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专题2.2 有理数的减法
1.掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法法则进行简单的计算；
2.会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题；
3.理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算；
4.在学习、探究有理数减法法则的过程中，体会“化归”的数学思想，强化应用意思。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.有理数的减法运算 2
考点2.有理数减法法则的辨析 3
考点3.有理数加减法统一成加法 4
考点4.有理数的加减混合运算 5
考点5.有理数加减混合运算中的简便计算 7
考点6.有理数加减法混合运算的实际应用 12
考点7.有理数加减混合运算的新定义 15
模块3：培优训练 16
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。
2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。如：
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
3. 有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。
4．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式
可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。
例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。
考点1.有理数的减法运算
【解题方法】有理数减法的法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：=；
（2）解；=；
（3）解：；
（4）解；．
变式1．（24-25·浙江·七年级校考期中）在(－5)－( )＝－7中的括号里应填( )
A．－12 B．2 C．－2 D．12
【答案】B
【详解】减去一个数等于加数这个数的相反数.同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加. 故选B.
变式2．（2025·吉林长春·一模）计算的结果是（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】D
【详解】解：原式；故选：D．
变式3．（24-25七年级上·广东·期中）比小1的数是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【详解】解：由题意可得：，即比小1的数是，故选：B．
变式4．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）计算
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)．
【详解】（1）解：；（2）解：；
（3）解：；（4）解：；
（5）解：；（6）解：；
（7）解：；（8）解：；（9）解：；
考点2.有理数减法法则的辨析
【解题方法】根据有理数的减法法则辨析即可。
例1．（24-25·山东·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数
C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零
【答案】A
【详解】A.减去一个数，等于加上这个数的相反数，正确；
B.如，-7-2=-9是负数，所以被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数错误；
C.如0-(-5)=5，所以零减去一个有理数，差一定是负数错误；
D.如5-3=2>0，所以两个数的差必小于零错误；故选A．
变式1．（24-25·广东·七年级期末）（多选题）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】解：如图可知，，，且离原点更近一些，故：
A、正确，符合题意；B、由图知，故错误，不符合题意；
C、因为，所以，故C错误，不符合题意；
D、因为，所以，且离原点更近一些，则，故，符合题意；故选AD．
变式2.（24-25·湖北·七年级校联考阶段练习）下面说法中，正确的是（ ）
A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数；
C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零．
【答案】C
【详解】解：A、两个有理数的和不一定比这两个有理数的差大，故本选项说法错误，不符合题意；
B、两个有理数的差一定不小于被减数，故本选项说法错误，不符合题意；
C、零减去一个有理数等于这个有理数的相反数，故本选项说法正确，符合题意；
D、绝对值相等的两数之差不一定为零，如3与﹣3的绝对值相等，但3－（﹣3）=6，故本选项说法错误，不符合题意 ．故选：C．
考点3.有理数加减法统一成加法
【解题方法】有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式．
例1．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）将写成省略括号和加号的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，故选：B．
变式1．（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法；
读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减．
则关于这两种读法，下列说法正确的是（ ）
A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确
【答案】D
【详解】解：对于式子，
可读作：负，负，正与负的和；也可读作：负减加减，
∴两种读法都正确．故选：D．
变式2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）把算式写成省略括号和加号的形式为 ．
【答案】
【详解】解：原式；故答案为：
考点4.有理数的加减混合运算
【解题方法】有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。
例1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算:
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
变式1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）计算：(1)；(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
变式3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算
(1)；(2)
【答案】(1)(2)1.5
【详解】（1）解：
；
（2）解：
.
