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专题2.4 有理数的除法
1. 掌握有理数除法法则，并能熟练进行有理数除法的运算；
2. 在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想；
3. 能利用有理数的除法解决生活中的实际问题。
4. 熟练掌握有理数混合（加减乘除）运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯；
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.有理数的除法运算 2
考点2.有理数除法法则的辨析 3
考点3.有理数乘除法的混合运算 5
考点4.有理数除法的运算技巧 7
考点5.有理数除法的应用 11
考点6.有理数除法的新定义问题 14
模块3：培优训练 15
1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。
有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。
2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。
考点1.有理数的除法运算
【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
例1．（24-25七年级上·浙江·校考期末）下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，故计算错误；
B、，故计算错误；C、，故计算正确；
D、，故计算错误；故选：C．
例2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： 故选：C．
变式1．（24-25七年级上·重庆·期末）计算： ．
【答案】
【详解】解：．故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得，解得，所以，故答案为：．
变式3．（24-25·山东临沂·七年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项正确，符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意，故选：B．
考点2.有理数除法法则的辨析
【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
例1．（24-25·浙江·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【详解】解：，，故选：B．
例2．（24-25·江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，，则，．②若，，则，且．
③若，，则，．④若，，则，且．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：①若，，则，，故①结论正确；
②若，，则a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②结论错误；
③若，，则a＜0，b＜0，故③结论正确；
④若，，则a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故结论错误．
故正确的有2个．故选：B．
变式1．（24-25·山东·七年级期末）下列说法正确的是（ ）（多选题）
A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负；
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数
【答案】BC
【详解】解：∵互为相反数（0除外）的两数相除商必等于1，∴选项A不符合题意；
∵非零的两数相除，同号得正，异号得负，∴故选项B符合题意；
∵大于1的两数之积一定大于任何一个因数，∴选项C符合题意；
∵当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数，∴选项D不符合题意，故选：C．
变式2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题：
（1）当时， ；（2）若，则的值为 ．
【答案】 1 0或/或0
【详解】解：（1）当时，．故答案为：1．
（2）∵，∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负，
①当a、b、c为两正一负时，不防设，
∴；
①当a、b、c都为负时，即，
∴；
综上，该代数式的值为0或．故答案为：0或．
变式3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：，，，,
，，，，
当时，，则；当时，，则；当时，，则；
综上可知，，，中正数的个数为2个，故选：C．
考点3.有理数乘除法的混合运算
【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
例1．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】解：①，故原计算错误；②，故原计算错误；
③，故计算正确；④，故计算正确；
综上，计算正确的有：，共个，故选：．
例2．（23-24·广西·七年级校期中）阅读后回答问题：计算．
解：原式= ①
②
③
（1）从第 （填序号）步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①；（2）见解析．
【详解】解：（1）从第①步开始出现错误，同级运算没有按照从左到右的顺序进行；
（2）
变式1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，故此选项正确，不符合题意；
B、，故此选项不正确，符合题意；
C、，故此选项正确，不符合题意；
D、，故此选项正确，不符合题意；故选：B．
变式2．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ．
【答案】
【详解】解：．故答案为：．
变式3．（24-25·山东·七年级专题练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
考点4.有理数除法的运算技巧
【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。
例1．（24-25·成都市七年级课时练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14
【详解】(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
例2．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读下列材料，计算：．
小云的方法：原式；
小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于．
(1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法；
(2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：．
【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析；(2)．
【详解】（1）解：小云的方法不对，
正确做法：
；
（2）解：
．
变式1．（24-25七年级上·吉林·期末）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
变式2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意．
B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意．
C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意．
D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意．故选：C．
变式3．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：．
小英的解法：．
小李的解法：原式的倒数为…第一步，
…第二步，
…第三步，
…第四步．
所以．
分析两位同学的解法，请你回答下列问题：
(1)两位同学的解法中， 同学的解答正确；
(2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ；
(3)用一种你喜欢的方法计算：．
【答案】(1)小李(2)乘法分配律(3)
【详解】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确，故答案为：小李；
（2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律，故答案为：乘法分配律；
（3）解：，
原式的倒数为：，
，
，
，
原式．
变式4．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算：
(1) (2) (3)
【答案】(1)；(2)．(3)64
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
考点5.有理数除法的应用
【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： 实际多招了，故选：．
例2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为．
问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说："我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为 岁．
【答案】
【详解】解：如图：奶奶与妙妙的年龄差为：（岁），
奶奶现在的年龄为（岁）．故答案为：
