3.3一元一次不等式及其解法
【知识点1】由实际问题抽象出一元一次不等式 1
【知识点2】一元一次不等式的整数解 2
【知识点3】一元一次不等式的定义 2
【知识点4】一元一次不等式的应用 2
【知识点5】解一元一次不等式 3
【题型1】在数轴上表示一元一次不等式的解集 4
【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值 5
【题型3】一元一次不等式的整数解 5
【题型4】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集 5
【题型5】一元一次不等式与新定义型问题 6
【题型6】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值 7
【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式 7
【题型8】根据实际问题抽象出一元一次不等式 8
【题型9】判断是否为一元一次不等式 9
【题型10】一元一次不等式的解 10
【题型11】一元一次不等式与方案问题 10
【题型12】用一元一次不等式解决实际问题 12
【知识点1】由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
1.（2025春 桥西区期末）语句“a的与b的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2025春 泗阳县期末）某动车组列车速度v（km/h）最高可达400km/h,用不等式表示其数量关系是（ ）
A．v＞400 B．v≥400 C．v≤400 D．v＜400
【知识点2】一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
1.（2022春 米东区校级期末）不等式-3x+6≥4-x的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.（2023春 天峨县期末）已知不等式2x-a≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞10 B．10≤a≤12 C．10＜a≤12 D．10≤a＜12
3.（2024 金凤区校级三模）不等式2x-3a≤-2a的正整数解为1和2，则a的取值范围是（ ）
A．4≤a≤6 B．4＜a＜6 C．4＜a≤6 D．4≤a＜6
【知识点3】一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
1.（2024春 南岗区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．5+4x＞8 B．2x-1 C．2≤5 D．
2.（2025春 肥西县期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x-3 B．x-1=2 C．x+y＞1 D．x-3＞5
【知识点4】一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
1.（2024春 长汀县期末）某种商品的进价为200元，出售标价为300元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则最多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
2.（2023春 横县期末）某工人计划在15天内加工408个零件，最初三天中每天加工24个零件，要想在规定时间内超额完成任务，若设从第4天开始每天至少加工x个零件，依题意可列出式子为（ ）
A．24×3+（15-3）x=408 B．24×3+（15-3）x＞408
C．24×3+（15-3）x≥408 D．24×3+（15-3）x＜408
3.（2023春 城关区校级期中）静怡准备用70元在文具店买A，B两种笔记本共7本，A种笔记本每本10元，B种笔记本每本8元，如果至少要买4本A种笔记本，请问静怡购买的方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【知识点5】解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
1.（2025春 肇庆期末）不等式4x-7≥5的解集是（ ）
A．x≤-3 B．x≥-3 C．x≥3 D．x≤3
2.（2025春 商河县期末）不等式3x+1≥2x+2的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025春 闵行区校级月考）以下关于不等式-x-1＜0的判断错误的是（ ）
A．0是这个不等式的解
B．x＞-1是这个不等式的解集
C．大于1的数都是这个不等式的解
D．小于1的数都不是这个不等式的解．
【题型1】在数轴上表示一元一次不等式的解集
【典型例题】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】不等式2x﹣1＜﹣3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】不等式x﹣1≤2的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】解不等式，并把解在数轴上表示出来．
【举一反三5】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值
【典型例题】已知（a﹣1）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值为 ．
【举一反三1】已知（a﹣4）x|3﹣a|+1＞0是关于x的一元一次不等式，则a＝ ．
【举一反三2】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，求k的值以及不等式的解集．
【举一反三3】已知（b+2）xb+1＜﹣3是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不等式．
【题型3】一元一次不等式的整数解
【典型例题】若代数式2x+1的值不大于3x﹣4的值，则x的最小整数值是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【举一反三1】已知不等式2x+a＜x+4的正整数解有2个，则a的取值范围是（ ）
A.1＜a＜2 B.1＜a≤2 C.1≤a≤2 D.1≤a＜2
【举一反三2】不等式5﹣x＞2（x﹣1）的正整数解为 ．
【举一反三3】求不等式的非负整数解．
【举一反三4】解不等式10﹣4（x﹣3）≥2（x﹣1），在数轴上表示它的解集，并写出它的非负整数解．
【题型4】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集
【典型例题】一个不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式为（ ）
A.3﹣5x＜3x﹣5 B.6x+4＞﹣2 C.﹣7x+6≥7+3x D.﹣3x+4≥3﹣4x
【举一反三1】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A.x+2≥0 B.x﹣2≤0 C.2x≥4 D.2﹣x≤0
【举一反三2】已知一个不等式的解集在数轴上如图所示，则这个不等式是（ ）
A.2x+3≥﹣5 B.3﹣4x＞10 C. 0 D.1﹣3x＜2x+8
【举一反三3】若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式应是下列中的（ ）
A.x﹣1＜0 B.x﹣1≤0 C.x﹣1＞0 D.x﹣1≥0
【题型5】一元一次不等式与新定义型问题
【典型例题】我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝﹣4a﹣3b．例如：5*6＝﹣4×5﹣3×6，若m满足m*（﹣2）＜0，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在R上定义运算：a b＝（a+1）b，当1≤x≤2时，存在x使不等式2 mx＜4成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C.m≤0 D.
