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专题2.3 有理数的乘法
1. 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算；
2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数；
3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算；
4. 在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便；
5. 初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.有理数的乘法运算 2
考点2.有理数乘法的符号辨析 3
考点3.有理数乘法运算律 6
考点4.有理数乘法的实际应用 10
考点5.有理数乘法的新定义问题 12
考点6.倒数的概念与运用 14
模块3：培优训练 15
1.有理数的乘法
有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）
两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。
即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘。
多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。
2.有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。
注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；
2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果；
3）公式的正用与逆用。
3.倒数
1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。
2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。
（1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。
注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；（3）倒数等于本身的数有：1、-1。
考点1.有理数的乘法运算
【解题方法】有理数乘法的法则
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0。
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
例1．（24-25七年级上·上海·专题练习）计算： ．
【答案】10
【详解】解：，故答案为：10．
例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
；
（2）
．
变式1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：根据乘法法则可知：A选项中的积为正数，B，C选项中的积为负数，D选项的积为0，
∴计算结果最大的是选项A．故选A．
变式2．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算： ．
【答案】
【详解】解：．故答案为：．
变式3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
考点2.有理数乘法的符号辨析
【解题方法】符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
例1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（ ）
A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个
【答案】C
【详解】解：根据多个有理数相乘，奇数个负数时，乘积为负数，
得3个有理数的乘积为负数时有1个或3个负数，即有2个正数或0个正数，故选：C．
例2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．∵，∴，故不正确；
B．∵，∴，∴，故正确；C．∵，∴ ，故不正确；
D．∵，∴，∴ ，故不正确；故选B．
例3．（2024·湖北·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【详解】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误；
②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误；
③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确；
④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确；
⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．∴正确的有2个；
故选：A．
变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A. 积为负，不符合题意；B. 积为负，不符合题意；
C. 积为正，符合题意；D. 积为0，不符合题意；故选：C．
变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）有个有理数相乘，如果积为，那么在这个有理数中（ ）
A．全部为 B．只有一个为 C．至少有一个为 D．有两个互为相反数
【答案】C
【详解】解：∵个有理数相乘，积是，∴这个数中至少有一个数是，故选：．
变式3.（2024 浙江七年级期中考）下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误；
②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确；
③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该小题说法错误；故选：A．
考点3.有理数乘法运算律
【解题方法】运用运算律的一些技巧：
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：。
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×。
③带分数应先化为假分数的形式。如：。
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；。
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。
例1．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意；
B．符合乘法结合律，正确，不符合题意；
C．符合乘法结合律，正确，不符合题意；
D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意．故选：D．
例1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．
解：原式①
②
③
④
⑤
(1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______；
(2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项）
（依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律）
(3)运用上述解法，计算：．
【答案】(1)⑤，；(2)；(3)．
【详解】（1）解：根据题意，可得第⑤步出现错误，
∵，∴正确结果是，故答案为：⑤，；
（2）解：第①步的变形依据是加法交换律，第②步的变形依据乘法分配律，故答案为：，；
（3）解：
．
变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
…①
…②
…③
A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错
【答案】C
【详解】解：
此步骤是将原式变形，
此步骤是利用乘法分配律，
此步骤是利用减法法则，
则原计算步骤从②步开始出错，故选：C．
变式2．（24-25七年级上·广东·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：故选：B．
变式3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式4．（2023·广东·七年级校考期中）用简便方法计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)2(2)(3)0(4)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
考点4.有理数乘法的实际应用
【解题方法】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题；
(1)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？
(2)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？
【答案】(1)抽取的2张卡片是、6，差的最小值是
(2)抽取的2张卡片是、，它们积最大，最大值是
【详解】（1）解：根据题意，得，最大数是6，最小数是，
故差的最小值是：．故抽取的2张卡片是、6，差的最小值是．
（2）解：根据题意，得，同号数组为3，6，积为；
同号数组为，，积为；同号数组为，，积为；同号数组为，，积为；又，故抽取的2张卡片是、，它们积最大，最大值是．
例2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定奶茶订购方案？
素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式：订购方式店铺优惠活动配送费电话订购每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．免费某外卖APP下单订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包．元/单注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包：
问题解决
问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元．①确定订购方式与数量：电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯；②计算订购方案的总费用．
【答案】问题1：630元；问题2：667元；问题3：①30；3；13；②订购方案的总费用为元（答案不唯一）
【详解】解：问题1：通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，需花费（元），答：需花费630元．
问题2：刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，
则需花费（元），答：需花费667元．
问题3：根据题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元，
