
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质；
（1）证明得，由此即可得出、、的数量关系；
（2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论．
【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下：
如图1所示：
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：
如图2所示：
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示：
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点．
8．(23-24八上·山东滨州惠民县·期末)【背景】
如图，下列条件中，不能判定与全等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【思考】
请判断以上题目有没有答案，若有请选出来，并举例说明为什么选这个答案；若找不到题目的答案，即四个选项都能保证与全等，那么请从A、B、C、D四个选项中任选一个作为已知条件，证明与全等．
【答案】没有，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，
根据“边角边”解答A，再根据“角角边”解答C，然后根据“边边边”解答D，最后分三种情况解答B.
【详解】解：没有，理由如下：
在和中，
，
∴；
当时，
∵，
∴；
当时，作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
，
∴；
当时，在延长线上作，
同理可得答案.
则B不符合题意；
在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴.
9．(25-26八上·重庆实验外国语学校·期末)【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；
【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．
【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题．
[尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论；
[模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论；
[拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可．
【详解】解：[尝试探究]．
证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合，
∵，
∴，点、、共线，
∴，
即．
在和中，，
∴，
∴，
∴；
[模型建立]
成立，如图，
证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，
由旋转得：，，，，
同理得：点，，在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴【尝试探究】中的结论还成立，；
[拓展应用]∵是边长为8的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
将绕点旋转，得到，
则：和重合，，，，
∴，
∴三点共线，
同法，可得：，
∴，
∴的周长．
10．(24-25七下·四川成都棕北中学·期末)（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系．
（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等；
（2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出的数量关系；
（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系．
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，，
∴；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，，
∴．
11．(24-25七下·河南郑州中牟县·期末)学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题：
(1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明．
(2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）．
(3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系．
【答案】(1)选择条件②，见解析
(2)①②④
(3)或
【分析】本题考查选择合适的条件证明三角形全等，全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）选择条件②，利用证明即可；
（2）根据轴对称的性质，得到，，证明，进而得到，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出，推出，再证明，进而推出，根据全等三角形的面积相等，推出即可；
（3）作于点，于点，证明，得到，分分别与重合以及与不重合，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：选择条件②，证明如下：
在和中，
，
∴；
（2）解：过点作的对称点，
则：，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴；故②正确；
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；故①正确；
∵，，
∴，，
∴；故④正确；
无法得到，故③错误；
综上：正确的是①②④；
（3）作于点，于点，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
当分别与重合时，满足，
则：，
当与不重合时，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
12．(24-25七下·陕西西安灞桥区滨河学校·月考)【问题发现】
（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系．
小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由：
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）；理由：
如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
，
，
故答案为：；
（2）如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
；
（3），理由如下，
证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，
13．(24-25七下·广东佛山南海区桂城街道龙湾实验学校·月考)（1）如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）；
（2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长．
（4）【实际应用】如图，海警船甲在指挥中心（处）北偏西的处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的处，并且两艘船到指挥中心的距离相等，可疑船只沿北偏东的方向以海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从点向正东方向以海里/小时的速度追击，两船前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达，处，且两船和指挥中心形成的夹角为，，此时甲、乙两船之间的距离DE为______海里．
【答案】（1） ；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3） ；
（4） ．
【分析】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）延长到点，使，连接，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题；
（2）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（3）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“SAS”可证，可得，可得，即可求解；
（4）由题意得，，，延长到，使，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：（1）．
证明：延长到点，使，连接，
在和中，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到，使，连接．
，，
，
在与中，
，
，，
，
，
，
又，
，
．
．
；
（3）如图，延长到，使，连接，
四边形是正方形，
，，
，
又，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
的周长；
（4）由题意得，，，
，
延长到，使，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
（海里），（海里），
（海里）．
14．(24-25八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程．
【应用】（2）如图②，在四边形中，，点是的中点，射线与的延长线交于点，连接，若，则________．
（3）如图③，，，，连结、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）8
【分析】（1）证明，即可解答；
（2）证明，，，即可解答；
（3）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，，从而得到，，，，再结合，可得到，可证明，可得，，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：6
