3.2不等式的基本性质
【知识点1】不等式的性质 1
【知识点2】不等式的解集 2
【题型1】根据不等式的变形结果求字母系数的范围 2
【题型2】利用不等式的性质比较大小 3
【题型3】写出不等式变形的依据 3
【题型4】利用不等式的性质变形 4
【知识点1】不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
1.（2025春 宝山区校级期末）如果a＞b,那么下列不等式中正确的是（ ）
A．a-b＜0 B．a+6＜b-6
C．ac2＞bc2 D．
2.（2025春 路北区校级月考）已知a＜b,则一定有6+5a□6+5b、“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．=
【知识点2】不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
1.（2025春 南靖县期中）不等式2x -4的解集在数轴上的表示如图所示，则 盖住的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．≤
2.（2025春 长安区期中）m、n是常数，若mx+n＞0的解是，则nx-m＜0的解集是（ ）
A．x＜-2 B．x＜2 C．x＞-2 D．x＞2
【题型1】根据不等式的变形结果求字母系数的范围
【典型例题】若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围是（ ）
A.a＜3 B.a＜﹣3 C.a＞3 D.a＞﹣3
【举一反三1】若x＜y，且（m﹣3）x＞（m﹣3）y，则m的取值范围是（ ）
A.m＜3 B.m≥3 C.m＞3 D.m≤3
【举一反三2】由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是 ．
【举一反三3】不等式mx＞2两边同乘以，得，求m的取值范围．
【举一反三4】已知x＞y．
（1）比较3﹣x与3﹣y的大小，并说明理由．
（2）若3+ax＞3+ay，求a的取值范围．
【题型2】利用不等式的性质比较大小
【典型例题】若a＜0，则a与2a的大小关系是（ ）
A.a＞2a B.a C.a＜2a D.无法比较
【举一反三1】如果m＞n，ma与na比较，正确的是（ ）
A.ma＞na B.ma＝na C.ma＜na D.无法确定
【举一反三2】已知x＜y，比较﹣2x﹣3与﹣2y﹣3的大小，结果正确的是（ ）
A.﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3 B.﹣2x﹣3＜﹣2y﹣3 C.﹣2x﹣3＝﹣2y﹣3 D.﹣2x﹣3≥﹣2y﹣3
【举一反三3】若x＜y，试比较大小2x﹣6 2y﹣6（用“＞”、“＜”、“＝”填空）．
【举一反三4】阅读下面的解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小．
解：因为a＞b①，
所以﹣2024a＞﹣2024b②，
所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③．
问：
（1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
（2）错误的原因 ．
（3）请写出正确的解题过程．
【题型3】写出不等式变形的依据
【典型例题】根据不等式的性质，将下列不等式变形为x＞a或x＜a的形式．
（1）x，根据不等式的性质 ，不等式两边都 ，得 ；
（2）2，根据不等式的性质 ，不等式两边都 ，得 ；
（3）7x＞6x﹣4，根据不等式的性质 ，不等式两边都 ，得 ．
（4）﹣8x＞16，根据不等式的性质 ，不等式两边都 ，得 ．
【举一反三1】在括号里填上下列不等式变形的依据．
（1）a+3＞0→a＞﹣3；
（2）a＜3→a＜6；
（3）﹣2a＞3→a；
（4）3a＞2a+1→a＞1．
【举一反三2】说明下列不等式的变形依据．
①若3＜x+2，则x＞1．
②若1，则x＜﹣2．
③若6，则x＜4．
【举一反三3】写出下列不等式的变形依据：
（1）若﹣3x＞2，则x；
（2）若5，则x＜﹣10．
【题型4】利用不等式的性质变形
【典型例题】若a＜b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A.ac2＜bc2 B. C.﹣ca＞﹣cb D.4a﹣c＜4b﹣c
【举一反三1】下列不等式变形不正确的是（ ）
A.由a＞b，得a﹣1＞b﹣1 B.由﹣2a＞﹣2b，得a＞b C.由，得a＞b D.由2a＞b，得
【举一反三2】已知a＜b，下列不等式变形不正确的是（ ）
A.a+2＜b+2 B.3a＜3b C.﹣2a＜﹣2b D.2a﹣1＜2b﹣1
【举一反三3】下列不等式变形正确的是（ ）
A.1≥2﹣x x≥1 B.﹣x＜3 x＜﹣3 C. x＞﹣6 x＞﹣2 D.﹣7x≤8 x3.2不等式的基本性质
【知识点1】不等式的性质 1
【知识点2】不等式的解集 2
【题型1】根据不等式的变形结果求字母系数的范围 4
【题型2】利用不等式的性质比较大小 5
【题型3】写出不等式变形的依据 6
【题型4】利用不等式的性质变形 8
【知识点1】不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
1.（2025春 宝山区校级期末）如果a＞b,那么下列不等式中正确的是（ ）
A．a-b＜0 B．a+6＜b-6
C．ac2＞bc2 D．
【答案】D
【分析】根据不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【解答】解：A、由a＞b可得a-b＞0，A错误，不符合题意；
B、由a＞b可得ac2＞bc2（c≠0），B错误，故B不符合题意；
C、由a＞b可得a-b＞0，C错误，故C不符合题意；
D、由a＞b可得，则，D正确，故D符合题意；
故选：D．
2.（2025春 路北区校级月考）已知a＜b,则一定有6+5a□6+5b、“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．=
【答案】B
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：∵a＜b,
∴5a＜5b,
∴6+5a＜6+5b.
