2.7探索勾股定理
【知识点1】勾股定理的证明 1
【知识点2】勾股数 1
【知识点3】勾股定理的逆定理 1
【知识点4】勾股定理 2
【知识点5】勾股定理的应用 2
【题型1】勾股定理的面积问题 3
【题型2】勾股定理的实际应用 6
【题型3】根据勾股定理列方程求边长 10
【题型4】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形 13
【题型5】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用 15
【题型6】根据勾股定理已知两边求第三边 18
【知识点1】勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
【知识点2】勾股数
勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
【知识点3】勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【知识点4】勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
【知识点5】勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
【题型1】勾股定理的面积问题
【典型例题】如图，两个正方形阴影的面积分别为，，则直角三角形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，， ，，另一条直角边，直角三角形的面积 故选A．
【举一反三1】如图，在中，，，，以其三边为边向形外分别作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，使点，，，，恰好在长方形的边上，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，过点作于，延长、分别交正方形两边于、， ．．，，≌，， 同理可证≌≌，，，，，，，，，， 故选：A． 【难度】中档题
【举一反三2】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内，则图中阴影部分的面积等于( )
A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解析】设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为， 由勾股定理得，， 阴影部分的面积， 较小两个正方形重叠部分的宽，长， 则较小两个正方形重叠部分的面积，图中阴影部分的面积等于较小两个正方形重叠部分的面积． 故选：C．
【举一反三3】如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由勾股定理得：，阴影部分的面积； 故选：B． 【难度】基础题
【举一反三4】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积为___．
【答案】
【解析】设正方形，，，，，，的边长分别为，
正方形，，，的面积分别为，
根据正方形的面积公式得：，
正方形，的边长正好是直角三角形的两条直角边，
由勾股定理可得：，
正方形的面积为：，
同理可得正方形的面积为：，
同理可得正方形的面积为：，
【举一反三5】如图，中，，，以的三边向外作正方形，以为边的正方形的面积为，则正方形的面积为_________．
【答案】
【解析】根据题意知，，，， 故答案是．
【举一反三6】如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形的面积是，正方形的面积是，则半圆的面积是 ．
【答案】 ．
【解析】如图， 正方形的面积是，正方形的面积是，，， 由勾股定理得，，半圆的面积 ． 【难度】基础题
【题型2】勾股定理的实际应用
【典型例题】如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走（ ）米路．
A.20 B.30 C.40 D.50
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，
∵AB＝40米，BC＝30米，
∴AC50（米），
30+40﹣50＝20（米），
∴走这条近路AC可以少走20米的路．
故选：A．
【举一反三1】已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里
【答案】D
【解析】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2＝32海里，12×2＝24海里，
根据勾股定理得： 40（海里）．
故选：D．
【举一反三2】如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
【答案】C
【解析】如图，
由题意得：CB＝2×4＝8cm，DC＝6cm，
∴，
∴露出杯口外的长度为：13﹣10＝3（cm），
故选：C．
【举一反三3】如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 ．
【答案】18米
【解析】大树折断后形成直角△ABC，且BC为斜边，
∴AB2+AC2＝BC2，
∵AB＝5米，AC＝12米，
∴BC13米，
大树折断前的高度为AB+BC＝5米+13米＝18米．
故答案为：18米．
【举一反三4】如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A、B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝6km，BC＝8km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为 km．
【答案】4
【解析】∵∠C＝90°，AC＝6km，BC＝8km，
∴，
∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（km）；
即：打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为4km；
故答案为：4．
【举一反三5】八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，
他们进行了如下操作：
（1）测得BD的长度为15米．（注：BD⊥CE）
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米．
（3）牵线放风筝的小明身高1.6米．
求风筝的高度CE．
【答案】解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝±20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6米，
答：风筝的高度CE为21.6米．
【题型3】根据勾股定理列方程求边长
【典型例题】小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
【答案】C
【解析】画出示意图如下所示：
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
∴AB＝12m，
即旗杆的高是12m．
故选：C．
【举一反三1】如图，长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的处，则的长是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】四边形为长方形，， 由折叠可得，，，， 在中，，， 根据勾股定理得：，， 设，则，， 解得， 因此的长是．
【举一反三2】如图，在长方形中，，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，则点到点的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设， 为折痕，，，，中，，中，，，， 解得． 故选A．