考点5.有理数加减混合运算中的简便计算
【解题方法】运用运算律简化计算常见方法：
①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。
例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算
(1)；(2)；
(3)；(4)
(5)；(6)；
(7)；(8)
【答案】(1)8(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
；
（7）解：
；
（8）解：
．
变式1．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算：(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)3(2)(3)(4)1
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
变式2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）：
(1)； (2)；
(3)． (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
变式3．（24-25·广西·七年级月考中）计算（能简算的要简算）：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)3 (2) (3) (4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
考点6.有理数加减法混合运算的实际应用
【解题方法】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下：
设计高度h（单位：）
允许偏差（单位：）
社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据：
模型编号 甲 乙 丙 丁
设计高度h（单位：） 30.0 45.0 75.0 90.0
实际高度（单位：） 29.7 46.1 74.5 91.1
问题：甲，乙，丙，丁中不符合精度要求的是 ．
【答案】乙
【详解】解：甲偏差为，符合要求，不符合题意；
乙偏差为，不符合要求，符合题意；
丙偏差为，符合要求，不符合题意；
丁偏差为，符合题意，不符合题意；故答案为：乙．
例2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
200 38 188 458
(1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数．
(2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？(3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少．
【答案】(1)(2)亏了，亏了8元(3)盈利最多的一天比亏损最多的一天多元
【详解】（1）解：
，∴星期五的盈亏数为；
（2）解：由于是负数，故星期五亏了，亏了8元．
（3）解：（元）．
答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元
变式1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如果冰箱冷藏室的温度是，冷冻室的温度是，则冷藏室比冷冻室高（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，，∴冷藏室比冷冻室高，故选：C．
变式2．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．
(1)小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？(2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？(3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
【答案】(1)小虫最后是回到了出发点O(2)12厘米(3)54粒
【详解】（1）解：27，
∴小虫最后是回到了出发点O；
（2）解：① 厘米，② 厘米，③ 厘米，④ 厘米，
⑤ 厘米，⑥ 厘米，⑦ 厘米，∴小虫离开出发点O最远时12厘米．
（3）解：（厘米）；（粒）
答：小虫一共得到54粒芝麻．
变式3．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“”，不足计划产量的记为“”）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
(1)试求出表中被污染的数据；(2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？
【答案】(1)表中被污染的数据是(2)该服装厂星期五生产了392套运动服
【详解】（1）解：依题意得，星期五工厂多生产运动服为：
， ， ∴表中被污染的数据是；
（2）解：由（1）得：该服装厂星期五生产的运动服比平均数量少8件，
∴套，∴该服装厂星期五生产了392套运动服．
考点7.有理数加减混合运算的新定义
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数：若，则，若，则．例：，．
(1)求的值；(2)求的值．
【答案】(1)；(2)4．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴．
变式1．（24-25七年级上·天津·期末）若为有理数，定义运算符号“※”：当时，※；当时，※；当时，※．则根据定义，的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】解：根据题中的新定义得：，故选：B．
变式2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【详解】解：∵，，∴，，
∴，故答案为：．
变式3．（24-25七年级上·北京石景山·期末）规定一种新运算：，例如：，（1）请计算： ．（2）请判断该新运算是否满足交换律： （是或否）．
【答案】 是
【详解】解：（1），故答案为：；
（2）该新运算满足交换律，理由如下：
，，
，该新运算满足交换律，故答案为：是．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·江苏无锡·一模）计算的结果等于（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】D
【详解】解：，故选：D．
2．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）按照有理数减法法则，可以转化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：．故选：D．
3．（2025·河北石家庄·一模）杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是2025年2月9日这四个城市的最高和最低气温（单位：℃），则日温差最小的城市是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意知，，，，，
∵，∴重庆温差最小，故选：C．
4．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（ ）
A．甲： B．乙： C．丙： D．丁：
【答案】A
【详解】解：有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数，
用字母表示为，所以甲同学表示正确．故选：A．
5．（24-25六年级上·山东威海·期末）某运动队队员的平均身高是．下表给出了该运动队6名队员身高与平均身高的差值，这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差（ ）．
队员 A B C D E F
身高与平均身高的差 0
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【详解】解：有表格数据可得E队员最高，D队员最矮．
即这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差．故选：D
6．（24-25七年级上·浙江·期末）把算式写成省略加号的和的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：．故选：A．
7．（2024七年级上·浙江·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ）
甲：
乙：
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确
【答案】D
【详解】解：，故甲计算错误；
，故乙计算正确，故选：D．
8．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：当时，，，，故A不符合题意；
当时，，，，故B不符合题意；
当时，，，，故C不符合题意；
当时，，，，故D符合题意；故选：D．
9.（24-25南京七年级期中）M、N两地的高度差记为M﹣N，例如：M地比N地低2米，记为M﹣N＝﹣2（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米）
两地的高度差 D﹣A E﹣D F﹣E G﹣F H﹣G B﹣H
测量结果 3.3 ﹣4.2 ﹣0.5 2.7 3.9 ﹣5.6
则A﹣B的值为（ ）
