2.6直角三角形
【知识点1】直角三角形的性质 1
【知识点2】直角三角形斜边上的中线 1
【知识点3】含30度角的直角三角形 2
【题型1】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角 2
【题型2】根据直角三角形概念判断直角三角形 5
【题型3】利用直角三角形两锐角互余的性质求角 8
【题型4】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形 10
【题型5】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边 11
【知识点1】直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【知识点2】直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【知识点3】含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【题型1】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角
【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE，已知∠A＝38°，则∠BFC的度数是（ ）
A.111° B.110° C.109° D.108°
【答案】C
【解析】连接DE，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，∠A＝38°，
∴DE＝AE＝CE＝BD，∠ACD＝90°﹣38°＝52°，
∴∠ADE＝∠A＝38°，
∴∠DBE＝∠DEB＝19°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣38°＝52°，∠BCD＝90°﹣52°＝38°，
∴∠CBE＝52°﹣19°＝33°，
∴∠BFC＝180°﹣33°﹣38°＝109°．
故选：C．
【举一反三1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，点D为斜边AB上的中点，DE⊥CD交AC于点E，则∠AED的度数为（ ）
A.105° B.110° C.115° D.125°
【答案】C
【解析】∵∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的中点，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝25°，
∵DE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∴∠AED＝∠ACD+∠EDC＝115°，
故选：C．
【举一反三2】在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为 ．
【答案】54°或144°
【解析】如图，当点F在BD上时，
∵Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，
∴DCAB＝DB，
∴∠CDB＝180°﹣2∠B，
∵DE＝DF，
∴△DEF中，∠DFE（180°﹣∠EDF）
（180°﹣∠EDC﹣∠CDB）
（108°﹣∠CDB）
＝54°∠CDB
＝54°（180°﹣2∠B）
＝∠B﹣36°，
∵∠CEF是△AEF的外角，
∴∠CEF＝∠A+∠AFE
＝90°﹣∠B+∠B﹣36°
＝54°，
当点F'在AD上时，由DF＝DE＝DF'，可得∠FEF'＝90°，
∴∠CEF'＝∠CEF+∠FEF'＝54°+90°＝144°，
故答案为：54°或144°．
【举一反三3】如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB＝30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点，求∠BDE的大小．
【答案】解：∵点E是Rt△ABC，Rt△ACD斜边AC的中点，
∴BE＝DEAC＝CE，DE⊥AC，
∴∠ACB＝∠EBC，∠BDE＝∠EBD，
又∵∠ACB＝30°，
∴∠AEB＝∠EBC+∠ECB＝30°+30°＝60°
∴∠BED＝∠BEA+∠DEA＝60°+90°＝150°
∴∠BDE（180°﹣∠BED）（180°﹣150°）＝15°．
【题型2】根据直角三角形概念判断直角三角形
【典型例题】具备下列条件的中，不是直角三角形的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A.在中，，，，，，为直角三角形，故A不合题意；
B.，，在中，，，，，是直角三角形，故B不合题意；
C.：：：：，，，，为直角三角形，故C不合题意；
D.，，即，，，故不是直角三角形，故D合题意．
故选D．
【举一反三1】不能判断是直角三角形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，该三角形是直角三角形；
B.：：：：，，该三角形是直角三角形；
C.，：：：：：：，，该三角形是钝角三角形；
D.，，，该三角形是直角三角形．
【举一反三2】下列条件中，能确定是直角三角形的条件有( )；：：：：；；．
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】D
【解析】若，则，能确定是直角三角形若，则，能确定是直角三角形若，则，能确定是直角三角形，则，能确定是直角三角形
故选D．
【举一反三3】具备下列条件的：；；；其中，不是直角三角形的是 填序号．
【答案】
【解析】，，，，，，，故是直角三角形；，，，，，，故是直角三角形；，，，，故是直角三角形；由可得，则是钝角三角形，不是直角三角形．
故答案为：．
【举一反三4】如图，，分别是的高线与角平分线，与交于点，求证：是直角三角形．
【答案】证明：，
．
平分，
，
．
又，
．
又，
，
，
即是直角三角形．
【举一反三5】如图，在中，，，平分．
求的度数．
若于点，求证：是直角三角形．
【答案】解：在中，，，
．
又平分，
；
证明：，，
．
又，
．
，
．
是直角三角形．
【解析】
【题型3】利用直角三角形两锐角互余的性质求角
【典型例题】在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝70°，则∠A的度数为（ ）
A.80° B.70° C.60° D.50°
【答案】A
【解析】∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
又∠A﹣∠B＝70°，
∴∠A（90°+70°）＝80°．
故选：A．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝（ ）
A.60° B.30° C.45° D.90°
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝2∠B，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
故选：A．
【举一反三2】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ）
A.75° B.60° C.45° D.30°
【答案】D
【解析】∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，
∴另一个锐角的度数是90°﹣60°＝30°．
故选：D．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠CBE＝20°，则∠A＝ °．
【答案】35
【解析】∵∠C＝90°，
∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝70°，
∵DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠EBA，
∵∠CEB＝∠A+∠EBA，
∴∠A＝∠EBA＝35°，
故答案为35
【举一反三4】在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个较大的锐角的度数为 度．
【答案】75
【解析】设较小的锐角是x度，则另一角是5x度．
则x+5x＝90，解得：x＝15°．
∴5x＝75°
故答案为：75．