例3．（24-25七年级上·河北沧州·期中）体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为30个，第一组8名女生的成绩记录为：，0，，，，，，．其中+号表示超过达标成绩的个数，表示不足达标成绩的个数．(1)第一组8名女生中最好成绩与最差成绩相差________个；
(2)求第一组8名女生的平均成绩；(3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分．若一分钟仰卧起坐总积分超过60分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号．
【答案】(1)22(2)第一组8名女生的平均成绩为33个(3)能得到优秀体育小组称号，见解析
【详解】（1）解：（个），故答案为：22；
（2）解：（个）．
答：第一组8名女生的平均成绩为33个；
（3）解：（分）．
因为，所以能得到优秀体育小组称号．
变式1．（2025·陕西咸阳·一模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】解：根据题意，得第二根绳上共有个，
由一个结表示5个，故有(个)，故选：C．
变式2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（ ）
A．我 B．爱 C．数 D．学
【答案】C
【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，，所以数字对应“数”，故选：C．
变式3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年．
【答案】己未
【详解】解：由题知，因为2025年为乙巳年，且天干每10年一循环，地支每12年一循环，
所以余4，余2，
则2099年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”，所以2099年是己未年．故答案为：己未
变式4．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始析的、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌．游戏规则：①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果．②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利；③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜．
（相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为）
【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：
(1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续；
(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果；
(3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由．
【答案】(1)，否(2)72(3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析
【详解】（1）解：根据题意列式为：，∵，∴游戏不再继续，即：第二次结果为：；
（2）解：根据题意列式为：，，；
（3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”，
理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜；
理由二：所有的出牌可能有：
①，甲负乙胜；②，乙负；③，乙负；
④，乙负；⑤，乙胜；⑥，甲负乙胜，
∴乙必胜的是第六次乙出“＋”和“4”．
考点6.有理数除法的新定义问题
【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴ 故选：D
例2．（24-25七年级上·广东广州·期中） （其中表示不超过的最大整数，如，等等）．
【答案】
【详解】解：
故答案为：．
变式1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（ ）
小嘉说：247是13的“和倍数” 小淇说：441是9的“和倍数”
小华说：214、357均不是“和倍数”
A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对
【答案】A
【详解】解∶∵，∴247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确；
∵，∴441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确；
∵，∴214不是“和倍数”，
∵，∴357不是“和倍数”，故小华的说法正确；故选：A．
变式2．（23-24七年级上·河南许昌·期中）我们规定，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：，故选：C．
变式3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”．
例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．
(1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）．①，；②，；
(2)计算：．(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：
．
【答案】(1)①(2)(3)
【详解】（1）解：①；
∵，，∴，则①是“隔一数对”；
②；∵，，
∴，则②不是“隔一数对”；故答案为：①；
（2）解：
；
（3）解：
．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：；故选B．
2.（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）计算□得，则“□”是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意可知，□，故选：D．
3．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（ ）块
A．24 B．34 C．44 D．54
【答案】D
【详解】解：，所以需要54块，故选：D．
4．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（ ）
A．10 B． C．5 D．
【答案】C
【详解】解∶，故选∶C．
5．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
使运算结果最小的是 故选：D．
6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】解：∵，∴的符号为2正1负，或者2负1正，
∴，，为2个1，1个或1个，2个
∵最大，∴，，
∴ 的最大值为；故选C．
7．（24-25·广东·七年级校考阶段练习）两个数的商为正数，那么这两个数是（ ）
A．都是正数 B．都是负数 C．同号 D．至少有一个为正数
【答案】C
【详解】两个有理数的商是正数，那么这两个数一定同号．故选：C．
8．（24-25·江苏·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
【答案】B
【详解】解：C125 =故选：B．
9.（24-25·广东·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数
C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定
【答案】C
【详解】解：A．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的和为负数，故A选项不符合题意；B．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的差可能为负数，故B选项不符合题意；
C．若两个数的商是正数，则这个两数为同号，这两个数的积为正数，故C选项符合题意；
D．若两个数的商是正数，这两数的和、积的正负不能确定，积的正负能确定，故D选项不符合题意．
故选：C．
10．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（ ）
小嘉说：247是13的“和倍数” 小淇说：441是9的“和倍数”
小华说：214、357均不是“和倍数”
A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对
【答案】A
【详解】解∶∵，∴247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确；
∵，∴441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确；
∵，∴214不是“和倍数”，
∵，∴357不是“和倍数”，故小华的说法正确；故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·青海果洛·期中）计算的结果是 ．
【答案】0
【详解】解：．故答案为：0．
12．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴商最小的是：．故答案为：．
13．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．请问2025年是 年．（用天干地支纪年法表示）
【答案】乙巳
【详解】解：2025年，尾数5为乙，
2025除以12余数为9，9为巳，那么2025年就是乙巳年，故答案为：乙巳．
14．（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克．
【答案】
【详解】解：根据题意得，（克），故答案为：．
15．（24-25·成都市七年级校联考课时练习）计算：_______ ．
【答案】
【详解】=，得_______
根据 除数=被除数商=（-16）（-15）=.
