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第2章 有理数的运算
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·山西运城·二模）2025年2月20日，中国石油超万米科探井——深地塔科1井在地下万米钻探出亿年前的岩石标本，数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·福建厦门·一模）为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖北随州·二模）2025年“迎蛇年过大节，春满荆楚福满园”湖北文旅迎春节活动顺利举行，数据2025的倒数是（ ）
A．2025 B． C． D．
4．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（ ）
A．6 B．2 C． D．
5．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a，b，c，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（24-25七年级上·广东广州·期中）将六进制数转化为十进制数的结果为（ ）
A．880 B．3788 C．1000 D．13
7．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，9不大于2024，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，……，若输入，那么经过（ ）次“传输”后可以输出结果，结束程序．
A．11 B．12 C．21 D．23
8.（24-25七年级下·山东青岛·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
9．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值，
可令，则，
因此，所以．
这种方法称为“错位相减法”．
请参考以上推理计算： （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ．
12．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）若，则 ．
13．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）计算： ．
14．（2025·北京石景山·一模）某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下：每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成；每人同一时间只能进行一项工作：“家务”与“家务”的第二阶段由机器完成；
每项家务的各阶段所需时间如下表所示：
家务类别阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分）
家务
家务
家务
家务
在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要 分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要 分钟．
15．（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ．
16．（24-25七年级上·江苏常州·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习） 用简便方法计算： (1)
(2) (3)
18．（22-23七年级上·辽宁大连·阶段练习）用简便方法计算：
(1) (2)
19．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
20．（24-25七年级上·江西赣州·期中）用简便方法计算：
(1)； (2)．
21．（24-25六年级上·上海·阶段练习）等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，这样由于每月的还款本金额度固定，而利息越来越少，借款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款败也越来越少．
设小王贷款60万，月利率是，采用等额本金还款法，准备在半年内还清，请问他第一个月需还款多少万元？第二个月需还款多少万元？最后总共要还款多少万元？
22．（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）用简便的方法计算
（1）1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+2017-2018-2019+2020（2）
（3） （4）|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|．
23．（24-25七年级上·浙江·课后作业）根据下列材料，回答问题：
（1）
请根据以上各式完成下列题目：
①_______；②_______；（n为正整数）
③用简便方法计算：．
（2），，，……
请根据以上各式完成下列题目：
①______________；②______________；（n，d为正整数）
③用简便方法计算：．
（3）从上述两个题目中，你有什么收获？试试下面的题目，你一定行！
①； ②．
24．（2025·广西南宁·二模）综合实践
问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据．
查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：．
查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如：可得：上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法）
制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码．
请完成下列问题：
【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来；
【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级；
【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作．
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第2章 有理数的运算
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·山西运城·二模）2025年2月20日，中国石油超万米科探井——深地塔科1井在地下万米钻探出亿年前的岩石标本，数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 亿，故选：B．
2．（2025·福建厦门·一模）为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：这三天水位上涨的高度可表示为，故选：C
3．（2025·湖北随州·二模）2025年“迎蛇年过大节，春满荆楚福满园”湖北文旅迎春节活动顺利举行，数据2025的倒数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【详解】数据2025的倒数是．故选：C．
4．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（ ）
A．6 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】解：，故选：D．
5．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a，b，c，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：由数轴可得，，，
，，，，故①②错误，③④正确；
，，，，故⑤正确；综上所述，正确的有3个．故选：C．
6．（24-25七年级上·广东广州·期中）将六进制数转化为十进制数的结果为（ ）
A．880 B．3788 C．1000 D．13
【答案】B
【详解】解：．故选B．
7．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，9不大于2024，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，……，若输入，那么经过（ ）次“传输”后可以输出结果，结束程序．
A．11 B．12 C．21 D．23
【答案】B
【详解】解：∵，∴当，即：时，即可输出结果，
设从1开始，经过次传输，得到，∴，解得：．故选B．
8.（24-25七年级下·山东青岛·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【详解】解：
