2.8直角三角形全等的判定
【知识点1】角平分线的性质 1
【知识点2】直角三角形全等的判定 1
【题型1】用HL证明边或角相等 2
【题型2】用HL判定直角三角形全等 5
【题型3】角平分线性质的逆定理 7
【知识点1】角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
【知识点2】直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
【题型1】用HL证明边或角相等
【典型例题】如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AF＝BE，且AC＝BD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A.AC∥BD B.∠C+∠B＝90° C.∠A＝∠D D.Rt△ACE≌Rt△BDF
【答案】C
【解析】∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC＝∠DFB＝90°，
∵AF＝BE，
∴AE＝BF，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴AC∥BD，
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴选项A，B，D正确，选项C错误．
故选：C．
【举一反三1】如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A.145° B.130° C.110° D.70°
【答案】C
【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴在Rt△ABC与Rt△ADC中，CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，又∠ACB＝55°，
∴∠ACD＝∠ACB＝55°，
∠BCD＝110°．
故选：C．
【举一反三2】如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A.28° B.59° C.60° D.62°
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，
∴△CAE≌△DAE（HL），
∴∠CAE＝∠DAE∠CAB，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∴∠AEC＝90°∠CAB＝90°﹣31°＝59°．
故选：B．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝ ．
【答案】40°
【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠D＝∠A＝50°，
∴∠DFE＝90°﹣∠D＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【举一反三4】如图，点P在∠AOB的内部，若PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，F，且PE＝PF，利用“HL”证得Rt△OEP≌ ，可得∠AOP＝ ．
【答案】Rt△OFP；∠BOP．
【解析】∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
故答案为：Rt△OFP；∠BOP．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF．
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°．
∵AD＝AD，
∴△AED≌△AFD．
∴AE＝AF，DE＝DF．
∵BD＝CD，
∴△BED≌△CFD（HL）．
∴BE＝CF．
解法二：利用角平分线的性质定理，可以直接证明DE＝DF，不需要全等三角形的性质证明．
【题型2】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）
A.AC＝A′C′，BC＝B′C′ B.∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C.AC＝A′C′，AB＝A′B′ D.∠B＝∠B′，BC＝B′C′
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，
故选：C．
【举一反三1】下列不能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A.三边对应相等 B.两个锐角相等 C.一条直角边和斜边对应相等 D.两条直角边对应相等
【答案】B
【解析】A、三边对应相等，利用SSS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、两个锐角对应相等时，加上已知的直角相等，由AAA不能判定它们全等，故本选项符合题意；
C、一条直角边和斜边对应相等，利用HL能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、两条直角边对应相等，加上已知的直角相等，利用SAS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三2】如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件（ ）
A.∠A＝∠B B.AC＝BE C.AD＝BE D.AD＝BF
【答案】B
【解析】CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，还需要添加的条件是AC＝BE．
故选：B．
【举一反三3】如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 （填入序号）
①AB＝DC，∠B＝∠C；
②AB＝DC，AB∥CD；
③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF．
【答案】①②③
【解析】∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD，
选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择④不能定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．
故答案为：①②③．
【举一反三4】如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．
求证：△ADE≌△BEC．
【答案】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝90°．
∴△ADE和△EBC是直角三角形，
Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴△ADE≌△BEC（HL）．
【举一反三5】如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【答案】证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
【题型3】角平分线性质的逆定理
【典型例题】如图，已知点P到BE，BD，AC的距离相等，则下列说法不正确的是（ ）
A.P在∠B的角平分线上 B.P在∠ACE的角平分线上 C.P在∠DAC的角平分线上 D.P到A，B，C三点的距离相等
【答案】D
【解析】
利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理可知A，B，C都对，只有D不对．故选：D．
【举一反三1】小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是（ ）
A.小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B.只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C.不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D.小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【答案】D
【解析】
小强通过测量得∠AOC＝23°，∠BOC＝23°，得出∠AOC＝∠BOC，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，
所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明，
故选：D．
【举一反三2】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A.30° B.60° C.45° D.70°
【答案】B
【解析】∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
故选：B．
【举一反三3】叙述点在角平分线上的判定是 ．
【答案】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
【解析】点在角平分线上的判定是到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
故答案为：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【举一反三4】如图，已知∠A＝∠D＝90°且AC＝DC，AB＝DB，那么点C在 的角平分线上，点B在 的角平分线上．
【答案】∠ABD，∠ACD
【解析】∵∠A＝∠D＝90°，即AC⊥AB，DC⊥BD，
且AC＝DC，
∴点C在∠ABD的角平分线上（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
同理，点B在∠ACD的角平分线上．
故答案为：∠ABD，∠ACD．
【举一反三5】已知P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE，如图，则点P在∠AOB的平分线上，请说明理由．
【答案】解：作射线OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
在Rt△PDO与Rt△PEO中，
，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
∴∠1＝∠2，
即点P在∠AOB的平分线上．
【举一反三6】如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
【答案】证明：过点P分别作PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，
∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，
∴PD＝PE，PF＝PE，
∴PD＝PF，
∵PD⊥AB，PF⊥AC，
∴P点在∠BAC的角平分线上．2.8直角三角形全等的判定
【知识点1】角平分线的性质 1
【知识点2】直角三角形全等的判定 1
【题型1】用HL证明边或角相等 2
【题型2】用HL判定直角三角形全等 3
【题型3】角平分线性质的逆定理 4
【知识点1】角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
【知识点2】直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
【题型1】用HL证明边或角相等
【典型例题】如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AF＝BE，且AC＝BD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A.AC∥BD B.∠C+∠B＝90° C.∠A＝∠D D.Rt△ACE≌Rt△BDF
【举一反三1】如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A.145° B.130° C.110° D.70°
【举一反三2】如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A.28° B.59° C.60° D.62°
【举一反三3】如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝ ．
【举一反三4】如图，点P在∠AOB的内部，若PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，F，且PE＝PF，利用“HL”证得Rt△OEP≌ ，可得∠AOP＝ ．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF．
【题型2】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）
A.AC＝A′C′，BC＝B′C′ B.∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C.AC＝A′C′，AB＝A′B′ D.∠B＝∠B′，BC＝B′C′
【举一反三1】下列不能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A.三边对应相等 B.两个锐角相等 C.一条直角边和斜边对应相等 D.两条直角边对应相等
【举一反三2】如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件（ ）
A.∠A＝∠B B.AC＝BE C.AD＝BE D.AD＝BF
【举一反三3】如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 （填入序号）
①AB＝DC，∠B＝∠C；
②AB＝DC，AB∥CD；
③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF．
【举一反三4】如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．
求证：△ADE≌△BEC．
【举一反三5】如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【题型3】角平分线性质的逆定理
【典型例题】如图，已知点P到BE，BD，AC的距离相等，则下列说法不正确的是（ ）
A.P在∠B的角平分线上 B.P在∠ACE的角平分线上 C.P在∠DAC的角平分线上 D.P到A，B，C三点的距离相等
【举一反三1】小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是（ ）
A.小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B.只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C.不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D.小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【举一反三2】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A.30° B.60° C.45° D.70°
【举一反三3】叙述点在角平分线上的判定是 ．
【举一反三4】如图，已知∠A＝∠D＝90°且AC＝DC，AB＝DB，那么点C在 的角平分线上，点B在 的角平分线上．
【举一反三5】已知P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE，如图，则点P在∠AOB的平分线上，请说明理由．
【举一反三6】如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