【举一反三2】定义新运算“ ”如下：当a＞b时，a b＝ab+b；当a＜b时，a b＝ab﹣b，若3 （x+2）＞0，则x的取值范围是（ ）
A.﹣1＜x＜1或x＜﹣2
B.x＜﹣2或1＜x＜2
C.﹣2＜x＜1或x＞1
D.x＜﹣2或x＞2
【举一反三3】定义新运算：对于任意实数a，b均有a※b＝a（a﹣b）+1，则不等式4※x≥1的解集为 ．
【举一反三4】定义新运算“ ”，规定：a b＝a﹣2b．若关于x的不等式x m＞3的解集为x＞﹣1，则m＝ ．
【举一反三5】定义：对于任意实数a，b，关于☆的一种运算如下a☆b＝b﹣2a，例如5☆3﹣10＝﹣7，（﹣3）☆5＝5﹣（﹣6）＝11．
（1）若2☆x＜5，求x的取值范围；
（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+7的解满足m☆x＜5，求m的取值范围．
【举一反三6】定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2b﹣a．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※2＝2×2﹣（﹣6）＝10．
（1）填空：2※（﹣3）＝ ；
（2）若x是一个负数，且满足（2x﹣3）※（1﹣3x）＜7，求x的取值范围．
【题型6】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值
【典型例题】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A.a＜1 B.a＞1 C.a＜0 D.a＞0
【举一反三1】已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（ ）
A.2 B.﹣1 C.0 D.1
【举一反三2】已知关于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）
A.a＜0 B.a＜5 C.a＜﹣5 D.a＞5
【举一反三3】已知关于x的不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解是x＜1．则a的取值范围是 ．
【举一反三4】已知关于x的不等式2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）．
（1）当a＝﹣5时，求这个不等式的解集．
（2）如果该不等式的解集为x，求a的取值范围．
（3）如果x＝﹣2是该不等式的一个解，求a的取值范围．
【举一反三5】已知关于x的不等式a（x﹣1）＞x+1﹣2a的解集是x＜﹣1，求a的取值范围．
【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式
【典型例题】不等式x+2＞﹣1的解集为（ ）
A.x＞﹣3 B.x＞1 C.x＜﹣3 D.x＜1
【举一反三1】不等式﹣4x﹣1≥﹣2x+1的解集是（ ）
A.x＞﹣1 B.x≥﹣1 C.x＜﹣1 D.x≤﹣1
【举一反三2】若，则（ ）
A.x＞﹣3 B.x＜﹣3 C.x＞1 D.