∴□的符号为：＜．
故选：B．
【知识点2】不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
1.（2025春 南靖县期中）不等式2x -4的解集在数轴上的表示如图所示，则 盖住的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．≤
【答案】B
【分析】根据数轴上的表示得到x＜-2，进而利用不等式的性质可得2x＜-4，进而可得答案．
【解答】解：由数轴得该不等式的解集为x＜-2，
利用不等式的性质可得2x＜-4，
则 盖住的符号是＜，故选：B．
2.（2025春 长安区期中）m、n是常数，若mx+n＞0的解是，则nx-m＜0的解集是（ ）
A．x＜-2 B．x＜2 C．x＞-2 D．x＞2
【答案】A
【分析】先移项得mx＞-n,再根据mx+n＞0的解是x＜，从而得出m＜0，-=，n＞0，再解nx-m＜0即可．
【解答】解：∵mx+n＞0的解是x＜，
∴m＜0，-=，
∴n＞0，
即=-，
∴nx-m＜0的解为x＜=-2．
故选：A．
【题型1】根据不等式的变形结果求字母系数的范围
【典型例题】若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围是（ ）
A.a＜3 B.a＜﹣3 C.a＞3 D.a＞﹣3
【答案】A
【解析】∵x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，
∴a﹣3＜0，
则a＜3．
故选：A．
【举一反三1】若x＜y，且（m﹣3）x＞（m﹣3）y，则m的取值范围是（ ）
A.m＜3 B.m≥3 C.m＞3 D.m≤3
【答案】A
【解析】由x＜y，且（m﹣3）x＞（m﹣3）y，得
m﹣3＜0．解得m＜3，
故选：A．
【举一反三2】由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是 ．
【答案】a＜0
【解析】∵x＜y，ax＞ay，
∴a＜0．
故答案为：a＜0．
【举一反三3】不等式mx＞2两边同乘以，得，求m的取值范围．
【答案】解：∵不等式mx＞2，两边同乘以，得x，
∴m＜0．
【举一反三4】已知x＞y．
（1）比较3﹣x与3﹣y的大小，并说明理由．
（2）若3+ax＞3+ay，求a的取值范围．
【答案】解：（1）∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴3﹣x＜3﹣y；
（2）∵x＞y，3+ax＞3+ay，
∴a＞0．
【题型2】利用不等式的性质比较大小
【典型例题】若a＜0，则a与2a的大小关系是（ ）
A.a＞2a B.a C.a＜2a D.无法比较
【答案】A
【解析】∵a＜0，
∴a＞2a，
故选：A．
【举一反三1】如果m＞n，ma与na比较，正确的是（ ）
A.ma＞na B.ma＝na C.ma＜na D.无法确定
【答案】D
【解析】∵m＞n，
∴当a＞0，则ma＞na，
当a＜0，则ma＜na，
当a＝0，则ma＝na，
故无法确定ma与na大小．
故选：D．
【举一反三2】已知x＜y，比较﹣2x﹣3与﹣2y﹣3的大小，结果正确的是（ ）
A.﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3 B.﹣2x﹣3＜﹣2y﹣3 C.﹣2x﹣3＝﹣2y﹣3 D.﹣2x﹣3≥﹣2y﹣3
【答案】A
【解析】∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，
∴﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3．
故选：A．
【举一反三3】若x＜y，试比较大小2x﹣6 2y﹣6（用“＞”、“＜”、“＝”填空）．
【答案】＜
【解析】∵x＜y，
∴2x＜2y，
∴2x﹣6＜2y﹣6．
故答案为：＜．
【举一反三4】阅读下面的解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小．
解：因为a＞b①，
所以﹣2024a＞﹣2024b②，
所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③．
问：
（1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
（2）错误的原因 ．
（3）请写出正确的解题过程．
【答案】解：（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误，
故答案为：②；
（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
故答案为：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）∵a＞b，
