2.4等腰三角形的判定定理
【知识点1】等边三角形的判定与性质 1
【知识点2】等腰三角形的判定与性质 1
【知识点3】等腰三角形的判定 2
【知识点4】等边三角形的判定 2
【题型1】用定义判定等腰三角形 2
【题型2】根据等角对等边判定等腰三角形 4
【题型3】等腰三角形的性质与判定 5
【题型4】等边三角形的判定和性质 6
【知识点1】等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
【知识点2】等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
【知识点3】等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【知识点4】等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
【题型1】用定义判定等腰三角形
【典型例题】如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三1】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，A，B在两个格点上，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的C点的个数为（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
【举一反三4】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 个．
【举一反三5】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 个．
【举一反三6】在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数是 ．
【题型2】根据等角对等边判定等腰三角形
【典型例题】如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠D＝∠DEA＝∠C，则图中一共有（ ）个等腰三角形．
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A.∠A＝30°，∠B＝60° B.∠A＝50°，∠B＝80° C.AB＝AC＝2，BC＝4 D.AB＝3，BC＝7，周长为10
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三3】在△ABC中，∠A＝70°，当∠B＝ 时，△ABC为等腰三角形．
【举一反三4】在△ABC中，如果∠B＝65°，∠A的外角等于130°，那么△ABC 等腰三角形．（填“是”或“不是”）
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【题型3】等腰三角形的性质与判定
【典型例题】在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（ ）
A.△DBI和△EIC是等腰三角形 B.I为DE中点 C.△ADE的周长是8 D.∠BIC＝115°
【举一反三1】如图将长方形ABCD沿EF折叠，B、C分别落在点H、G的位置，延长EH交边CD于点M．下列说法不正确的是（ ）
A.∠1＜∠2 B.∠2＝∠3 C.∠MEB＝2∠2 D.∠2与∠4互补
【举一反三2】如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为 ．
【举一反三3】（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE+CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
【举一反三4】如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC 交AB于点D，
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠C＝90°，∠A＝40°，求∠BED的度数．
【题型4】等边三角形的判定和性质
【典型例题】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图，衣架杆为衣架的固定点；如图，若衣架收拢时，，则此时，两点之间的距离是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，，，则图中共有________个等腰三角形，有________个等边三角形．
【举一反三3】如图，中，，，延长至点，连接，若的周长为，则的周长为______．
【举一反三4】如图，为等边三角形，为内一点，且，过点作的平行线，交的延长线于点，，连接．求证：≌．求证：为等边三角形．
【举一反三5】如图，为线段上一点，以，为腰分别作等腰和等腰，，，，连接交于点，连接交于点，连接．求证：≌．求证：．2.4等腰三角形的判定定理
【知识点1】等边三角形的判定与性质 1
【知识点2】等腰三角形的判定与性质 1
【知识点3】等腰三角形的判定 2
【知识点4】等边三角形的判定 2
【题型1】用定义判定等腰三角形 2
【题型2】根据等角对等边判定等腰三角形 6
【题型3】等腰三角形的性质与判定 9
【题型4】等边三角形的判定和性质 14
【知识点1】等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
【知识点2】等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
【知识点3】等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
【知识点4】等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
【题型1】用定义判定等腰三角形
【典型例题】如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C
【解析】如图：
分三种情况：
当MP＝MN时，以点M为圆心，以MN长为半径作圆，则点P1，P2即为所求；
当NP＝NM时，以点N为圆心，以NM长为半径作圆，则点P3即为所求；
当PM＝PN时，作线段MN的垂直平分线，则点P4，P5即为所求；
综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为5个，
故选：C．
【举一反三1】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．
B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
【举一反三2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．
B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
【举一反三3】如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，A，B在两个格点上，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的C点的个数为（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
【答案】B
【解析】如图，△ABC成为等腰三角形，则满足条件的C点的个数为8个．
故选：B．
【举一反三4】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 个．
【答案】3
【解析】当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故答案为：3．
【举一反三5】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 个．
【答案】3
【解析】当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故答案为：3．
【举一反三6】在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数是 ．
【答案】8
【解析】如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
【题型2】根据等角对等边判定等腰三角形
【典型例题】如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠D＝∠DEA＝∠C，则图中一共有（ ）个等腰三角形．