（3）如图，过点A作，交的延长线于点G，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
即的面积为8．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．(2025·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)在中，点在直线上，连接，交直线于点，交直线于点，过点作交直线于点．探究线段，，之间的数量关系．
(1)当平分时，如图①，求证：．
探究如下：某同学思考这道题时，想通过三角形全等证明，进而再证明三角形全等，最终得出，请写出图①的证明过程；
(2)当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图②；当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图③，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，；理由见解答过程
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）先证明和全等得，根据得，进而可依据“”判定和全等得，则，然后根据即可得出结论；
（2）当点在的延长线上时，先证明和全等得，根据得，进而可依据“”判定和全等得，则，然后根据即可得出，，之间的数量关系；当点在的延长线上时，先证明和全等得，根据得，由此可依据“”判定和全等得，则，然后根据即可得出，，之间的数量关系．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（2）解：如图②，当点在的延长线上时，，理由如下：
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
如图③，当点在的延长线上时，，理由如下：
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
16．(23-24七下·重庆育才中学校·期末)已知，A﹣B﹣E﹣C﹣D是一条折线段，且，点E为平行线间一点．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，的角平分线交直线于点F，过点B作于点H，过点E作交的角平分线于点G．若点E是位于线段右侧的一动点，试判断是否为定值，如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
(3)如图3，点F仍满足（2）问中的条件，射线交直线于点M，若为，点P为射线上一动点，连接，的角平分线交直线于点Q．设，，请直接写出α与β的数量关系．
【答案】(1)；
(2)为定值，；
(3)或．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和，角平分线的计算，外角的性质，熟练画出图形，添加正确的辅助线是解题的关键．
（1）过点E作的平行线，根据平行线的性质即可求解；
（2）设，利用平行线的性质和角平分线的计算，得到和，即可利用三角形内角和进行解答；
（3）分类讨论：分点在点左边或右边，画出图形，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：过点E作的平行线，如图：
，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：为定值，．
设，
∵的角平分线交直线于点F，
∴，
∵，
∴，
∵BH⊥CD，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴；
（3）解：当点P在点M左边时，如图所示：
，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
即；
当点P在点M右边时，如图所示：
，
同上可得，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
综上所述，α与β的数量关系为或．
17．(24-25八上·福建莆田莆田第二中学·期中)已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点，
(1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H．
①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论；
②如图2，若，当与满足什么关系时，；
(2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示）
【答案】(1)①，见解析；②时，
(2)当点F在A点右边时，；当点F在A点左边时，
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形，分类讨论是解题的关键．
（1）①先证明，得出，再得出，在 中，，即可的得出结论；
②在上截取，使，证明，得出，根据，得出时，即时，；
（2）分两种情况，当点F在A点右边时，过点D作，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；同理，当点F在A点左边时，通过证明三角形全等即可得出结论．
【详解】（1）①解：，证明如下：
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又 ∵，
∴ ，
在 中，，
∴；
②在射线上截取，使，如图所示，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴当时，即时，，
∴；
（2）如图，当点F在A点右边时，过点D作，如图，
∵
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当点F在A点左边时，过点D作所在直线的垂线，交于点M，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18．(23-24七下·陕西榆林高新区第一中学·月考)（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：；
（2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：；
（3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）根据证明三角形全等即可．
（2）根据证明即可证明结论．
（3）根据证明，得出，即可求出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：的面积为20，，
，
，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．(24-25七下·广东深圳龙岗区·期末)【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，对此数学兴趣小组展开探究．
(1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点．
①若，则 ；
②若，则与之间的数量关系是 ；
(2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：；
(3)如图3，在等腰中，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数
(4)如图4，在中，，是边上的高，，E是外一点且满足．记，求y与x的关系式．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)或
(4)
【分析】（１）①求出，得；②根据，，得；
（２）根据．，得，由，，得；
（３）设，则，．，．当时，，解得．得．当时，，解得．得；
（４）法一：， 在 BD 上截 ，证明，，得，可得，得，得．法二：，过点B作交延长线于点N，证明，，得，可得，得，得，即得．
【详解】（1）解：①∵在中，，
∴，
∴，
∴在中， ，
故答案为：．
②∵在中，；在中，，
且，，
∴．
故答案为：．
（2）解：证明：∵，
∴．
∵
∴
在和中
（3）设，
则，，
∴．
∴．
情况1：
∴，
解得．
∴，，
∴．
情况2：
∴，解得．
∴，，
∴．
∴的度数为或 ．
（4）解：(法 1) ∵
∴，
在 上截 ，
∵，
∴，
，
，
在和中，
∴，
∴
．
（法2），
过点B作交延长线于点N，
∵，
∴，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
．
【点睛】本题考查了对顶三角形．熟练掌握对顶角性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，全等三角形判定，等腰三角形性质，折叠性质，直角三角形性质，三角形面积公式，是解题的关键．
20．(24-25七下·辽宁丹东东港·期末)在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点．
(1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系．
(2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．
(3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
(3)图见详解，当点在线段的延长线上运动时：，当点在线段的延长线上运动时：
【分析】（1）根据证明，则可得，由点为的中点，可得，则可得，由可得；
（2）同（1）证法相同，先证，则可得，由，，可得；
（3）①当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得；
②当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：当点在线段上（不与重合）时，线段，，之间的数量关系为，理由如下：
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）解：①如图，当点在线段的延长线上运动时，
同（1）得，
∴
∵，，
∴；
②如图，当点在线段的延长线上运动时，
同（1）得，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破八 全等三角形的判定之探究问题【压轴题】（20道）
1．(24-25七下·安徽宿州萧县萧县城东初级中学·月考)阅读下列学习内容：
(1)如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
