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专题2.5 有理数的乘方
1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义；
2. 会求有理数的正整数指数幂；
3. 熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则；
4. 理解科学记数法的的概念；会用科学记数法表示较大的数；能将用科学记数法表示的数变回原数；
5. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心；体会科学记数法带来的优越性，感受数学中化繁为简的思想方法。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.有理数乘方的概念 2
考点2.有理数乘方的运算 3
考点3.乘方运算的符号规律 4
考点4.有理数乘方的逆运算（简算） 6
考点5.偶次方的非负性的运用 7
考点6.有理数乘方的实际应用 8
考点7.有理数乘方的新定义问题 9
考点8.用科学记数法表示大于1的数 12
考点9.将用科学记数法表示的数变回原数 13
考点10.用科学记数法表示大于1的数（含计算） 13
模块3：培优训练 15
1. 有理数的乘方
乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。
求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。
2．整数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。
注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。
3.科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
注意：用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
考点1.有理数乘方的概念
【解题方法】求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，即：。
在中，叫做底数， n叫做指数。
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）式子可以表示为（ ）
A． B． C． D．
例2．（24-25七年级上·天津河西·期中）关于，下列语句不正确的是（ ）
A．表示 B．底数是，指数是3 C．读作的3次方 D．计算结果等于125
变式1．（24-25七年级上·杭州·期中）的5次方可以表示为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）计算的结果是（ ）
A．7a B． C． D．
考点2.有理数乘方的运算
【解题方法】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
例1．（24-25七年级上·浙江·专项）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．
例2．（24-25七年级上·河北沧州·期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·广东潮州·期末） ．
变式3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中） ．
变式4．（24-25七年级上·上海金山·期中）计算： ．
考点3.乘方运算的符号规律
【解题方法】乘方的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。
例1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
例2．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25·广西·七年级校考阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
变式4．（24-25·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（ ）
A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的
C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等
考点4.有理数乘方的逆运算（简算）
【解题方法】性质：
例1．（24-25七年级上·福建·期中）（1）计算下面两组算式：①与； ②与；（2）根据以上计算结果想开去：等于什么 （直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
例2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（ ）
A．6 B．8 C． D．十分麻烦
变式2．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
考点5.偶次方的非负性的运用
例1．（23-24七年级上·海南·期末）如果，那么 ．
例2．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ．
变式1．（23-24七年级上·广东·阶段练习）已知，则 ．
变式2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（ ）
A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于
考点6.有理数乘方的实际应用
【解题方法】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
例2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌．
变式1．（24-25七年级上·福建福州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，将二进制换算成十进制数的结果为（ ）
A．8 B．9 C．14 D．15
变式2．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）在至33的整数之间进行猜数字游戏，最快在（ ）次内一定能猜中．
A．5 B．6 C．7 D．8
考点7.有理数乘方的新定义问题
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（ ）
A．16 B．－2 C．2或 D．16或
例2．（24-25七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．
如果 的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如：
①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：；
②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：．
(1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①；②
(2)将下列对数式改为指数式：①=2 ② (3)计算：
变式1．（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）用“※”定义一种新运算，规定，如，(1)求的值；(2)求的值．
变式2．（24-25·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______．
变式3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】(1)直接写出计算结果：______；______；
(2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）．
A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；
C． D．1和的圈n次方都等于它本身．
(3)算一算：
考点8.用科学记数法表示大于1的数
【解题方法】科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．
注意：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n；②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号；③将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。
例1．（2025·四川成都·一模）电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025·广西南宁·一模）为促进“东数西算”绿色发展，2025年某超大型数据中心引入先进制冷技术，计划将耗电量降至9600000000千瓦时，数据9600000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025·山东临沂·一模）中国是全球可再生能源领域的引领者，近年来在风能、太阳能、水电、储能技术等方面取得显著进展，为全球可持续发展提供了“中国方案”．年全国可再生能源新增装机亿千瓦，将亿用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2025·陕西咸阳·一模）被誉为“古都明珠，华夏宝库”的陕西历史博物馆以171万件藏品展示着陕西历史文化和中国古代文明．数据“171万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