16．（24-25·上海·七年级专题练习）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．
例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．
如果 、◆表示正， 、 表示负（如“◆”为“”，“ ”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．
①
依次记为：_________________ 列式计算：__________________．
②
依次记为：_________________ 列式计算：_______．
【答案】①，，，；．（答案不唯一，正确即可）
②，，，；．（答案不唯一，正确即可）
【详解】解：①四张牌依次记为，，，；
列式计算得：（答案不唯一，正确即可）；
②四张牌依次记为，，，；
列式计算得：（答案不唯一，正确即可）．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算.
(1)；(2).
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
．
18．（24-25·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：
(1)；(2)； (3)； (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
（4）
．
19.（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法：
原式的倒数为，所以．
(1)根据倒数的定义我们知道，若，则________．
(2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题：计算：．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：；
（2）解：原式的倒数为
，
∴．
20．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算．
刘聪和他的小伙伴选择常规解法：；
张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：
原式的倒数．所以原式．
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：．
【答案】(1)张明，见解析(2)
【详解】（1）解：喜欢张明的解法．理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法；
（2）解：原式的倒数
，
∴．
21．（24-25·浙江温州·七年级校考阶段练习）有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
【答案】(1)未超过(2)5小时
【详解】（1）解：，
答：水库的水位未超过警戒线．
（2）（小时），
答：水库需放水小时．
22．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水．
容器甲 容器乙 容器丙
(1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间；
(2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间．
【答案】(1)(2)当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差
【详解】（1）解：，，．
（2）解：分两种情况：①乙容器中水还未达到管子连接处，i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时；，丙装满时间为，
即后，此时丙水位达到了管子连接处，，丙处水流入乙；此时容器乙高度增加速度，
i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时；
当时，，
ii) 当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时；此时丙水位达到了管子连接处，丙处水流入乙；
时，，
乙装满时间为；
②乙水位达到了管子连接处，当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时；
即后，，时，
综上，当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差．
23．（2024·北京·七年级校考阶段练习）对于任意的非零且不相等的两个有理数a，b，定义：，解决以下问题：(1)计算；(2)计算；(3)请你举例验证一下交换律即在这一运算中是否成立。（举一个例子即可）。
【答案】(1)(2)；(3)不成立，见解析
【详解】（1）解：；
（2）解：，
；
（3）解：令，，则，，
∵，∴在这一运算中不成立．
24．（24-25·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④
【详解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；
（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；
②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；③若m＝1，n＝1，③错误；
④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；综上，①④正确．故答案为：①④．
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专题2.4 有理数的除法
1. 掌握有理数除法法则，并能熟练进行有理数除法的运算；
2. 在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想；
3. 能利用有理数的除法解决生活中的实际问题。
4. 熟练掌握有理数混合（加减乘除）运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯；
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.有理数的除法运算 2
考点2.有理数除法法则的辨析 3
考点3.有理数乘除法的混合运算 5
考点4.有理数除法的运算技巧 7
考点5.有理数除法的应用 11
考点6.有理数除法的新定义问题 14
模块3：培优训练 15
1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。
有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。
2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。
考点1.有理数的除法运算
【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
例1．（24-25七年级上·浙江·校考期末）下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·重庆·期末）计算： ．
变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ．
变式3．（24-25·山东临沂·七年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2.有理数除法法则的辨析
【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
例1．（24-25·浙江·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
例2．（24-25·江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，，则，．②若，，则，且．
③若，，则，．④若，，则，且．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（24-25·山东·七年级期末）下列说法正确的是（ ）（多选题）
A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负；
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数
变式2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题：
（1）当时， ；（2）若，则的值为 ．
变式3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点3.有理数乘除法的混合运算
【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
例1．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例2．（23-24·广西·七年级校期中）阅读后回答问题：计算．
解：原式= ①
②
③
（1）从第 （填序号）步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
变式1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ．
变式3．（24-25·山东·七年级专题练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
考点4.有理数除法的运算技巧
【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。
例1．（24-25·成都市七年级课时练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
例2．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读下列材料，计算：．
小云的方法：原式；
小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于．