则可以选择电话订购30杯，送3杯，此时花费（元），则外卖APP订购杯；
通过某外卖分五次下单这13杯奶茶，
其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，一次使用“吃货红包”满25减4元，一次使用“无门槛红包”，
则（元），
订购总费用为（元）．
电话订购30杯，送3杯，外卖订购13杯，订购方案的总费用为元．
故答案为：30；3；13（答案不唯一）．
变式1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量
(1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件；
(2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？
(3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？
【答案】(1)195(2)1408件(3)84460元
【详解】（1）解：（件），即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件，故答案为：；
（2）解：（件），答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件；
（3）解：（元），超过的部分奖励总额为：（元），
扣款总额为：（元），∴（元），
答：合作社成员这一周的工资总额是元．
变式2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）小明连续记录了他家私家车天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程
(1)在这七天中，最远与最近路程差是多少千米？
(2)若行驶需用汽油升，汽油价格为元升，请计算小明家这天的汽油费用是多少元？
【答案】(1)最远与最近路程差是千米；(2)小明家这天的汽油费用是元．
【详解】（1）解：这七天中，最远与最近路程差是（千米），
答：最远与最近路程差是千米；
（2）这七天中小明家共行驶：（千米），∴小明家这天的汽油费用是（元），答：小明家这天的汽油费用是元．
变式3．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：
阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段
工序
所需时间/分钟
加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短
在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元．
【答案】
【详解】解：一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行，
则加工该件艺术品最少需要：（分钟）；
需将加工时间缩短到分钟，则共需要缩短分钟，
在准备阶段若缩短分钟，则需要投入（元），
在制作阶段若缩短分钟，则需要投入（元），
还要分钟，在准备阶段缩短分钟需要投入（元），在制作阶段缩短分钟需要投入（元），，
综上，最少投入为：（元），故答案为：，．
考点5.有理数乘法的新定义问题
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种考点.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（ ）
A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8
【答案】A
【详解】解：；故选A．
例2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（ ）
A． B．99！ C．9900 D．2！
【答案】C
【详解】解：根据题目的运算规则可得：，故选：C．
变式1．（2024·湖南娄底·七年级校联考期末）若定义一种新运算，规定，则____．
【答案】
【详解】解：∵，∴，故答案为：2．
变式2．（2024·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意，得：，
∴；故选D．
变式3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（ ）
A．42 B．120 C．210 D．840
【答案】C
【详解】解：由已知得，故选C．
考点6.倒数的概念与运用
【解题方法】倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．
（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
例1．（24-25七年级·贵州·阶段练习）农历年是乙巳蛇年，则的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据倒数的定义可得：的倒数是．故选：．
例2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）与互为倒数的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，的倒数为，的倒数为，
A. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意；
B. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意；
C. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意；
D. ，和互为倒数，故该选项符合题意；故选：D ．
变式1．（2025·山东·一模）的倒数是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【详解】解：，的倒数是；故选：C．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（ ）
A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数
【答案】B
【详解】解：因为，所以和是倒数，故选：B．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列各式积为正的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A.中三个正数一个负数，结果为负，不符合题意；
B.中一个正数三个负数，结果为负，不符合题意；
C.中有一个0，结果为0，不符合题意；
D.中有四个负数，结果为正，符合题意．故选：D
2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由数轴可知：，∴；故A选项错误；
；故B选项正确；；故C选项错误；；故D选项错误；故选B．
3．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意；
②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意；
③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意；
④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意，
∴其中正确的结论有 2 个．故选：B．
4．（2024·浙江·七年级校考阶段练习）若，则下列选项正确的是（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0
【答案】C
【详解】解：根据任何数同零相乘，都得0，若，则a，b，c至少有一个为0，故选：C．
5．（2025·天津南开·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，故选：B．
6．（24-25七年级上·山东·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，．故选：B．
7．（24-25七年级上·河南安阳·期末）从，1，3，5五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为（ ）
A． B．25 C．15 D．20
【答案】D
【详解】解：解：．故选：D．
8．（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（ ）
A．9989 B．9900 C．9910 D．9920
【答案】B
【详解】解：，，，
，，
故选：B．
9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（ ）
A． B． C．168 D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵要使它们积的最小，∴要取奇数个负数，且绝对值尽可能的大，
∴取，7，5，∴积的最小值为．故选A．
10．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（ ）
A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
【答案】C
【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时个“”，其乘积为“”．
每次改变其中的个数，经过次点名，
①当为偶数时，
若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变；
若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变；
故当为偶数时，每次改变其中的m个数，其积的符号不变，那么n次点名后，乘积仍然是“”，
故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；
②当为奇数时，
若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变；
若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变；
故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变，
那么次点名后，
若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；
若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数；
综上所述，选项C正确，选项A、B、D均错误；故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（2025·广东惠州·一模）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是 。
【答案】
【详解】解：的倒数是，故答案为：．
12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）．
【答案】
【详解】解：，，，
故答案为： ．
13．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若是互不相等的整数，且，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，且是互不相等的整数，
∴代表的是这四个数，∴，故答案为：．