探究思路如下：延长到点G，使，连接．
则由探究结果可知，图中线段、、之间的数量关系为________．
(2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度．
2．(24-25七下·山东济南历城第三中学·月考)【阅读理解】
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是______；
A． B． C． D．．
（2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______________；
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中；
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为_____．
3．(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．
【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”．
【问题解决】
(1)直接写出图1中的取值范围：______；
(2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明．
4．(24-25七下·陕西汉中勉县·期末)【问题背景】
如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线右侧作，且．
【问题再现】
（1）如图1，当点在线段上时，过点作于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题推广】
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，过点作交的延长线于点．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
【拓展提升】
（3）如图3，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，连接交于点．若，求的值．
5．(24-25七下·广东清远清城区·期末)【问题提出】
（1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：；
【变式探究】
（2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：；
【拓展应用】
（3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积．
6．问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）．
特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：；
归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：；
拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ．
7．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属实验中学·月考)某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点．
8．(23-24八上·山东滨州惠民县·期末)【背景】
如图，下列条件中，不能判定与全等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【思考】
请判断以上题目有没有答案，若有请选出来，并举例说明为什么选这个答案；若找不到题目的答案，即四个选项都能保证与全等，那么请从A、B、C、D四个选项中任选一个作为已知条件，证明与全等．
9．(25-26八上·重庆实验外国语学校·期末)【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；
【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．
10．(24-25七下·四川成都棕北中学·期末)（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
11．(24-25七下·河南郑州中牟县·期末)学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题：
(1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明．
(2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）．
(3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系．
12．(24-25七下·陕西西安灞桥区滨河学校·月考)【问题发现】
（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系．
小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由：
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
13．(24-25七下·广东佛山南海区桂城街道龙湾实验学校·月考)（1）如图，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）；
（2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长．
（4）【实际应用】如图，海警船甲在指挥中心（处）北偏西的处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的处，并且两艘船到指挥中心的距离相等，可疑船只沿北偏东的方向以海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从点向正东方向以海里/小时的速度追击，两船前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达，处，且两船和指挥中心形成的夹角为，，此时甲、乙两船之间的距离DE为______海里．
14．(24-25八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程．
【应用】（2）如图②，在四边形中，，点是的中点，射线与的延长线交于点，连接，若，则________．
（3）如图③，，，，连结、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________．
15．(2025·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)在中，点在直线上，连接，交直线于点，交直线于点，过点作交直线于点．探究线段，，之间的数量关系．
(1)当平分时，如图①，求证：．
探究如下：某同学思考这道题时，想通过三角形全等证明，进而再证明三角形全等，最终得出，请写出图①的证明过程；
(2)当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图②；当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图③，请直接写出，，之间的数量关系．
16．(23-24七下·重庆育才中学校·期末)已知，A﹣B﹣E﹣C﹣D是一条折线段，且，点E为平行线间一点．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，的角平分线交直线于点F，过点B作于点H，过点E作交的角平分线于点G．若点E是位于线段右侧的一动点，试判断是否为定值，如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
(3)如图3，点F仍满足（2）问中的条件，射线交直线于点M，若为，点P为射线上一动点，连接，的角平分线交直线于点Q．设，，请直接写出α与β的数量关系．
17．(24-25八上·福建莆田莆田第二中学·期中)已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点，
(1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H．
①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论；
②如图2，若，当与满足什么关系时，；
(2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示）
18．(23-24七下·陕西榆林高新区第一中学·月考)（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：；
（2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：；
（3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和．
19．(24-25七下·广东深圳龙岗区·期末)【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，对此数学兴趣小组展开探究．
(1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点．
①若，则 ；
②若，则与之间的数量关系是 ；
(2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：；
(3)如图3，在等腰中，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数
(4)如图4，在中，，是边上的高，，E是外一点且满足．记，求y与x的关系式．
20．(24-25七下·辽宁丹东东港·期末)在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点．
(1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系．
(2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．
(3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系．