【举一反三3】解不等式1+2（x﹣1）≤3，则x的解集是 ．
【举一反三4】不等式的解集是 ．
【举一反三5】解不等式：
（1）7x﹣1≤9x+5
（2）
【举一反三6】解不等式：．
【题型8】根据实际问题抽象出一元一次不等式
【典型例题】北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（ ）
A.100x+80（10﹣x）＞900 B.100x+80（10﹣x）＜900 C.100x+80（10﹣x）≥900 D.100x+80（10﹣x）≤900
【举一反三1】小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A.52+15n＞70+12n B.52+15n＜70+12n C.52+12n＞70+15n D.52+12n＜70+15n
【举一反三2】学校准备购进两种型号的节能灯共50只，且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，设A型节能灯共购进x只，请你列出相应不等式 ．
【举一反三3】一次知识竞赛共有10道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要不少于60分，设她答对了n道题．则根据题意可列不等式： ．
【题型9】判断是否为一元一次不等式
【典型例题】下列是一元一次不等式的是（ ）
A.2x＞1 B.x﹣2＜y﹣2 C.2＜3 D.x2＜9
【举一反三1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A.x＞5﹣y B.2x﹣3＜0 C.4＞2 D.x＜x2
【举一反三2】下列是一元一次不等式的有（ ）
x＞0， 1，2x＜﹣2+x，x+y＞﹣3，x＝﹣1，x2＞3，．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】下列各式是一元一次不等式的有 （填序号）．
①﹣2x＞5；②3x﹣4y≥0；③；④．
【举一反三4】下列各式中，哪些是一元一次不等式？
（1）﹣3＞﹣5；
（2）x＞1；
（3）2x+y≥6；
（4）2﹣x＜3x+5；
（5）3x+1＝0；
（6）；
（7）2x2+5＞7；
（8）2a﹣7≤15；
（9）1．
【举一反三5】判断下列不等式是否为一元一次不等式：
（1）2x+y 0；
（2）3≤1；
（3）（2x+1）＞n（x﹣2）；
（4）1﹣3x＜4+7x．
【题型10】一元一次不等式的解
【典型例题】如果x＝1.6是某不等式的解，那么该不等式可以是（ ）
A.x＞3 B.x＞2 C.x＜1 D.x＜2
【举一反三1】下列各数中，是不等式x＞2的解的是（ ）
A.﹣2 B.2 C.1 D.3.5
【举一反三2】构造一个一元一次不等式，使它的解集是，如 ．
【举一反三3】不等式|x|＜1的解集是 ．
【举一反三4】下列各数中，是不等式x+1＜4解的数有哪些？哪些不是不等式的解？
8、7、5.5、4、2、1、0、2.5、﹣6．
【举一反三5】判断下列说法是否正确，为什么？
（1）x＝﹣1是不等式2x＜6的解；
（2）x＝1不是不等式x﹣2＞0的解；
（3）因为x＝1是不等式x﹣5＜0的一个解，所以该不等式的解为x＝1．
【题型11】一元一次不等式与方案问题
【典型例题】联通公司推出两种手机收费方案．方案一：月租费36元，本地通话话费0.1元/分；方案二：不收月租费，本地通话费为0.6元/分．设小明的爸爸一个月通话时间为x分钟．小明爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案一比方案二优惠？（ ）
A.60分钟 B.70分钟 C.72分钟 D.80分钟
【举一反三1】小明欲购买A，B两种型号的笔记本共10本（不可购买一种），要求其总价钱不超过60元，已知A型号的单价是5元，B种型号的单价是7元，则购买方案有（ ）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
【举一反三2】某种毛巾的原零售价为每条6元，凡一次性购买两条以上（含两条），商家推出两种优惠方案：（1）两条按原价，其余按七折优惠；（2）全部按八折优惠．若在购买相同数量的毛巾的情况下，要使方案（1）比方案（2）合算，则最少要购买毛巾 条．
【举一反三3】某电信公司提供的移动通信服务的收费标准有两种方案，如下表：
（1）当通话时间为100分钟时，方案A的费用为 元；
（2）当通话时间满足条件 分钟时，方案B比方案A更优惠．
【举一反三4】某公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这20辆客车都坐满的情况下，共载客720人．
（1）求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？
（2）某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过5600元．
①至少要租用多少辆甲型客车？