；故选B．
9．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意可得，因为，，所以，
以此类推，得，
，
，
，
，
，
，
……
∵，∴
，故选：D．
10．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值，
可令，则，
因此，所以．
这种方法称为“错位相减法”．
请参考以上推理计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设，则，
∴，即，
再令，则，∴，即，
∴，，，．故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（2025·陕西咸阳·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ．
【答案】
【详解】由题意得：．
12．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，，∴，，
∴，故答案为：．
13．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）计算： ．
【答案】1012
【详解】解：
．故答案为：1012．
14．（2025·北京石景山·一模）某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下：每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成；每人同一时间只能进行一项工作：“家务”与“家务”的第二阶段由机器完成；
每项家务的各阶段所需时间如下表所示：
家务类别阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分）
家务
家务
家务
家务
在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要 分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要 分钟．
【答案】
【详解】解：小明先完成家务的第一阶段，用时分钟，
由机器完成家务的第二阶段，同时小明开始家务的第一阶段，
小明完成家务的第一阶段和第二阶段共用时分钟，
在小明完成家务（第一阶段和第二阶段）时间段内，机器完成了家务的第二阶段，
小明完成家务和家务，则至少需要分钟；
小明和哥哥合作完成四项家务，把和分为一组，和分为一组，
和分为一组，最少需要的时间是分钟，
和分为一组，最少需要的时间是分钟，
小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要分钟．故答案为：，．
15．（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ．
【答案】
【详解】根据题意得，．故答案为：．
16．（24-25七年级上·江苏常州·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的最小值为 ．
【答案】3
【详解】解：自然数恰好经过7次运算后得到1，
设自然数每次运算的结果分别为，，，，，，，
若为奇数，，则，与为奇数矛盾，不符合题意，∴为偶数，则；
若为奇数，，则，与为奇数矛盾，不符合题意，∴为偶数，则；
若为奇数，，则，此时已结束运算，不符合题意，∴为偶数，则；
若为奇数，，则，与为奇数矛盾，不符合题意，∴为偶数，则；
若为奇数，，则，
当为奇数，，则，与为奇数矛盾，不符合题意，
∴为偶数，则，∴或，可得或；
若为偶数，则，
当为奇数，，则，与为奇数矛盾，不符合题意，
∴为偶数，则，∴或，可得或；
综上，所有符合条件的的值为：128、21、20、3，∴所有符合条件的最小值为3．故答案为：3．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习） 用简便方法计算： (1)
(2) (3)
【答案】(1)65(2)0(3)
【详解】（1）解：
=
=
=65.
（2）解：
=
=
=
=0.
（3）解：
=
=
=
=
=
=-9.
18．（22-23七年级上·辽宁大连·阶段练习）用简便方法计算：
(1) (2)
【答案】(1)50 (2)7
【详解】（1）
（2）
19．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
20．（24-25七年级上·江西赣州·期中）用简便方法计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：
=
=
=
21．（24-25六年级上·上海·阶段练习）等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，这样由于每月的还款本金额度固定，而利息越来越少，借款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款败也越来越少．
设小王贷款60万，月利率是，采用等额本金还款法，准备在半年内还清，请问他第一个月需还款多少万元？第二个月需还款多少万元？最后总共要还款多少万元？
【答案】第一个月需还款10.6万元，第二个月需还款10.5万元，最后总共要还款62.1万元
【详解】解：每月应还本金（万元），
第一个月需还款（万元），
第二个月需还款（万元），
第三个月需还款（万元），
第四个月需还款（万元），
第五个月需还款（万元），
第六个月需还款（万元），
∴总共要还款：（万元），
答：第一个月需还款10.6万元，第二个月需还款10.5万元，最后总共要还款62.1万元．
22．（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）用简便的方法计算
（1）1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+2017-2018-2019+2020 （2）
（3） （4）|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|．
【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1）1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+2017-2018-2019+2020
=（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+（9-10-11+12）+…+（2017-2018-2019+2020
=0+0+0+…+0
=0
（2）
=
=
=
=
=
=
（3）
=
=
=
=
=
=
（4）|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|
=
=
=
=．
23．（24-25七年级上·浙江·课后作业）根据下列材料，回答问题：
（1）
请根据以上各式完成下列题目：
①_______；②_______；（n为正整数）
③用简便方法计算：．
（2），，，……
请根据以上各式完成下列题目：
①______________；②______________；（n，d为正整数）
③用简便方法计算：．
（3）从上述两个题目中，你有什么收获？试试下面的题目，你一定行！
①； ②．
【答案】（1）①；②；③； （2）①；②；③；
（3）①；②
【详解】解：（1）由题意可得：①；②；（n为正整数）
③用简便方法计算：
；
（2）由题意可得：①；②；（n，d为正整数）
③用简便方法计算：
；
（3）①
；
②
；
24．（2025·广西南宁·二模）综合实践
问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据．
查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：．
查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如：可得：上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法）
制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码．
请完成下列问题：
【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来；
【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级；
【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作．
【答案】（1）见解析；（2）九年级六班；（3），二维码见解析
【详解】解：（1）考场号二进制数10101，对应二维码的五个方格从左到右分别为：黑、白、黑、白、黑，填涂如下：
（2）根据图的二维码图形，小张同学所在的年级：，即为九年级；
班级：，即为六班；
（3）方法一：，
方法二：则，
补全图：
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