考点9.将用科学记数法表示的数变回原数
【解题方法】解题的关键是掌握将科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
例1．（2025·辽宁辽阳·二模）若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（ ）
A．39600 B．396000 C．0.00396 D．0.0000396
变式1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）2023年8月31日，世界首个超超临界二次再热火电工程在山东郓城开建，与常规煤电组比较，每年可节约标煤吨，将数据还原正确的是（ ）
A．35000000 B．3500000 C．350000 D．35000
变式2．（2025·河北沧州·模拟预测）用科学记数法表示的数为，则它的原数是（ ）
A．20500 B．2050 C．205000 D．20500
考点10.用科学记数法表示大于1的数（含计算）
【解题方法】此类问题需先计算出所需科学记数法表示的原始数据，再根据考点1中的方法求解即可。
例1．（23-24七年级上·山西·期中）献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·河南漯河·二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（ ）
A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦
变式2．（2024七年级上·广东·专题练习）中国古代涌现包括“铸、钧、镒、铢”等在内的质量单位，而现代的质量单位有：吨（）、千克（）、克（）、毫克（）、微克（）等．其中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25九年级下·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（ ）
A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·河北保定·一模）截至2024年8月28日，电影《抓娃娃》票房突破32.26亿元，下列说法正确的是（ ）
A．32.26亿用科学记数法表示为 B．32.26亿用科学记数法表示为
C．它是一个8位数 D．它是一个9位数
2．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）计算可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）是的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
4．（23-24七年级上·河北邢台·期末）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（ ）
①甲：是2个5相加； ②乙：与是不同的结果；
③丙：； ④丁：是个4相乘．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（23-24七年级上·河南周口·期中）根据乘方的意义可得算式为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（ ）
A．98 B．87 C．76 D．65
7．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（ ）
A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108
9．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
10．（24-25·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（ ）
（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·江西宜春·期末）计算： ．
12．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·期中）计算： ．
13．（24-25七年级上·浙江·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ．
14．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ．
15．（24-25七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ．
16．（24-25·湖南·七年级校考期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________
(3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子：
________________________________ ________________________________
18．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
19．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大．
(1)求第二个正方体纸盒的棱长；(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？
20．（24-25·江苏·七年级专题练习）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
21．（23-24七年级上·广东·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：(1)一粒大米重约多少克？(2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）；(3)若我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）；(4)经过以上计算，你有何感想和建议？
22．（24-25·江西宜春·七年级统考期末）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如，记作，读作“2的引4次商”；一般地，把（，，且为整数）记作，读作“a的引n次商”．
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)归纳：负数的引正奇数次商是______数，负数的引正偶数次商是______数（填“正或负”）；
(3)计算：．
23．（24-25·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
24．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法：
一、小明的做法：
如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分．
第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为；
第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为；…
第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为．
根据图形可得，．
二、小亮的做法：
设，
则，因为，所以．
(1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）；
(2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论；
(3)在上面的两种做法中任选一种计算的值．
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专题2.5 有理数的乘方
1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义；
2. 会求有理数的正整数指数幂；
3. 熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则；
4. 理解科学记数法的的概念；会用科学记数法表示较大的数；能将用科学记数法表示的数变回原数；
5. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心；体会科学记数法带来的优越性，感受数学中化繁为简的思想方法。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.有理数乘方的概念 2
考点2.有理数乘方的运算 3
考点3.乘方运算的符号规律 4
考点4.有理数乘方的逆运算（简算） 6
考点5.偶次方的非负性的运用 7
考点6.有理数乘方的实际应用 8
考点7.有理数乘方的新定义问题 9
考点8.用科学记数法表示大于1的数 12
考点9.将用科学记数法表示的数变回原数 13
考点10.用科学记数法表示大于1的数（含计算） 13
模块3：培优训练 15
1. 有理数的乘方
乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。
求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。