A．0.4 B．﹣0.4 C．6.8 D．﹣6.8
【解答】解：B﹣A＝（D﹣A）+（E﹣D）+（F﹣E）+（G﹣F）+（B﹣G）
＝3.3﹣4.2﹣0.5+2.7+3.9﹣5.6＝0.4（米）．A比B地高0.4米，故选：A．
10．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，我们称为集合，若集合中的元素均相同，则只保留一个，如{4，4}记作{4}，其中的每一个数称为该集合的元素，若一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，86}是一个对称集合，以下结论正确的是（ ）
①集合是一个对称集合；②若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是1936；③在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是；④若一个对称集合中有个元素，则这个元素的和为．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【详解】解：，，集合是一个对称集合，故①正确；
，若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是，故②错误；，在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是，故③正确；
若一个对称集合中有个元素，则有对和为的对应元素，这个元素的和为，故④正确；
故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算的结果是 ．
【答案】15
【详解】解：．故答案为：15．
12．（24-25七年级上·四川成都·期末）艾丁湖是中国陆地最低点，湖面平均海拔约为米，成都市中心城区的平均海拔约为米，则成都市中心城区的平均海拔比艾丁湖的湖面平均海拔高 米．
【答案】654
【详解】解：根据题意得，(米)，
即成都市中心城区的平均海拔比艾丁湖的湖面平均海拔高654米，故答案为∶654．
13.（24-25七年级上·重庆·期中）给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了有理数减法法则，解题关键是熟记法则，准确进行判断即可．
【详解】解：①，所以，则，①正确；
②若，所以，则，②正确；
③若，所以，则，③错误；
④若，且，所以，则，，④正确．故答案为：①②④．
14．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）我们把个位上数字为和是的倍数的数按从小到大的顺序排列所组成的正整数称为“三星数”，如，，，，，；把个位上数字为和是的倍数的数按从小到大的顺序排列所组成的正整数称为“七星数”，如，，，，，．则第个“七星数”减去第个“三星数”的结果是 ．
【答案】
【详解】解：第个“七星数”为：，第个“三星数”为：，∴，故答案为：．
15．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）定义：对于任意两个有理数，可以组成一个有理数对．我们规定：．例如：．则有理数对 ．
【答案】1
【分析】此题考查了有理数的加减运算．原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：．
故答案为：1．
16．（2025·北京·模拟预测）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：
①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；
②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；
③每个步骤所需时间如下表所示：
步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备
所需时间／分钟 8 6 6 5
在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟．
【答案】
【详解】解：在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为（分）；如图所示，按照时间线，做完各自工作进入下一房间，
∵每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，
∴最后一间房的后三个步骤从分钟开始，甲乙同时完成整理床铺、更换客用物品，总时间 分钟，丙在第分钟进入最后一间房完成分钟，则最少需要分钟。故答案为：；．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·上海·期末）计算：
【答案】
【详解】解：原式
．
18．（24-25七年级上·江西赣州·期末）设表示不超过a的最大整数，例如，，．
(1)求的值；(2)令，求的值．
【答案】(1)19(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：令，
∴
．
19．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)4.5
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
20．（24-25七年级上·重庆渝北·阶段练习）计算
(1)；(2)
【答案】(1)10(2)5
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
21．（24-25七年级上·湖南常德·期末）老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为）
星期 一 二 三 四 五 六 日（天）
增减/分钟
问：(1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟
(2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟
(3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时
【答案】(1)14分钟(2)长了6分钟(3)
【详解】（1）解：（分钟），
答：做家务时间最长的一天比最短的一天多14分钟；
（2）解：（分钟），
答：实际情况较计划时间，长了6分钟．
（3）解：（小时），
答：小军这周做家务总时长是小时．
22．（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）．
（单位：元）
星期 - 二 三 四 五
每股涨跌
(1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
(2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【答案】(1)本周内最高价是每股元，最低价是每股元(2)赚了元
【详解】（1）解：星期一的股价：元，
星期二的股价：元，星期三的股价：元，
星期四的股价：元，星期五的股价：元，
则本周内最高价是每股元，最低价是每股元；
（2）元，即他的收益情况为赚了元．
23．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）如图1，2023年12月8日，某校为纪念一二九运动，组织全校学生在学校操场进行米接力赛，该校操场一圈是300米．比赛分年级进行，以班级为单位，每个班级选出男女各5名学生参加比寒，平均每人持棒跑150米．首先，我们需要了解一下交接棒的规则．如图2，在《田径规则》中规定，接力比赛中，交接棒必须在20米的接力区内完成．在这个区域内完成交接棒，可以确保交接棒的双方都有足够的时间和空间来准备和完成交接棒．因为该校操场一圈是300米．每人平均跑150米，故安排两个接力区，第一棒运动员从起点到第一接力区中心线的里程是150米．第一接力区与第二接力区中心线间里程也是150米．
以150米为基准，其中实际持棒里程超过基准的米数记为正数．不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了七年1班10名运动员中部分人的里程波动值．
棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
里程波动值 17 14 1 8
(1)第1棒运动员的实际里程为______米；(2)若第4棒运动员的实际里程为154米．
①第4棒运动员的里程波动值为______；②求第7棒运动员的实际里程．
【答案】(1)142(2)①4；②第7棒运动员的实际里程为150米
【详解】（1）解：（米），即第1棒运动员的实际里程为142米；
（2）①，即第4棒运动员的里程波动值为4，
②，
10名运动员的里程波动值的和是0，第7棒里程波动值是0，即第7棒运动员的实际里程为150米．
24．（24-25·成都市七年级期中）问题：能否将，，，，，这个数分成两组并分别求和，且使所求的两个和的差为？
解答：，要满足题设要求，需将这个数分成两组，一组的和为，另一组的和为，然后把它们相减下面给出一种分法，例如：．
应用：在，，，，，，，，，这个数前面任意添上“”或“”．
(1)能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法，若不能，请说明理由
(2)能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法，若不能，请说明理由．
【答案】(1)能，见解析 (2)不能，见解析
【详解】（1）解：能使它们的和等于，如：
.（答案不唯一）
（2）解：不能. 因为一组数的和的奇偶性是不变的，而是一个奇数，所以无论怎样分，其和不可能为偶数，当然也不会等于.