14．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习） ；
【答案】
【详解】解：．故答案为：．
15．（2024·浙江·七年级校联考期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________．
【答案】 2或3 或
【详解】解：如图2所示，由题意得，，
∵都是自然数，且，∴，∴，∴；
如图2-1所示，∵的结果十位数为1，∴或，
当时，符合题意，此时的乘积为；
当时，符合题意；，此时的乘积为；故答案为：2或3；或
16．（23-24七年级上·宁夏·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ．
【答案】7
【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且直接用乘法结合律来计算会非常简便，
观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算．故答案为：7．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·河南南阳·期末）若定义一种新运算“*”，规定：有理数，如：．(1)求的值．(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
18．（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目：
计算：（1）．（2）．
有两位同学的解法如下：（1）．（2）．
请参考上述解法，计算下列两题：(1)．(2)．
【答案】(1)(2)2025
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
20．（24-25七年级上·北京·期中）一出租车司机某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶运营，规定向东走为正，向西走为负，他当日行程记录如下（表示空载， 表示载有乘客，且乘客都不相同）：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
里程（千米）
载客
(1)该司机结束第6次行程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？
(2)已知每次载客时不超过3千米收费13元，超过3千米后，超出部分每千米收费2.3元（注：费用只考虑里程）．请问该司机这天上午结束6次行程后的营业额为多少元？
【答案】(1)东向14千米(2)123.3元
【详解】（1）解：
，答：他在A地的东方向；离A地有14千米
（2）解：；
；；（元）
答：该司机这天上午结束6次行程后的营业额为123.3元．
21．（24-25陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：
与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3
袋数 5 10 3 1 5 6
(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？
(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？
(3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？
【答案】(1)5千克(2)9千克(3)元
【详解】（1）解：（千克），
答：这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差5千克
（2）解：（千克），
答：这30袋大米的总重量比标准总重量多了9千克
（3）解：这30袋大米的总重量为（千克），
食堂购进大米总共花了（元）．
答：食堂购进大米总共花了元．
22．（2025·河北·校联考模拟预测）已知算式“”．
(1)嘉嘉将数字“5”抄错了，所得结果为，则嘉嘉把“5”错写成了________；
(2)淇淇不小心把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？
【答案】(1)3 (2)比原题的正确结果大11
【分析】（1）将数字“5”改成空格，采用有理数的运算可以得到结果．
（2）重新计算得结果，再作差运算得到结果．
【详解】（1）
所以把“5”错写成了“3”
（2）原题正确结果，
淇淇的结果：，，所以结果比原题的正确结果大11．
【点睛】本题采用灵活的形式进行有理数的混合运算，须小心审题，看清题目的要求，正确提取信息和计算是解题的关键．
23．（2024·湖北七年级月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
【答案】（1）-6；（2）；（3）不满足，举例见解析
【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6
（2）
（3）∵新运算 ∴运用加法加法交换律可得：
假设，则=3×4-3=9
=4×3-4=8 ∴不能用交换律。
24．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数．
如“”表示38，“”表示1983．
【观察思考】（1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______．
（2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式．
【迁移运用】《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤：
（3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理；
【总结提升】（4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现．
【答案】（1）266；；（2）见解析；（3）见解析；（4）算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律
【详解】解：（1）由题意得，图2表示的数为266，图3表示的数为；
（2）如图所示，即为所求；
（3）就是把38分成30和8，把76分成70和6，
；
（4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算可知，算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律．
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专题2.3 有理数的乘法
1. 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算；
2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数；
3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算；
4. 在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便；
5. 初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.有理数的乘法运算 2
考点2.有理数乘法的符号辨析 3
考点3.有理数乘法运算律 6
考点4.有理数乘法的实际应用 10
考点5.有理数乘法的新定义问题 12
考点6.倒数的概念与运用 14
模块3：培优训练 15
1.有理数的乘法
有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）
两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。
即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘。
多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。
2.有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。
注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；
2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果；
3）公式的正用与逆用。
3.倒数
1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。
2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。
（1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。
注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；（3）倒数等于本身的数有：1、-1。
考点1.有理数的乘法运算
【解题方法】有理数乘法的法则
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0。
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
例1．（24-25七年级上·上海·专题练习）计算： ．
例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1)； (2)．
变式1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算： ．
变式3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：．
考点2.有理数乘法的符号辨析
【解题方法】符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
例1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（ ）
A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个
例2．（24-25七年级上·浙江·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·湖北·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）有个有理数相乘，如果积为，那么在这个有理数中（ ）
A．全部为 B．只有一个为 C．至少有一个为 D．有两个互为相反数
变式3.（2024 浙江七年级期中考）下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点3.有理数乘法运算律
【解题方法】运用运算律的一些技巧：
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：。
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×。
③带分数应先化为假分数的形式。如：。
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；。
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。
例1．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．
解：原式①
②
③
④
⑤
