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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破十 全等三角形的判定常见辅助线专练（四大题型27道）
1．(24-25八上·安徽安庆九一六学校·月考)如图，已知：，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
2．(24-25八上·河南焦作武陟县·期中)如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25七下·四川成都双流区九江初级中学·期中)如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为 °．
4．如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为 ．
5．(24-25八上·陕西宝鸡陇县·期末)如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
6．(24-25八上·山东菏泽单县蔡堂初级中学等2校·期末)如图，在和中，，，，则的度数为 ．
1．(24-25八上·四川泸州合江县第五片区·联考)如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．(24-25八上·浙江杭州拱墅区观成实验学校·开学考)在中，是边上的中线，，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25八下·上海洪山中学·月考)如图，在梯形中，，点E是的中点，连接与三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由．
4．(24-25七下·河北保定清苑区·期末)方法探索
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
(1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决
(2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：
如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分．
5．(24-25七下·广东揭阳普宁·期末)【综合与实践题】
【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断．
【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由．
【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：．
【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长．
6．(24-25七下·广东梅州五华县·期末)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
【问题解决】
（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ．
【问题应用】
（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明．
7．(24-25八上·重庆石柱县第一初级中学·期中)如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．
8．(24-25八上·湖北襄阳宜城·期末)【发现问题】
（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题拓展】
（2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：：
（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积．
1．(24-25八上·湖北武汉华一寄宿中学·期末)如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．(24-25八上·江苏南通启秀中学·月考)（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
3．(23-24八上·贵州遵义·期末)在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．
(1)【观察发现】
如图①，与的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为中点，探索与的数量关系．
4．(23-24八上·山东临沂罗庄区临沂沂堂中学·期中)【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
5．(23-24八上·天津经济开发区第一中学·期中)如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)试猜想与有何特殊关系，并证明；
(3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）．
6．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
1．(25-26八上·重庆南开中学校·月考)如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）
A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1
2．(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
3．(24-25七下·河南郑州外国语中学、枫杨外国语、朗悦慧外国语等联考·期中)【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题．
【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为．
(1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程．
，
，
∵，，
，，
，
，
……
（补充小芳的过程）
(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积．
4．(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______；
（2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果）
5．(23-24八上·广东潮州湘桥区城西初级中学·期中)如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，．
(1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离；
(2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：；
(3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____．
6．(24-25八上·湖北武汉华宜寄宿学校·月考)如图，三点在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)当满足__________时，？
7．(24-25八上·云南文山文山第三中学·月考)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【问题提出】
（3）在（2）的条件下，若，，求的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破十 全等三角形的判定常见辅助线专练（四大题型27道）
1．(24-25八上·安徽安庆九一六学校·月考)如图，已知：，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】连接，如图，
在与中
，
≌ ，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．
2．(24-25八上·河南焦作武陟县·期中)如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论．
【详解】解：连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．(24-25七下·四川成都双流区九江初级中学·期中)如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为 °．
【答案】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
4．如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．连接，，证明，则，即可得到答案．
【详解】解：连接，，
∵线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
5．(24-25八上·陕西宝鸡陇县·期末)如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】
解：连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
6．(24-25八上·山东菏泽单县蔡堂初级中学等2校·期末)如图，在和中，，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定定理，可证得，再根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，推出，，计算即可求得的度数．
【详解】如下图，连接，
在和中，
，
，
， ，
，
即，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
1．(24-25八上·四川泸州合江县第五片区·联考)如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得．
【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则，
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
∴
在中，，即，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
2．(24-25八上·浙江杭州拱墅区观成实验学校·开学考)在中，是边上的中线，，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解．
【详解】解：延长到E，使，连接，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴．
故选：C．
3．(24-25八下·上海洪山中学·月考)如图，在梯形中，，点E是的中点，连接与三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由．
【答案】，理由见解析．
【分析】本题考查了梯形，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键．
延长交的延长线于点，利用全等三角形的性质证明，，进而即可得出结论．
【详解】解：，理由如下：
如图，延长交的延长线于点，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
4．(24-25七下·河北保定清苑区·期末)方法探索
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
(1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决
(2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：
如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，
（2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分．
【详解】（1）解：是的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，
，
即，
中线的取值范围是：；
（2）证明：延长到点M，使，连接．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即平分．
5．(24-25七下·广东揭阳普宁·期末)【综合与实践题】
【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断．
【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由．
【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：．
【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长．
【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）3.4
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质．
（1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系；
（2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论；
（3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案．
【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下：
如图，延长、相交于点F，
，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）延长至点H，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
（对顶角相等），
，
，
；
（3）延长、相交于点，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，，