②若七年级的师生共有370人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【举一反三5】为了提高学生学习英语的兴趣，检测学生词汇掌握情况，万州区某中学举办了“英语词汇竞赛活动”，学校英语组准备给每个获奖学生颁发一种售价为30元/个的奖品．由于需要的奖品数量较多，商家给出两种优惠方案，方案一：所有奖品按售价打8折；方案二：免费赠送10个奖品，其余奖品按售价打9折．
（1）负责购买奖品的老师发现，按方案一购买奖品比按方案二购买奖品可以节约30元钱，求需要购买多少个奖品？
（2）购买的奖品数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算？
【题型12】用一元一次不等式解决实际问题
【典型例题】某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（ ）
A.10件 B.11件 C.12件 D.13件
【举一反三1】某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（ ）
A.120元 B.132.5元 C.140元 D.142.5元
【举一反三2】某商场在A地以每件100元的价格购进某种服装20件，又在B地以每件120元的价格购进同种服装30件，然后用相同的价格卖出，如果商场销售这些商品时，至少要获得10%的利润，这种服装每件的售价应不能低于 元．
【举一反三3】无人机广泛应用于多种领域，不仅在军事领域发挥了重要作用，而且在民用领域也展现出强大的实力．在农业方面，植保无人机可以帮助进行精准施肥和喷洒农药，提高农业生产效率．某生态农业公司共有4架A型植保无人机和8架B型植保无人机，这两种型号的植保无人机在满电状态下可持续作业15分钟．1架A型植保无人机和2架B型植保无人机15分钟可完成70亩地的农药喷洒作业，3架A型植保无人机和1架B型植保无人机15分钟可完成85亩地的农药喷洒作业．
（1）1架A型和1架B型植保无人机工作15分钟分别可完成多少亩地的农药喷洒作业？
（2）为抢抓晴好天气开展小麦病虫害防治作业，该农业公司打算再购进这两种型号的植保无人机共6架，且每种无人机至少购买1架．若要用1小时45分钟完成1660亩地的农药喷洒作业（无人机在第一轮作业前处于满电状态，每轮作业结束后将无人机收回至无人机充满电需15分钟，充电与作业不能同时进行），有哪几种购买方案？
【举一反三4】为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？3.3一元一次不等式及其解法
【知识点1】由实际问题抽象出一元一次不等式 1
【知识点2】一元一次不等式的整数解 2
【知识点3】一元一次不等式的定义 3
【知识点4】一元一次不等式的应用 4
【知识点5】解一元一次不等式 6
【题型1】在数轴上表示一元一次不等式的解集 7
【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值 10
【题型3】一元一次不等式的整数解 11
【题型4】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集 12
【题型5】一元一次不等式与新定义型问题 14
【题型6】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值 17
【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式 19
【题型8】根据实际问题抽象出一元一次不等式 21
【题型9】判断是否为一元一次不等式 22
【题型10】一元一次不等式的解 24
【题型11】一元一次不等式与方案问题 25
【题型12】用一元一次不等式解决实际问题 29
【知识点1】由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
1.（2025春 桥西区期末）语句“a的与b的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“a的与b的3倍的差的平方是一个非负数”，即可列出不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：（a-3b）2≥0．
故选：A．
2.（2025春 泗阳县期末）某动车组列车速度v（km/h）最高可达400km/h,用不等式表示其数量关系是（ ）
A．v＞400 B．v≥400 C．v≤400 D．v＜400
【答案】C
【分析】根据最高即“≤”求解可得．
【解答】解：v≤400．
故选：C．
【知识点2】一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
1.（2022春 米东区校级期末）不等式-3x+6≥4-x的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【解答】解：不等式的解集是x≤1，
故不等式-3x+6≥4-x的正整数解为1，共1个．
故选：A．
2.（2023春 天峨县期末）已知不等式2x-a≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞10 B．10≤a≤12 C．10＜a≤12 D．10≤a＜12
【答案】D
【分析】先求出不等式的解集，再根据正整数解恰好是1，2，3，4，5，逆推a的取值范围．
【解答】解：解不等式2x-a≤0得：x≤a.