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专题2.2 有理数的减法
1.掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法法则进行简单的计算；
2.会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题；
3.理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算；
4.在学习、探究有理数减法法则的过程中，体会“化归”的数学思想，强化应用意思。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.有理数的减法运算 2
考点2.有理数减法法则的辨析 3
考点3.有理数加减法统一成加法 4
考点4.有理数的加减混合运算 5
考点5.有理数加减混合运算中的简便计算 7
考点6.有理数加减法混合运算的实际应用 12
考点7.有理数加减混合运算的新定义 15
模块3：培优训练 16
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。
2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。如：
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
3. 有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。
4．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式
可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。
例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。
考点1.有理数的减法运算
【解题方法】有理数减法的法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)
变式1．（24-25·浙江·七年级校考期中）在(－5)－( )＝－7中的括号里应填( )
A．－12 B．2 C．－2 D．12
变式2．（2025·吉林长春·一模）计算的结果是（ ）
A．2 B． C．8 D．
变式3．（24-25七年级上·广东·期中）比小1的数是（ ）
A． B． C．4 D．2
变式4．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）计算
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)
考点2.有理数减法法则的辨析
【解题方法】根据有理数的减法法则辨析即可。
例1．（24-25·山东·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数
C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零
变式1．（24-25·广东·七年级期末）（多选题）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25·湖北·七年级校联考阶段练习）下面说法中，正确的是（ ）
A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数；
C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零．
考点3.有理数加减法统一成加法
【解题方法】有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式．
例1．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）将写成省略括号和加号的形式是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法；
读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减．
则关于这两种读法，下列说法正确的是（ ）
A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确
变式2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）把算式写成省略括号和加号的形式为 ．
考点4.有理数的加减混合运算
【解题方法】有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。
例1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算:
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
变式1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算：
(1)； (2)．
变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）计算：(1)；(2)
变式3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算
(1)；(2)
考点5.有理数加减混合运算中的简便计算
【解题方法】运用运算律简化计算常见方法：
①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。
例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算
(1)；(2)；
(3)；(4)
(5)；(6)；
(7)；(8)
变式1．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算：(1)；(2)；
(3)；(4)．
变式2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）：
(1)； (2)；
(3)． (4)．
变式3．（24-25·广西·七年级月考中）计算（能简算的要简算）：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
考点6.有理数加减法混合运算的实际应用
【解题方法】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下：
设计高度h（单位：）
允许偏差（单位：）
社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据：
模型编号 甲 乙 丙 丁
设计高度h（单位：） 30.0 45.0 75.0 90.0
实际高度（单位：） 29.7 46.1 74.5 91.1
问题：甲，乙，丙，丁中不符合精度要求的是 ．
例2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
200 38 188 458
(1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数．
(2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？(3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少．
变式1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如果冰箱冷藏室的温度是，冷冻室的温度是，则冷藏室比冷冻室高（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．
(1)小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？(2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？(3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
变式3．（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“”，不足计划产量的记为“”）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
(1)试求出表中被污染的数据；(2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？
考点7.有理数加减混合运算的新定义
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数：若，则，若，则．例：，．
(1)求的值；(2)求的值．