(1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法；
(2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：．
变式1．（24-25七年级上·吉林·期末）计算：．
变式2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：．
小英的解法：．
小李的解法：原式的倒数为…第一步，
…第二步，
…第三步，
…第四步．
所以．
分析两位同学的解法，请你回答下列问题：
(1)两位同学的解法中， 同学的解答正确；
(2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ；
(3)用一种你喜欢的方法计算：．
变式4．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算：
(1) (2) (3)
考点5.有理数除法的应用
【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（ ）
A． B． C． D．
例2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为．
问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说："我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为 岁．
例3．（24-25七年级上·河北沧州·期中）体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为30个，第一组8名女生的成绩记录为：，0，，，，，，．其中+号表示超过达标成绩的个数，表示不足达标成绩的个数．(1)第一组8名女生中最好成绩与最差成绩相差________个；
(2)求第一组8名女生的平均成绩；(3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分．若一分钟仰卧起坐总积分超过60分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号．
变式1．（2025·陕西咸阳·一模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（ ）
A．我 B．爱 C．数 D．学
变式3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年．
变式4．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始析的、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌．游戏规则：①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果．②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利；③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜．
（相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为）
【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：
(1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续；
(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果；
(3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由．
考点6.有理数除法的新定义问题
【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（24-25七年级上·广东广州·期中） （其中表示不超过的最大整数，如，等等）．
变式1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（ ）
小嘉说：247是13的“和倍数” 小淇说：441是9的“和倍数”
小华说：214、357均不是“和倍数”
A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对
变式2．（23-24七年级上·河南许昌·期中）我们规定，则（ ）
A． B．1 C． D．
变式3．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”．
例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．
(1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）．①，；②，；
(2)计算：．(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：
．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（ ）
A．6 B． C． D．
2.（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）计算□得，则“□”是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（ ）块
A．24 B．34 C．44 D．54
4．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（ ）
A．10 B． C．5 D．
5．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（24-25·广东·七年级校考阶段练习）两个数的商为正数，那么这两个数是（ ）
A．都是正数 B．都是负数 C．同号 D．至少有一个为正数
8．（24-25·江苏·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
9.（24-25·广东·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数
C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定
10．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（ ）
小嘉说：247是13的“和倍数” 小淇说：441是9的“和倍数”
小华说：214、357均不是“和倍数”
A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·青海果洛·期中）计算的结果是 ．
12．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ．
13．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．请问2025年是 年．（用天干地支纪年法表示）
14．（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克．
15．（24-25·成都市七年级校联考课时练习）计算：_______ ．
16．（24-25·上海·七年级专题练习）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．
例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．
如果 、◆表示正， 、 表示负（如“◆”为“”，“ ”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．
①
依次记为：_________________ 列式计算：__________________．
②
依次记为：_________________ 列式计算：_______．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算.
(1)；(2).
18．（24-25·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：
(1)；(2)；
(3)； (4)
19.（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法：
原式的倒数为，所以．
(1)根据倒数的定义我们知道，若，则________．
(2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题：计算：．
20．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算．
刘聪和他的小伙伴选择常规解法：；
张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：
原式的倒数．所以原式．
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：．
21．（24-25·浙江温州·七年级校考阶段练习）有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？(2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
22．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水．
(1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间；
(2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间．
23．（2024·北京·七年级校考阶段练习）对于任意的非零且不相等的两个有理数a，b，定义：，解决以下问题：(1)计算；(2)计算；(3)请你举例验证一下交换律即在这一运算中是否成立。（举一个例子即可）。
24．（24-25·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
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