根据题意得：5≤a＜6，
解得：10≤a＜12．
故选：D．
3.（2024 金凤区校级三模）不等式2x-3a≤-2a的正整数解为1和2，则a的取值范围是（ ）
A．4≤a≤6 B．4＜a＜6 C．4＜a≤6 D．4≤a＜6
【答案】D
【分析】求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解：解不等式2x-3a≤-2a,得：，
∵不等式组整数解为1和2，
则，
∴4≤a＜6，
故选：D．
【知识点3】一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
1.（2024春 南岗区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．5+4x＞8 B．2x-1 C．2≤5 D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义逐项分析即可．
【解答】解：A．5+4x＞8是一元一次不等式，故符合题意；
B．2x-1不含不等号，不是一元一次不等式，故不符合题意；
C．2≤5不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；
D．的未知数在分母里，不是一元一次不等式，故不符合题意；
故选：A．
2.（2025春 肥西县期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x-3 B．x-1=2 C．x+y＞1 D．x-3＞5
【答案】D
【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此逐项判断即可．
【解答】解：x-3是代数式，则A不符合题意，
x-1=2是等式，则B不符合题意，
x+y＞1中含有两个未知数，则C不符合题意，
x-3＞5符合一元一次不等式的定义，则D符合题意，
故选：D．
【知识点4】一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
1.（2024春 长汀县期末）某种商品的进价为200元，出售标价为300元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则最多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【答案】C
【分析】先设出可以打x折，得出售价是300×元，利润是（300×-200）元，再根据利润率不低于20%，即利润要大于或等于200×20%元，列出不等式，解出x的取值范围．
【解答】解：设可以打x折，根据题意得：
则300×-200≥200×20%，
解得x≥8，
则最多可打8折．
故选：C．
2.（2023春 横县期末）某工人计划在15天内加工408个零件，最初三天中每天加工24个零件，要想在规定时间内超额完成任务，若设从第4天开始每天至少加工x个零件，依题意可列出式子为（ ）
A．24×3+（15-3）x=408 B．24×3+（15-3）x＞408
C．24×3+（15-3）x≥408 D．24×3+（15-3）x＜408
【答案】B
【分析】利用工作总量=工作效率×工作时间，结合要在规定时间内超额完成任务，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：24×3+（15-3）x＞408．
故选：B．
3.（2023春 城关区校级期中）静怡准备用70元在文具店买A，B两种笔记本共7本，A种笔记本每本10元，B种笔记本每本8元，如果至少要买4本A种笔记本，请问静怡购买的方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【分析】设静怡准备买A种笔记本x本，则购买B种笔记本（7-x）本，根据题意建立不等式即可求解．
【解答】解：设静怡准备买A种笔记本x本，则购买B种笔记本（7-x）本，
根据题意可知，10x+8（7-x）≤70，7-x＞0，
解得，x＜7，
∵x≥4，
∴4≤x＜7，
∴x可取4，5，6，
∴共三有种方案．
故选：B．
【知识点5】解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
1.（2025春 肇庆期末）不等式4x-7≥5的解集是（ ）
A．x≤-3 B．x≥-3 C．x≥3 D．x≤3
【答案】C
【分析】解一元一次不等式，通过移项、合并和系数化为1求解即可．
【解答】解：原不等式 移项，得 4x≥5+7，
即 4x≥12，
系数化为1，得 x≥3，
故选：C．
2.（2025春 商河县期末）不等式3x+1≥2x+2的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依次移项、合并即可得出答案．
【解答】解：∵3x+1≥2x+2，
∴3x-2x≥2-1，
则x≥1，
故选：D．
3.（2025春 闵行区校级月考）以下关于不等式-x-1＜0的判断错误的是（ ）
A．0是这个不等式的解
B．x＞-1是这个不等式的解集
C．大于1的数都是这个不等式的解
D．小于1的数都不是这个不等式的解．
【答案】D
【分析】首先求出不等式的解集，然后逐项判断即可．
【解答】解：由-x-1＜0可得x＞-1，
∴0是这个不等式的解，故选项A正确，不符合题意；
x＞-1是这个不等式的解集，故选项B正确，不符合题意；
大于1的数都是这个不等式的解，故选项C正确，不符合题意；
小于1的数中有这个不等式的解，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【题型1】在数轴上表示一元一次不等式的解集
【典型例题】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】﹣1﹣3x≤2，
﹣3x≤2+1，
﹣3x≤3，
x≥﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：C．
【举一反三1】不等式2x﹣1＜﹣3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】移项，得2x＜﹣3+1，
合并同类项，得2x＜﹣2，
x的系数化为1，得x＜﹣1．
在数轴上表示为：
．
故选：D．
【举一反三2】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】﹣1﹣3x≤2，
﹣3x≤2+1，
﹣3x≤3，
x≥﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：C．
【举一反三3】不等式x﹣1≤2的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】x﹣1≤2，