变式1．（24-25七年级上·天津·期末）若为有理数，定义运算符号“※”：当时，※；当时，※；当时，※．则根据定义，的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
变式2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
变式3．（24-25七年级上·北京石景山·期末）规定一种新运算：，例如：，（1）请计算： ．（2）请判断该新运算是否满足交换律： （是或否）．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·江苏无锡·一模）计算的结果等于（ ）
A． B．1 C．3 D．5
2．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）按照有理数减法法则，可以转化为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北石家庄·一模）杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是2025年2月9日这四个城市的最高和最低气温（单位：℃），则日温差最小的城市是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（ ）
A．甲： B．乙： C．丙： D．丁：
5．（24-25六年级上·山东威海·期末）某运动队队员的平均身高是．下表给出了该运动队6名队员身高与平均身高的差值，这6名队员中，最高与最矮的队员身高相差（ ）．
队员 A B C D E F
身高与平均身高的差 0
A．4 B．5 C．8 D．9
6．（24-25七年级上·浙江·期末）把算式写成省略加号的和的形式为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七年级上·浙江·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ）
甲：
乙：
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确
8．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（ ）
A． B． C． D．
9.（24-25南京七年级期中）M、N两地的高度差记为M﹣N，例如：M地比N地低2米，记为M﹣N＝﹣2（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米）
两地的高度差 D﹣A E﹣D F﹣E G﹣F H﹣G B﹣H
测量结果 3.3 ﹣4.2 ﹣0.5 2.7 3.9 ﹣5.6
则A﹣B的值为（ ）
A．0.4 B．﹣0.4 C．6.8 D．﹣6.8
10．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，我们称为集合，若集合中的元素均相同，则只保留一个，如{4，4}记作{4}，其中的每一个数称为该集合的元素，若一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，86}是一个对称集合，以下结论正确的是（ ）
①集合是一个对称集合；②若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是1936；③在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是；④若一个对称集合中有个元素，则这个元素的和为．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算的结果是 ．
12．（24-25七年级上·四川成都·期末）艾丁湖是中国陆地最低点，湖面平均海拔约为米，成都市中心城区的平均海拔约为米，则成都市中心城区的平均海拔比艾丁湖的湖面平均海拔高 米．
13.（24-25七年级上·重庆·期中）给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是 ．（填序号）
14．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）我们把个位上数字为和是的倍数的数按从小到大的顺序排列所组成的正整数称为“三星数”，如，，，，，；把个位上数字为和是的倍数的数按从小到大的顺序排列所组成的正整数称为“七星数”，如，，，，，．则第个“七星数”减去第个“三星数”的结果是 ．
15．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）定义：对于任意两个有理数，可以组成一个有理数对．我们规定：．例如：．则有理数对 ．
16．（2025·北京·模拟预测）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：
①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；
②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；
③每个步骤所需时间如下表所示：
步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备
所需时间／分钟 8 6 6 5
在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·上海·期末）计算：
18．（24-25七年级上·江西赣州·期末）设表示不超过a的最大整数，例如，，．
(1)求的值；(2)令，求的值．
19．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
20．（24-25七年级上·重庆渝北·阶段练习）计算
(1)；(2)
21．（24-25七年级上·湖南常德·期末）老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为）
星期 一 二 三 四 五 六 日（天）
增减/分钟
问：(1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟
(2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟
(3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时
22．（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）．
（单位：元）
星期 - 二 三 四 五
每股涨跌
(1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
(2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？
23．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）如图1，2023年12月8日，某校为纪念一二九运动，组织全校学生在学校操场进行米接力赛，该校操场一圈是300米．比赛分年级进行，以班级为单位，每个班级选出男女各5名学生参加比寒，平均每人持棒跑150米．首先，我们需要了解一下交接棒的规则．如图2，在《田径规则》中规定，接力比赛中，交接棒必须在20米的接力区内完成．在这个区域内完成交接棒，可以确保交接棒的双方都有足够的时间和空间来准备和完成交接棒．因为该校操场一圈是300米．每人平均跑150米，故安排两个接力区，第一棒运动员从起点到第一接力区中心线的里程是150米．第一接力区与第二接力区中心线间里程也是150米．
以150米为基准，其中实际持棒里程超过基准的米数记为正数．不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了七年1班10名运动员中部分人的里程波动值．
棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
里程波动值 17 14 1 8
(1)第1棒运动员的实际里程为______米；(2)若第4棒运动员的实际里程为154米．
①第4棒运动员的里程波动值为______；②求第7棒运动员的实际里程．
24．（24-25·成都市七年级期中）问题：能否将，，，，，这个数分成两组并分别求和，且使所求的两个和的差为？
解答：，要满足题设要求，需将这个数分成两组，一组的和为，另一组的和为，然后把它们相减下面给出一种分法，例如：．
应用：在，，，，，，，，，这个数前面任意添上“”或“”．
(1)能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法，若不能，请说明理由
(2)能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法，若不能，请说明理由．
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