2．整数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。
注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。
3.科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
注意：用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
考点1.有理数乘方的概念
【解题方法】求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，即：。
在中，叫做底数， n叫做指数。
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）式子可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，故选：C．
例2．（24-25七年级上·天津河西·期中）关于，下列语句不正确的是（ ）
A．表示 B．底数是，指数是3 C．读作的3次方 D．计算结果等于125
【答案】D
【详解】解：的底数为，指数为3，表示3个的乘积，即，读作的3次方，故正确，不符合题意；错误，符合题意．故选：D．
变式1．（24-25七年级上·杭州·期中）的5次方可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为表示2的5次方的相反数，所以A不符合题意；
因为表示的5次方，所以B符合题意；
因为表示5的2次方的相反数，所以C不符合题意；
因为表示的2次方，所以D不符合题意．故选：B．
变式2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）计算的结果是（ ）
A．7a B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，故选：D．
考点2.有理数乘方的运算
【解题方法】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
例1．（24-25七年级上·浙江·专项）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)1
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
例2．（24-25七年级上·河北沧州·期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，原式．故选：B．
变式1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．故选：B．
变式2．（24-25七年级上·广东潮州·期末） ．
【答案】
【详解】解：．故答案为：
变式3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中） ．
【答案】
【详解】解：，故答案为：．
变式4．（24-25七年级上·上海金山·期中）计算： ．
【答案】
【详解】解：原式：，故答案为：．
考点3.乘方运算的符号规律
【解题方法】乘方的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。
例1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【详解】解：当时，①，正确．②，正确．
③，故错误．④，则，故错误．故选：A．
例2．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：∵，，，
∴，，，0中，只有0是非负数．故选：A．
变式1．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、是负数，则，不符合题意；
B、是负数，则，不符合题意；C、是负数，则，不符合题意；
D、，不符合题意；故选：D．
变式2．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当，则，当，则，当，则，则，
∴当，则，故选：C
变式3．（24-25·广西·七年级校考阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【详解】解：，故选：D．
变式4．（24-25·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（ ）
A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的
C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等
【答案】A
【详解】解：当为偶数时，，即此时这两个式子互为相反数，
当为奇数时，，即此时这两个式子相等．故选A．
考点4.有理数乘方的逆运算（简算）
【解题方法】性质：
例1．（24-25七年级上·福建·期中）（1）计算下面两组算式：①与； ②与；（2）根据以上计算结果想开去：等于什么 （直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4）
【详解】解：（1）①，；
②，；
（2）；
（3），理由如下：；
（4）．
例2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵∴∴∴，故选：D．
变式1．（24-25七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（ ）
A．6 B．8 C． D．十分麻烦
【答案】B
【详解】解：＝1×8＝8故选：B．
变式2．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
【答案】B
【详解】解：原式．故选：B．
考点5.偶次方的非负性的运用
例1．（23-24七年级上·海南·期末）如果，那么 ．
【答案】1
【详解】解：，，
，，，，，故答案为：1．
例2．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴ ∴，
∴的最大值为：；故答案为：．
变式1．（23-24七年级上·广东·阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【详解】解：，，
故，故答案为：．
变式2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（ ）
A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于
【答案】B
【详解】解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意；
、∵，∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意；
、当时，，此选项说法错误，不符合题意；
、∵，则，∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意；故选：．
考点6.有理数乘方的实际应用
【解题方法】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【详解】解：根据第1次截取后，剩，第2次截取后，剩，
第3次截取后，剩；第4次后剩下，即（米），故选B．
例2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌．
【答案】
【详解】解：分裂次数为：（次），
1个这种细菌经过5个小时可以分裂成的细胞为：个，故答案为：．
变式1．（24-25七年级上·福建福州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，将二进制换算成十进制数的结果为（ ）
A．8 B．9 C．14 D．15
【答案】B
【详解】解：由题意得： ．故选：B．
变式2．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）在至33的整数之间进行猜数字游戏，最快在（ ）次内一定能猜中．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】解：从至33的整数一共有个数，而，
故最快在6次内一定能猜中，故选∶B
考点7.有理数乘方的新定义问题
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（ ）
A．16 B．－2 C．2或 D．16或
【答案】C
【详解】解：∵，，，
∴，，∴，，∴，∴，故选：C．
例2．（24-25七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．
如果 的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如：
①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：；
②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：．
(1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①；②
(2)将下列对数式改为指数式：①=2 ②
(3)计算：
【答案】(1)①；②(2)①；②(3)6
【详解】（1）解：①；对数式记作：；②；对数式记作：；
（2）①；指数式为，②；指数式为；
（3），．
变式1．（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）用“※”定义一种新运算，规定，如，