x≤3，
在数轴上表示为：
故选：A．
【举一反三4】解不等式，并把解在数轴上表示出来．
【答案】解：，
3（﹣3+x）≤2（2x﹣4），
﹣9+3x≤4x﹣8，
3x﹣4x≤9﹣8，
﹣x≤1，
x≥﹣1．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【举一反三5】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
去分母：2（2x+5）＜x+1+6，
去括号：4x+10＜x+1+6，
移项：4x﹣x＜1+6﹣10，
合并同类项：3x＜﹣3，
化系数为1：x＜﹣1，
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值
【典型例题】已知（a﹣1）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值为 ．
【答案】﹣1
【解析】由题意得：
|a|＝1且a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【举一反三1】已知（a﹣4）x|3﹣a|+1＞0是关于x的一元一次不等式，则a＝ ．
【答案】2
【解析】∵（a﹣4）x|3﹣a|+1＞0是关于x的一元一次不等式，
∴a﹣4≠0且|3﹣a|＝1，
解得a＝2．
故答案为：2．
【举一反三2】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，求k的值以及不等式的解集．
【答案】解：∵（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，
∴k+3≠0且|k|﹣2＝1，
解得k＝3，
则不等式为6x+5＜3﹣4，
解得x＜﹣1．
【举一反三3】已知（b+2）xb+1＜﹣3是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不等式．
【答案】解：∵（b+2）xb+1＜﹣3是关于x的一元一次不等式，
∴b+1＝1，则b＝0，
∴2x＜﹣3，
解得 x＜﹣1.5．
【题型3】一元一次不等式的整数解
【典型例题】若代数式2x+1的值不大于3x﹣4的值，则x的最小整数值是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】A
【解析】∵代数式2x+1的值不大于3x﹣4的值，
∴2x+1≤3x﹣4，
解得：x≥5，
∴x的最小整数值是5，
故选：A．
【举一反三1】已知不等式2x+a＜x+4的正整数解有2个，则a的取值范围是（ ）
A.1＜a＜2 B.1＜a≤2 C.1≤a≤2 D.1≤a＜2
【答案】D
【解析】解不等式2x+a＜x+4得，
x＜﹣a+4．
因为此不等式的正整数解有2个，
所以2＜﹣a+4≤3，
解得1≤a＜2．
故选：D．
【举一反三2】不等式5﹣x＞2（x﹣1）的正整数解为 ．
【答案】1，2
【解析】∵5﹣x＞2（x﹣1），
∴x，
∴正整数解有：1，2．
故答案为：1，2．
【举一反三3】求不等式的非负整数解．
【答案】解：，
去分母得：5x﹣1＜3（x+1），
去括号得：5x﹣1＜3x+3，
移项、合并同类项得：2x＜4，
解得：x＜2，
故不等式的非负整数解为0，1．
【举一反三4】解不等式10﹣4（x﹣3）≥2（x﹣1），在数轴上表示它的解集，并写出它的非负整数解．
【答案】解：10﹣4（x﹣3）≥2（x﹣1）
去括号，得10﹣4x+12≥2x﹣2，
移项，得﹣4x﹣2x≥﹣2﹣10﹣12，
合并同类项，得﹣6x≥﹣24，
系数化为1，得x≤4．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
∴它的非负整数解为0，1，2，3，4．
【题型4】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集
【典型例题】一个不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式为（ ）
A.3﹣5x＜3x﹣5 B.6x+4＞﹣2 C.﹣7x+6≥7+3x D.﹣3x+4≥3﹣4x
【答案】B
【解析】A、解得x＞1，不符合题意；
B、解得x＞﹣1，符合题意；
C、解得，不符合题意；
D、解得x≥﹣1，不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A.x+2≥0 B.x﹣2≤0 C.2x≥4 D.2﹣x≤0
【答案】B
【解析】由图可知，不等式的解集为x≤2，
A、不等式x+2≥0的解集为x≥﹣2，不符合题意；
B、不等式x﹣2≤0的解集为x≤2，符合题意；
C、不等式2x≥4的解集为x≥2，不符合题意；
D、不等式2﹣x≤0的解集为x≥2，不符合题意．
故选：B．
【举一反三2】已知一个不等式的解集在数轴上如图所示，则这个不等式是（ ）
A.2x+3≥﹣5 B.3﹣4x＞10 C. 0 D.1﹣3x＜2x+8
【答案】A
【解析】根据数轴可知不等式的解集为x≥﹣4，
A．2x+3≥﹣5的解集为x≥﹣4，与数轴表示的解集相符，此选项符合题意；
B．3﹣4x＞10的解集为x，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；
C． 0的解集为x，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；
D．1﹣3x＜2x+8的解集为x，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；
故选：A．
【举一反三3】若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式应是下列中的（ ）
A.x﹣1＜0 B.x﹣1≤0 C.x﹣1＞0 D.x﹣1≥0
【答案】B
【解析】A、x＜1，故A不符合题意；
B、x≤1，故B正确；
C、x＞1，故C错误；
D、x≥1，故D错误．
故选：B．
【题型5】一元一次不等式与新定义型问题
【典型例题】我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝﹣4a﹣3b．例如：5*6＝﹣4×5﹣3×6，若m满足m*（﹣2）＜0，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵m*（﹣2）＜0，
∴﹣4m﹣3×（﹣2）＜0，
则﹣4m＜﹣6，
∴m．
故选：D．
【举一反三1】在R上定义运算：a b＝（a+1）b，当1≤x≤2时，存在x使不等式2 mx＜4成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C.m≤0 D.