【举一反三3】如图，在长方形形中，，，为上一点，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则折线的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，利用勾股定理得， 设，则，， 在中，，． 则，解得， 在中，． 故选：C．
【举一反三4】如图所示，有一直立标杆AB，它的上部被风从M处吹折，杆顶B着地，落在距杆脚2米的B1处，修好后，又被风吹折，因新折断N比前一次折断处M低0.5米，故这次杆顶B着地处B2比前一次着地处B1远1米，则原标杆AB的高为（ ）
A.4米 B.4.5米 C.5米 D.6.5米
【答案】C
【解析】依题意得AB1＝2，AB2＝3，
设原标杆AB的高为x，
∵∠A＝90°，
∴由题中条件可得AM2+AB12＝MB12，即AM2+22＝（x﹣AM）2，
整理，得x2﹣2AMx＝4，
同理，得（AM﹣0.5）2+32＝（x﹣AM+0.5）2，
整理，得x2﹣2AMx+x＝9，
解得x＝5．
故选：C．
【举一反三5】某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动．
【答案】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度是（x+1）米，
在Rt△ABC中，AB＝x米，BC＝5米，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：旗杆的高度为12米．
【举一反三6】如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即BC＝8，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
【答案】解：∵AC+AB＝16米，
∴AB＝（16﹣AC）米，
∵BC＝8米，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+82＝（16﹣AC）2，
解得AC＝6，
即这棵树在离地面6米处被折断．
【题型4】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形
【典型例题】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
【答案】A
【解析】A、，能构成直角三角形，故选项符合题意； B、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意． 故选：A． 【难度】基础题
【举一反三1】下列数组中的数据分别为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
【答案】B
【解析】A.，不能构成直角三角形； B.，能构成直角三角形； C.，不能构成直角三角形； D.，不能构成直角三角形． 故选：B．
【举一反三2】如图，在网格图中每个小正方形的边长为，点均为格点，给出下列三个命题：
点到点的最短距离为；
点到直线的距离为；
直线所交的锐角为；
其中，所有正确命题的序号为__________________填序号
【答案】
【解析】由图可知点到点的最短距离为，故正确；
如图，取格点，连接，，则，，，共线，过点作于点，
，
，
，故正确；
取格点，连接，，延长，交于点，则，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
直线，所交的锐角为，故正确；
综上分析可知，正确的是．
故答案为：．
【举一反三3】如图，在中，，，，求的面积．
【答案】解：在中，，，，，即，是直角三角形，且，． 故的面积为．
【题型5】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用
【典型例题】如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是( )
A. B. C.于点 D.
【答案】D
【解析】由勾股定理可得：，，，，，，，， 故A、、都正确，不符合题意，，， 故选：D．
【举一反三1】如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，则与的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】连接，， 设小正方形的边长为， 由勾股定理得：，，，，， 所以，，，， 即和都是等腰直角三角形， 所以， 故选：C．
【举一反三2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则下列结论错误的是( )
A. B. C.的面积为 D. 点到直线的距离是
【答案】C
【解析】由题意可得，，故选项A正确；，，，是直角三角形，，故选项B正确；，故选项C错误； 作于点， 则， 即， 解得，， 即点到直线的距离是，故选项D正确； 故选：C．
【举一反三3】如图，在的正方形网格中标出了和，则____．
【答案】
【解析】如图所示，作，连接， 则， 设每个小正方形的边长为， 则，，，，，是等腰直角三角形，，，，， 故答案为．
【举一反三4】如图，有一块菜地，已知，，，，，求这块地的面积．
【答案】解：连结， 在中，，，，，， 在中，，，，，是直角三角形，四边形的面积
【举一反三5】如图，在中，，，，是上一点，且．
试判断的形状，并说明理由；
求的长．
【答案】(1)△ABC是直角三角形
理由：∵AB2＝132＝169，BC2＝122＝144，AC2＝52＝25，且144＋25＝169，
∴BC2＋AC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°． (2)在△ACD中，∠C＝90°，AC＝5，CD＝3，
∴ 【解析】
【题型6】根据勾股定理已知两边求第三边
【典型例题】如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（ ）
A.24 B.30 C.48 D.18
【答案】B
【解析】根据勾股定理，得
直角三角形的斜边是10，
则矩形的面积是10×3＝30．
故选：B．
【举一反三1】依次连结2×2方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（ ）
A.2 B. C. D.2.5
【答案】B
【解析】∵依次连结2×2方格四条边的中点得到一个阴影正方形，且每一方格的边长为1，
∴阴影正方形的边长，
故选：B．
【举一反三2】直角三角形两直角边分别为5cm和12cm，则斜边上的中线为 ，斜边上的高线为 ．
【答案】cm， cm
【解析】∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，
∴斜边为： 13cm，
∴斜边上的中线为： 13（cm），
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为5×1213 h，
∴h（cm），
故答案为： cm， cm．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边的长是 ．
【答案】10
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴由勾股定理，得
AB10．
故答案为：10．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝25，b＝15，求a．
【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
a20．2.7探索勾股定理
【知识点1】勾股定理的证明 1
【知识点2】勾股数 1
【知识点3】勾股定理的逆定理 1
【知识点4】勾股定理 2
【知识点5】勾股定理的应用 2
【题型1】勾股定理的面积问题 3
【题型2】勾股定理的实际应用 5
【题型3】根据勾股定理列方程求边长 7