，
，
因此，的长为3.4．
6．(24-25七下·广东梅州五华县·期末)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
【问题解决】
（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ．
【问题应用】
（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3），，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案；
（2）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系；
（3）过点C作于点H，证明和全等得，，则，证明，进而依据“”判定和全等得，，据此即可得出线段与的数量关系和位置关系．
【详解】解：（1）∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：；
（2）线段与的数量关系是：，理由如下：
延长到F，使，连接，如图所示：
则，
同（1）证明：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下：
过点C作于点H，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，．
7．(24-25八上·重庆石柱县第一初级中学·期中)如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论．
【详解】证明：延长至点，使，连接，则：，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
8．(24-25八上·湖北襄阳宜城·期末)【发现问题】
（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题拓展】
（2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：：
（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）18
【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键．
（1）根据提示证即可求解；
（2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可；
（3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解．
【详解】解：（1）∵是的中线．
∴，
∵，，
∴，
∴，
可得 ，
即：，
∴，
故答案为：；
（2）延长至点，使得，连接，如图2：
由题意得：，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，
由（2）可得：，，，
．
．
，，
．
，
，
，
．
1．(24-25八上·湖北武汉华一寄宿中学·期末)如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．
将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可．
【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至，
，，
则，，
，即点D，E，F三点共线，
，
，
即，
在和中
，
，
，
，
五边形的面积为：
，
，
．
故选：D．
2．(24-25八上·江苏南通启秀中学·月考)（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型．
（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论．
（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．
【详解】解：（1）延长到G，使，连接．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图，延长至，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）（1）中的结论不成立，，
证明：如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴．
∵在与中，
，
∴，
，
∴，
又∵，
，
在和中，
，
，
，
，
．
3．(23-24八上·贵州遵义·期末)在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．
(1)【观察发现】
如图①，与的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为中点，探索与的数量关系．
【答案】(1)
(2)的大小不变，
(3)
【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．
（1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案；
（2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，；
（3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出．
【详解】（1）∵
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）的大小不改变，
如图①，作交于点F，则，
∴，
由（1）得，
∵
∴，
∴，
∴，
∴的大小不改变，．
（3），
理由：如图②，作交于点G，作于点H，则
∴，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．(23-24八上·山东临沂罗庄区临沂沂堂中学·期中)【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．
（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
5．(23-24八上·天津经济开发区第一中学·期中)如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)试猜想与有何特殊关系，并证明；
(3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）．
【答案】(1)见解析
(2)且，理由见解析
【分析】本题考查了常见的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟记模型的构成条件、推理过程及结论是解题关键．
（1）推出，即可求证；
（2）由可得，结合可得，即可得；
（3）作，由可得，，即可推出，从而结论②正确；假设结论①正确，可得出，，与条件不符．
【详解】（1）证明：∵，，
，
∴
∵
∴
（2）解：且，理由如下：
∵，
∴，
，
，
，
，
∴
（3）解：作，如图所示：
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴平分
假设①正确，即平分，
则有：
∴
即：
∵平分，
，
，
，
，
故只有当时，①才成立；
故答案为：②
6．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
1．(25-26八上·重庆南开中学校·月考)如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）
A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2．(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．
【详解】解：过点作交延长线于点，
则∠DMC=90°=∠ABC，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故填．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键．
3．(24-25七下·河南郑州外国语中学、枫杨外国语、朗悦慧外国语等联考·期中)【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题．
【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为．
(1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程．
，
，
∵，，
，，
，
，
……
（补充小芳的过程）
(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)21
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．
（1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到；
（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系；
（3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
∵，，
，，
，
，
∵，，，
∴；
，
∵，，
∴；
（2）解：结论：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
（3）解：延长，过点作于，如图所示：
，，
，
，，
∴，
，，
，
延长，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
．
故答案为：21．
4．(24-25八上·湖南长沙宁乡六校联考·期中)（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______；
（2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果）
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或或
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理．
（1）利用平角的定义即可求解；
（2）先证明出，得出，，即可得出结果；
（3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）当点移动到点时，，移动到点时，；
当点移动到点时，，移动到点时，；
分以下三种情况：
①当E在上，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当E在上，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当E在上，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴，
不在范围内，不符合题意；
④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
5．(23-24八上·广东潮州湘桥区城西初级中学·期中)如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，．
(1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离；
(2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：；
(3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____．
【答案】(1)点到直线的距离为1；
(2)证明见解析；
(3)或6．
【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解；
（2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明；
（3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：作交于，则，
，
，
，
，
，
又，
，
，
点到直线的距离为1．
（2）作交直线于，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
（3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，
下面分2类情况讨论：
①若在线段上，同（2）作辅助线，
由（2）得，，，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
解得：，
；
②若在延长线上，同（2）作辅助线，
同①可得：，
设，则，
，，
，
解得：，
．
综上所述，的长为或6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生．
6．(24-25八上·湖北武汉华宜寄宿学校·月考)如图，三点在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)当满足__________时，？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
（1）根据证明，得出，即可证明；
（2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出．
【详解】（1）证明：在和中
，
∴；
∴，
∵，
∴．
（2）解：当时，．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
7．(24-25八上·云南文山文山第三中学·月考)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【问题提出】
（3）在（2）的条件下，若，，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出；
（2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论；
（3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
又，，
，
，
，
在和中，
，
∴，
（2）解：，理由如下：
，，
，
又，
∴，
，，
，
即；
（3）解：由（2）得且，，
∴，
∴
，
∴，则，
∴．