(1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______；
(2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项）
（依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律）
(3)运用上述解法，计算：．
变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
…①
…②
…③
A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错
变式2．（24-25七年级上·广东·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算：
(1)； (2)．
变式4．（2023·广东·七年级校考期中）用简便方法计算：
(1) (2)
(3) (4)
考点4.有理数乘法的实际应用
【解题方法】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题；
(1)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？
(2)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？
例2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定奶茶订购方案？
素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式：订购方式店铺优惠活动配送费电话订购每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．免费某外卖APP下单订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包．元/单注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包：
问题解决
问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元．①确定订购方式与数量：电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯；②计算订购方案的总费用．
变式1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量
(1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件；
(2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？
(3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？
变式2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）小明连续记录了他家私家车天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程
(1)在这七天中，最远与最近路程差是多少千米？
(2)若行驶需用汽油升，汽油价格为元升，请计算小明家这天的汽油费用是多少元？
变式3．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：
阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段
工序
所需时间/分钟
加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短
在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元．
考点5.有理数乘法的新定义问题
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种考点.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（ ）
A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8
例2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（ ）
A． B．99！ C．9900 D．2！
变式1．（2024·湖南娄底·七年级校联考期末）若定义一种新运算，规定，则____．
变式2．（2024·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（ ）．
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（ ）
A．42 B．120 C．210 D．840
考点6.倒数的概念与运用
【解题方法】倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．
（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
例1．（24-25七年级·贵州·阶段练习）农历年是乙巳蛇年，则的倒数是（ ）
A． B． C． D．
例2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）与互为倒数的数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2025·山东·一模）的倒数是（ ）
A． B． C．4 D．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（ ）
A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列各式积为正的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024·浙江·七年级校考阶段练习）若，则下列选项正确的是（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0
5．（2025·天津南开·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·山东·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级上·河南安阳·期末）从，1，3，5五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为（ ）
A． B．25 C．15 D．20
8．（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（ ）
A．9989 B．9900 C．9910 D．9920
9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（ ）
A． B． C．168 D．无法确定
10．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（ ）
A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（2025·广东惠州·一模）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是 。
12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）．
13．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若是互不相等的整数，且，则 ．
14．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习） ；
15．（2024·浙江·七年级校联考期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________．
16．（23-24七年级上·宁夏·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·河南南阳·期末）若定义一种新运算“*”，规定：有理数，如：．(1)求的值．(2)求的值．
18．（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目：
计算：（1）．（2）．
有两位同学的解法如下：（1）．（2）．
请参考上述解法，计算下列两题：(1)．(2)．
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
20．（24-25七年级上·北京·期中）一出租车司机某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶运营，规定向东走为正，向西走为负，他当日行程记录如下（表示空载， 表示载有乘客，且乘客都不相同）：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
里程（千米）
载客
(1)该司机结束第6次行程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？
(2)已知每次载客时不超过3千米收费13元，超过3千米后，超出部分每千米收费2.3元（注：费用只考虑里程）．请问该司机这天上午结束6次行程后的营业额为多少元？
21．（24-25陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：
与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3
袋数 5 10 3 1 5 6
(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？
(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？
(3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？
22．（2025·河北·校联考模拟预测）已知算式“”．
(1)嘉嘉将数字“5”抄错了，所得结果为，则嘉嘉把“5”错写成了________；
(2)淇淇不小心把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？
23．（2024·湖北七年级月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
24．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数．
如“”表示38，“”表示1983．
【观察思考】（1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______．
（2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式．
【迁移运用】《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤：
（3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理；
【总结提升】（4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现．
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