【题型4】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形 8
【题型5】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用 9
【题型6】根据勾股定理已知两边求第三边 10
【知识点1】勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
【知识点2】勾股数
勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
【知识点3】勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【知识点4】勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
【知识点5】勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
【题型1】勾股定理的面积问题
【典型例题】如图，两个正方形阴影的面积分别为，，则直角三角形的面积为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，，，以其三边为边向形外分别作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，使点，，，，恰好在长方形的边上，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内，则图中阴影部分的面积等于( )
A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和
【举一反三3】如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是( )
A. B. C. D.
【举一反三4】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积为___．
【举一反三5】如图，中，，，以的三边向外作正方形，以为边的正方形的面积为，则正方形的面积为_________．
【举一反三6】如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形的面积是，正方形的面积是，则半圆的面积是 ．
【题型2】勾股定理的实际应用
【典型例题】如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走（ ）米路．
A.20 B.30 C.40 D.50
【举一反三1】已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里
【举一反三2】如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
【举一反三3】如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 ．
【举一反三4】如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A、B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝6km，BC＝8km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为 km．
【举一反三5】八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，
他们进行了如下操作：
（1）测得BD的长度为15米．（注：BD⊥CE）
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米．
（3）牵线放风筝的小明身高1.6米．
求风筝的高度CE．
【题型3】根据勾股定理列方程求边长
【典型例题】小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
【举一反三1】如图，长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的处，则的长是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在长方形中，，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，则点到点的距离为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在长方形形中，，，为上一点，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则折线的长为( )
A. B. C. D.
【举一反三4】如图所示，有一直立标杆AB，它的上部被风从M处吹折，杆顶B着地，落在距杆脚2米的B1处，修好后，又被风吹折，因新折断N比前一次折断处M低0.5米，故这次杆顶B着地处B2比前一次着地处B1远1米，则原标杆AB的高为（ ）
A.4米 B.4.5米 C.5米 D.6.5米
【举一反三5】某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动．
【举一反三6】如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即BC＝8，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
【题型4】根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形
【典型例题】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
【举一反三1】下列数组中的数据分别为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
【举一反三2】如图，在网格图中每个小正方形的边长为，点均为格点，给出下列三个命题：
点到点的最短距离为；
点到直线的距离为；
直线所交的锐角为；
其中，所有正确命题的序号为__________________填序号
【举一反三3】如图，在中，，，，求的面积．
【题型5】勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用
【典型例题】如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是( )
A. B. C.于点 D.
【举一反三1】如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，则与的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
【举一反三2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则下列结论错误的是( )
A. B. C.的面积为 D. 点到直线的距离是
【举一反三3】如图，在的正方形网格中标出了和，则____．
【举一反三4】如图，有一块菜地，已知，，，，，求这块地的面积．
【举一反三5】如图，在中，，，，是上一点，且．
试判断的形状，并说明理由；
求的长．
【题型6】根据勾股定理已知两边求第三边
【典型例题】如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（ ）
A.24 B.30 C.48 D.18
【举一反三1】依次连结2×2方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（ ）
A.2 B. C. D.2.5
【举一反三2】直角三角形两直角边分别为5cm和12cm，则斜边上的中线为 ，斜边上的高线为 ．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边的长是 ．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝25，b＝15，求a．