(1)求的值；(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：；（2），．
变式2．（24-25·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______．
【答案】1
【详解】解：第一次：，第二次：
∵其中k是使为奇数的正整数，∴∴第二次运算：，
第三次：∵∴计算结果为
第五次：，第六次：，∵∴，计算结果为，……
依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1，
∴第2020次“F运算”的结果是1．故答案为：1．
变式3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】(1)直接写出计算结果：______；______；
(2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）．
A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；
C． D．1和的圈n次方都等于它本身．
(3)算一算：
【答案】(1)1，(2)D(3)12
【详解】（1）解：由题意可得：；；
（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确；
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确；
C．，，且，则，故正确；
D．1和的圈n次方都等于它本身，，或1，故错误；故选D；
（3）
；
考点8.用科学记数法表示大于1的数
【解题方法】科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．
注意：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n；②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号；③将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。
例1．（2025·四川成都·一模）电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．故选：B．
变式1．（2025·广西南宁·一模）为促进“东数西算”绿色发展，2025年某超大型数据中心引入先进制冷技术，计划将耗电量降至9600000000千瓦时，数据9600000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，故选：B．
变式2．（2025·山东临沂·一模）中国是全球可再生能源领域的引领者，近年来在风能、太阳能、水电、储能技术等方面取得显著进展，为全球可持续发展提供了“中国方案”．年全国可再生能源新增装机亿千瓦，将亿用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．故选：B．
变式3．（2025·陕西咸阳·一模）被誉为“古都明珠，华夏宝库”的陕西历史博物馆以171万件藏品展示着陕西历史文化和中国古代文明．数据“171万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵万，故选：B．
考点9.将用科学记数法表示的数变回原数
【解题方法】解题的关键是掌握将科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
例1．（2025·辽宁辽阳·二模）若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（ ）
A．39600 B．396000 C．0.00396 D．0.0000396
【答案】B
【详解】解：，故选：B．
变式1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）2023年8月31日，世界首个超超临界二次再热火电工程在山东郓城开建，与常规煤电组比较，每年可节约标煤吨，将数据还原正确的是（ ）
A．35000000 B．3500000 C．350000 D．35000
【答案】C
【详解】解：．故选C．
变式2．（2025·河北沧州·模拟预测）用科学记数法表示的数为，则它的原数是（ ）
A．20500 B．2050 C．205000 D．20500
【答案】C
【详解】解：，它的原数是，故选：．
考点10.用科学记数法表示大于1的数（含计算）
【解题方法】此类问题需先计算出所需科学记数法表示的原始数据，再根据考点1中的方法求解即可。
例1．（23-24七年级上·山西·期中）献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵22亿元= ，∴，故选：B.
变式1．（2024·河南漯河·二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（ ）
A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦
【答案】B
【详解】解：根据题意，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，∴，故选：B．
变式2．（2024七年级上·广东·专题练习）中国古代涌现包括“铸、钧、镒、铢”等在内的质量单位，而现代的质量单位有：吨（）、千克（）、克（）、毫克（）、微克（）等．其中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，，．故选：A．
变式3．（24-25九年级下·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（ ）
A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨
【答案】C
【详解】铝、锰元素总量的和约是：吨．故选：C．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·河北保定·一模）截至2024年8月28日，电影《抓娃娃》票房突破32.26亿元，下列说法正确的是（ ）
A．32.26亿用科学记数法表示为 B．32.26亿用科学记数法表示为
C．它是一个8位数 D．它是一个9位数
【答案】B
【详解】解：亿．故32.26亿是一个十位数.故选：B
2．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）计算可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据幂的意义得，故选：C．
3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）是的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】D
【详解】解：因为，，
∴，即是的倍，故选：D．
4．（23-24七年级上·河北邢台·期末）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（ ）
①甲：是2个5相加； ②乙：与是不同的结果；
③丙：； ④丁：是个4相乘．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：①甲：是5个2相乘；，故甲计算错误；
②乙：，，结果相同；故乙计算错误；
③丙：；故丙计算错误；④丁：是4个相乘．，故丁计算错误；故选：A．
5．（23-24七年级上·河南周口·期中）根据乘方的意义可得算式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意知，，故选：B．
6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：若正整数a，b，c满足，则称为梦想数.例如，，，则15，40都是梦想数.下列各数中，不是梦想数的是（ ）
A．98 B．87 C．76 D．65
【答案】A
【详解】解：A、不能写成两数的平方差，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．故选：A．
7．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，∴．故选：C．
8．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（ ）
A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108
【答案】D
【详解】解：黑色代表1，白色代表0，
∴图2中，第一行，转换成10进制数为：，
第二行，转换成10进制数为：，
第三行，转换成10进制数为：，
第四行，转换成10进制数为：，
第五行，转换成10进制数为：，
∴小张的准考证号为，故选：D ．
9．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
【答案】B
【详解】解：原式．故选：B．
10．（24-25·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（ ）
（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】∵，∴>0，即总是正数，(1)正确；
∵， ，∴当即a=0时，，故是正数；
当时，则，即，故是正数；故（2）正确；
的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）错误．故选：B.