【举一反三5】在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，求∠A的度数．
【答案】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
【题型4】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形
【典型例题】在中，垂直平分，与交于点，与交于点，，，则是 三角形．
【答案】直角
【解析】 如图所示垂直平分，， 又，，， 又，， 即是直角三角形， 故答案为：直角．
【举一反三1】如图，在中，，，则为________三角形．
【答案】直角
【解析】，，，， 则为直角三角形． 故答案为直角．
【举一反三2】如图在中，，为中点，求证为直角三角形
【答案】证明：，为中点，，，， 即，，是直角三角形．
【举一反三3】如图，已知是的边上的中线，且．
求证：是直角三角形．
【答案】证明 ，
，．
，，
．
．
．
是直角三角形．
【解析】
【题型5】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边
【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB＝7.5，则CD的长度是（ ）
A.1.5 B.2 C.2.5 D.5
【答案】C
【解析】∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴，即AB＝2CD，
∵CD+AB＝7.5，
∴CD+2CD＝7.5，
解得：CD＝2.5，
故选：C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A.5 B.4 C.8 D.6
【答案】D
【解析】∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CDAB，
∵AB＝12，
∴CD＝6．
故选：D．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE＝ ．
【答案】4
【解析】在△ABC中，AB＝AC＝8，
∴△ABC中是等腰三角形，
又∵AD是底边上的高，
∴AD⊥BC，
∴在△ADC中，∠ADC＝90°，
∵E为AC中点，
∴DE4，
∴DE＝4．
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACB＝45°，CE是AB边上的中线．
（1）CDAB；
（2）若CG＝EG，求证：DG⊥CE．
【答案】证明：（1）∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝30°，
∴ADAB，
∵∠ACB＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD，
∴CDAB；
（2）连接DE，如图所示：
∵CE是AB边上的中线，AD⊥BC，
∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，
∴DEAB，
∵CDAB，
∴DE＝CD，
∵CG＝EG，
∴DG⊥CE．2.6直角三角形
【知识点1】直角三角形的性质 1
【知识点2】直角三角形斜边上的中线 1
【知识点3】含30度角的直角三角形 2
【题型1】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角 2
【题型2】根据直角三角形概念判断直角三角形 3
【题型3】利用直角三角形两锐角互余的性质求角 4
【题型4】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形 5
【题型5】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边 5
【知识点1】直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【知识点2】直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【知识点3】含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【题型1】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角
【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE，已知∠A＝38°，则∠BFC的度数是（ ）
A.111° B.110° C.109° D.108°
【举一反三1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，点D为斜边AB上的中点，DE⊥CD交AC于点E，则∠AED的度数为（ ）
A.105° B.110° C.115° D.125°
【举一反三2】在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为 ．
【举一反三3】如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB＝30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点，求∠BDE的大小．
【题型2】根据直角三角形概念判断直角三角形
【典型例题】具备下列条件的中，不是直角三角形的是( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】不能判断是直角三角形的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】下列条件中，能确定是直角三角形的条件有( )；：：：：；；．
A.个 B.个 C.个 D.个
【举一反三3】具备下列条件的：；；；其中，不是直角三角形的是 填序号．
【举一反三4】如图，，分别是的高线与角平分线，与交于点，求证：是直角三角形．
【举一反三5】如图，在中，，，平分．
求的度数．
若于点，求证：是直角三角形．
【题型3】利用直角三角形两锐角互余的性质求角
【典型例题】在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝70°，则∠A的度数为（ ）
A.80° B.70° C.60° D.50°
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝（ ）
A.60° B.30° C.45° D.90°
【举一反三2】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ）
A.75° B.60° C.45° D.30°
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠CBE＝20°，则∠A＝ °．
【举一反三4】在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个较大的锐角的度数为 度．
【举一反三5】在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，求∠A的度数．
【题型4】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形
【典型例题】在中，垂直平分，与交于点，与交于点，，，则是 三角形．
【举一反三1】如图，在中，，，则为________三角形．
【举一反三2】如图在中，，为中点，求证为直角三角形
【举一反三3】如图，已知是的边上的中线，且．
求证：是直角三角形．
【题型5】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边
【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB＝7.5，则CD的长度是（ ）
A.1.5 B.2 C.2.5 D.5
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A.5 B.4 C.8 D.6
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE＝ ．
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACB＝45°，CE是AB边上的中线．
（1）CDAB；
（2）若CG＝EG，求证：DG⊥CE．