∴﹣2024a＜﹣2024b，
∴﹣2024a+1＜﹣2024b+1；
【题型3】写出不等式变形的依据
【典型例题】根据不等式的性质，将下列不等式变形为x＞a或x＜a的形式．
（1）x，根据不等式的性质 ，不等式两边都 ，得 ；
（2）2，根据不等式的性质 ，不等式两边都 ，得 ；
（3）7x＞6x﹣4，根据不等式的性质 ，不等式两边都 ，得 ．
（4）﹣8x＞16，根据不等式的性质 ，不等式两边都 ，得 ．
【答案】（1）1，加上，x＜1；
（2）2，乘3，x＞﹣6；
（3）1，减去6x，x＞﹣4；
（4）3，除以﹣8，x＜﹣2．
【解析】（1）x，根据不等式的性质1，不等式两边都加上，得x＜1．
故答案为：1，加上，x＜1；
（2）2，根据不等式的性质2，不等式两边都乘3，得x＞﹣6．
故答案为：2，乘3，x＞﹣6；
（3）7x＞6x﹣4，根据不等式的性质1，不等式两边都减去6x，得x＞﹣4．
故答案为：1，减去6x，x＞﹣4；
（4）﹣8x＞16，根据不等式的性质3，不等式两边都除以﹣8，得x＜﹣2．
故答案为：3，除以﹣8，x＜﹣2．
【举一反三1】在括号里填上下列不等式变形的依据．
（1）a+3＞0→a＞﹣3；
（2）a＜3→a＜6；
（3）﹣2a＞3→a；
（4）3a＞2a+1→a＞1．
【答案】不等式基本性质1；不等式基本性质2；不等式基本性质3；不等式基本性质1．．
【解析】（1）不等式两边都加﹣3，不等号的方向不变，
故答案为：不等式基本性质1；
（2）不等式两边都乘以2，不等号的方向不变，
故答案为：不等式基本性质2；
（3）不等式两边都除以﹣2，不等号的方向改变，
故答案为：不等式基本性质3；
（4）不等式两边都加﹣2a，不等号的方向不变，
故答案为：不等式基本性质1．
【举一反三2】说明下列不等式的变形依据．
①若3＜x+2，则x＞1．
②若1，则x＜﹣2．
③若6，则x＜4．
【答案】解：①若3＜x+2，两边减去2，变形得：x＞1；
②若x＜﹣1，两边乘以2得x＜﹣2；
③若x＞﹣6，两边除以得x＜4；
【举一反三3】写出下列不等式的变形依据：
（1）若﹣3x＞2，则x；
（2）若5，则x＜﹣10．
【答案】解：（1）若﹣3x＞2，则x，根据不等式的性质3，不等式的两边都除以﹣3；
（2）若5，则x＜﹣10根据不等式的性质3，不等式的两边都乘以﹣2．
【题型4】利用不等式的性质变形
【典型例题】若a＜b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A.ac2＜bc2 B. C.﹣ca＞﹣cb D.4a﹣c＜4b﹣c
【答案】D
【解析】A、当c＝0时，ac2＝bc2，原变形错误，不符合题意；
B、当b＞0时， 1，原变形错误，不符合题意；
C、当c＝0时，﹣ca＝﹣cb，原变形错误，不符合题意；
D、∵a＜b，∴4a＜4b，∴4a﹣c＜4b﹣c，正确，符合题意．
故选：D．
【举一反三1】下列不等式变形不正确的是（ ）
A.由a＞b，得a﹣1＞b﹣1 B.由﹣2a＞﹣2b，得a＞b C.由，得a＞b D.由2a＞b，得
【答案】B
【解析】A．∵a＞b，
∴不等式两边同减1，得a﹣1＞b﹣1，故本选项不符合题意；
B．∵﹣2a＞﹣2b，
∴不等式两边同除以﹣2，得a＜b，故本选项符合题意；
C．∵，
∴两边同乘以c2，得a＞b，故本选项不符合题意；
D．∵2a＞b，
∴不等式两边同除以2，得，故本选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三2】已知a＜b，下列不等式变形不正确的是（ ）
A.a+2＜b+2 B.3a＜3b C.﹣2a＜﹣2b D.2a﹣1＜2b﹣1
【答案】C
【解析】A、根据不等式性质1，不等式a＜b两边都加2可得a+2＜b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、根据不等式性质2，不等式a＜b两边都乘以3可得3a＞3b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、根据不等式性质3，不等式a＜b两边都乘以﹣2可得﹣2a＞﹣2b，原变形不正确，故此选项符合题意；
D、根据不等式性质2，不等式a＜b两边都乘以2可得2a＞2b，再在不等号两边同时减1得2a﹣1＜2b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三3】下列不等式变形正确的是（ ）
A.1≥2﹣x x≥1 B.﹣x＜3 x＜﹣3 C. x＞﹣6 x＞﹣2 D.﹣7x≤8 x
【答案】A
【解析】∵1≥2﹣x，
∴0≥1﹣x，
∴x≥1，故选项A符合题意；
∵﹣x＜3，
∴x＞﹣3，选项B不符合题意；
∵x＞﹣6，
∴x＞﹣18，故选项C不符合题意；
∵﹣7x≤8，
∴x，故选项D不符合题意．
故选：A．