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·江西宜春·期末）计算： ．
【答案】9
【详解】解：，故答案为：9．
12．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·期中）计算： ．
【答案】
【详解】解：
．故答案为：
13．（24-25七年级上·浙江·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ．
【答案】5
【详解】解：根据题意可得：
1的末位数字为1，
的末位数字为3，
的末位数字为7，
的末位数字为5，
的末位数字为1，
末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，
，则该式末位数字为第506组的第四个数字，
的末位数字是5，故答案为：5．
14．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ．
【答案】47000
【详解】解：．故答案为：47000．
15．（24-25七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ．
【答案】 /
【详解】解：依题意得：，即：，，即：，故答案为：，2．
16．（24-25·湖南·七年级校考期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______．
【答案】8
【详解】解：故答案为
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________
(3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子：
________________________________ ________________________________
【答案】(1)6(2)(3)；
【详解】（1）解：根据题意得：，故最大值为；
（2）解：，故最小值为；
（3）解：根据题意得：；，
即符合题意的式子为：；．
18．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
；
（3）解：原式，
，
；
（4）解：原式，
，
；
（5）解：原式，
，
．
19．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大．
(1)求第二个正方体纸盒的棱长；(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？
【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为
(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多
【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：，
第二个正方体纸盒的体积为：，
∵，∴第二个正方体纸盒的棱长为；
（2）解：，
答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多．
20．（24-25·江苏·七年级专题练习）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【答案】(1)1，1；(2)ab，anbn，abc，anbncn；(3)﹣0.125
【解析】(1)解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1．
(2)解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
故答案为：ab，anbn，abc，anbncn．
(3)解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）
＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125
21．（23-24七年级上·广东·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：(1)一粒大米重约多少克？(2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）；(3)若我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）；(4)经过以上计算，你有何感想和建议？
【答案】(1)0.02克(2)千克(3)元(4)答案不唯一，见解析
【详解】（1）解：（克），答：粒大米重约克；
（2）解：（千克），
答：一年大约能节约大米千克；
（3）解：（元），
答：卖得人民币元．
（4）解：一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大得惊人．所以提倡节约，杜绝浪费﹐我们要行动起来．（合理即可）
22．（24-25·江西宜春·七年级统考期末）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如，记作，读作“2的引4次商”；一般地，把（，，且为整数）记作，读作“a的引n次商”．
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)归纳：负数的引正奇数次商是______数，负数的引正偶数次商是______数（填“正或负”）；
(3)计算：．
【答案】(1)4，；(2)负，正；(3)76．
【详解】（1）解：，
，故答案为∶4，；
（2）解：∵当，且
∴当n为奇数时，有为奇数，即，
当n为偶数时，有为偶数，即，
∴负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数，故答案为：负，正；
（3）解：．
23．（24-25·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
【答案】(1)9 (2)；35
【详解】（1）解：；故答案为：9；
（2）解：
，
．故答案为：；35．
24．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法：
一、小明的做法：
如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分．
第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为；
第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为；…
第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为．
根据图形可得，．
二、小亮的做法：
设，
则，因为，所以．
(1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）；
(2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论；
(3)在上面的两种做法中任选一种计算的值．
【答案】(1)，见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：，
（2）解：设，
则，
因为，所以．
（3）解：设，
则，
因为，所以．
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