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵AB＝AC＝BD，
∴△ABD和△ABC是等腰三角形，
∵∠D＝∠C＝∠DEA＝∠BEC，
∴AD＝AE，BC＝BE，
∴△ADE和△BEC是等腰三角形，
∵AD＝BC，
∴AE＝BE，
∴△AEB是等腰三角形，
故选：C．
【举一反三1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A.∠A＝30°，∠B＝60° B.∠A＝50°，∠B＝80° C.AB＝AC＝2，BC＝4 D.AB＝3，BC＝7，周长为10
【答案】B
【解析】A、根据三角形内角和定理得，∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°，故不是等腰三角形；
B、根据三角形内角和定理得，∠C＝180°﹣50°﹣80°＝50°，故是等腰三角形；
C、根据三角形中三边的关系知，任意两边之和大于第三边，而AB+AC＝4＝BC，不能构成三角形；
D、周长为10，而AB+BC＝10，与周长相等，第三边为0，则不能构成三角形．
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠DCF，
∴△EBD、△DBC、△FDC是等腰三角形，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，且△ABC是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝∠ABC，
∴△AEF是等腰三角形．
所以共有△EBD、△DBC、△FDC、△ABC、△AEF5个等腰三角形．
故选：C．
【举一反三3】在△ABC中，∠A＝70°，当∠B＝ 时，△ABC为等腰三角形．
【答案】55°、70°、40°
【解析】若∠A为顶角，且∠A＝70°，
则∠B＝∠C
＝55°；
若∠A为底角，且∠B为底角，
则∠B＝∠A＝70°；
若∠A为底角，且∠B为顶角，
则∠A＝∠C＝70°，
∠B＝180°﹣140°＝40°，
故答案为55°、70°、40°．
【举一反三4】在△ABC中，如果∠B＝65°，∠A的外角等于130°，那么△ABC 等腰三角形．（填“是”或“不是”）
【答案】是
【解析】解：∵∠A的外角等于130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
∴∠C＝180°﹣50°﹣65°＝65°＝∠B，
∴BC＝AB，
∴△ABC是等腰三角形．
故填是．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
【题型3】等腰三角形的性质与判定
【典型例题】在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（ ）
A.△DBI和△EIC是等腰三角形 B.I为DE中点 C.△ADE的周长是8 D.∠BIC＝115°
【答案】B
【解析】∵BI平分∠DBC，
∴∠DBI＝∠CBI，
∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴BD＝DI．
同理，CE＝EI．
∴△DBI和△EIC是等腰三角形；
∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠IBC+∠ICB＝65°，
∴∠BIC＝115°，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
【举一反三1】如图将长方形ABCD沿EF折叠，B、C分别落在点H、G的位置，延长EH交边CD于点M．下列说法不正确的是（ ）
A.∠1＜∠2 B.∠2＝∠3 C.∠MEB＝2∠2 D.∠2与∠4互补
【答案】D
【解析】过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，
∴∠FNE＝90°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
由折叠得：
∠B＝∠GHE＝90°，
∴∠GHE＝∠FNE＝90°，
∴GH∥FN，
∴∠1＝∠MFN，
∵∠2＝∠MFN+∠EFN，
∴∠1＜∠2，
故A不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠FEB，
由折叠得：
∠FEB＝∠3，
∴∠2＝∠3，
故B不符合题意；
∵∠FEB＝∠3，
∴∠MEB＝2∠3，
∵∠3＝∠2，
∴∠MEB＝2∠2，
故C不符合题意；
∵ME≠EF，
∴∠2≠∠EMF，
∵∠4+∠EMF＝180°，
∴∠4与∠2不一定互补，
故D符合题意；
故选：D．
【举一反三2】如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为 ．
【答案】2
【解析】延长BF交AC于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AF＝AF，
∴△ABF≌△AEF（ASA），
∴AE＝AB＝4，
∵FG∥AB，
∴∠BAF＝∠AFG，
∴∠GAF＝∠FAG，
∴AG＝FG，
∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴FG＝GE，
∴FGAE＝2，
故答案为：2．
【举一反三3】（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE+CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
【答案】解：（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD．
又∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝ED，CF＝FD，
∴EF＝ED+DF＝BE+CF．
即：EF＝BE+CF．
（2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下（如图）：
∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线
∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG
∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝BE﹣CF．
【举一反三4】如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC 交AB于点D，
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠C＝90°，∠A＝40°，求∠BED的度数．
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBEABC＝25°，
由（1）知∠BED＝∠DBE＝25°．
【题型4】等边三角形的判定和性质
【典型例题】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图，衣架杆为衣架的固定点；如图，若衣架收拢时，，则此时，两点之间的距离是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，，，是等边三角形，，
故选：C．
【举一反三1】如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，是的垂直平分线，，，≌，，，，，，是等边三角形，，
在中，，，，．
故选：A．
【举一反三2】如图，，，则图中共有________个等腰三角形，有________个等边三角形．
【答案】 ；
【解析】依据等腰三角形及等边三角形的定义可知，题图中的等腰三角形为，，，，共个；
等边三角形为，共个．
【举一反三3】如图，中，，，延长至点，连接，若的周长为，则的周长为______．
【答案】
【解析】解：，，是等边三角形，，的周长为，，的周长，
故答案为：．
【举一反三4】如图，为等边三角形，为内一点，且，过点作的平行线，交的延长线于点，，连接．求证：≌．求证：为等边三角形．
【答案】证明：是等边三角形，，，，，且，，且，，≌
≌，，，，，且，是等边三角形．
【举一反三5】如图，为线段上一点，以，为腰分别作等腰和等腰，，，，连接交于点，连接交于点，连接．求证：≌．求证：．
【答案】证明：，，，，
在和中，，≌；由知≌．，，，，
在和中，，≌，．