【答案】D
【解析】∵2 mx＜4，
∴3mx＜4，
∵当1≤x≤2时，存在x使不等式2 mx＜4成立，
∴m，
∴m，
故选：D．
【举一反三2】定义新运算“ ”如下：当a＞b时，a b＝ab+b；当a＜b时，a b＝ab﹣b，若3 （x+2）＞0，则x的取值范围是（ ）
A.﹣1＜x＜1或x＜﹣2
B.x＜﹣2或1＜x＜2
C.﹣2＜x＜1或x＞1
D.x＜﹣2或x＞2
【答案】C
【解析】当3＞x+2，即x＜1时，
∵3 （x+2）＞0，
∴3（x+2）+（x+2）＞0，
∴3x+6+x+2＞0，
∴x＞﹣2，
∴﹣2＜x＜1；
当3＜x+2，即x＞1时，
∵3 （x+2）＞0，
∴3（x+2）﹣（x+2）＞0，
∴2x+4＞0，
∴x＞﹣2，
∴x＞1；
综上所述，﹣2＜x＜1或x＞1，
故选：C．
【举一反三3】定义新运算：对于任意实数a，b均有a※b＝a（a﹣b）+1，则不等式4※x≥1的解集为 ．
【答案】x≤4
【解析】原不等式可变形为4（4﹣x）+1≥1，
16﹣4x+1≥1，
﹣4x≥﹣16，
x≤4，
故答案为：x≤4．
【举一反三4】定义新运算“ ”，规定：a b＝a﹣2b．若关于x的不等式x m＞3的解集为x＞﹣1，则m＝ ．
【答案】﹣2
【解析】∵a b＝a﹣2b，
∴x m＝x﹣2m．
∵x m＞3，
∴x﹣2m＞3，
∴x＞2m+3．
∵关于x的不等式x m＞3的解集为x＞﹣1，
∴2m+3＝﹣1，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【举一反三5】定义：对于任意实数a，b，关于☆的一种运算如下a☆b＝b﹣2a，例如5☆3﹣10＝﹣7，（﹣3）☆5＝5﹣（﹣6）＝11．
（1）若2☆x＜5，求x的取值范围；
（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+7的解满足m☆x＜5，求m的取值范围．
【答案】解：（1）∵2☆x＜5，
∴x﹣2×2＜5，
∴x＜9；
（2）2（2x﹣1）＝x+7，
解得x＝3，
∵m☆x＜5，
∴m☆3＜5，
∴3﹣2m＜5，
∴m＞﹣1．
【举一反三6】定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2b﹣a．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※2＝2×2﹣（﹣6）＝10．
（1）填空：2※（﹣3）＝ ；
（2）若x是一个负数，且满足（2x﹣3）※（1﹣3x）＜7，求x的取值范围．
【答案】解：（1）2※（﹣3）＝2×2+（﹣3）
＝4﹣3
＝1；
故答案为：1；
（2）∵x＜0，
∴2x﹣3＜0，1﹣3x＞0，
则2x﹣3＜1﹣3x，
由（2x﹣3）※（1﹣3x）＜7得2（1﹣3x）﹣（2x﹣3）＜7，
则2﹣6x﹣2x+3＜7，
﹣6x﹣2x＜7﹣2﹣3，
﹣8x＜2，
∴x．
∴x＜0．
【题型6】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值
【典型例题】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A.a＜1 B.a＞1 C.a＜0 D.a＞0
【答案】A
【解析】∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【举一反三1】已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（ ）
A.2 B.﹣1 C.0 D.1
【答案】B
【解析】∵2x﹣a＞﹣3的解集在数轴上为：x＞﹣2，
则2x＞a﹣3，
即x，
故2，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
【举一反三2】已知关于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）
A.a＜0 B.a＜5 C.a＜﹣5 D.a＞5
【答案】B
【解析】∵关于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，
∴a﹣5＜0，
解得a＜5，
故选：B．
【举一反三3】已知关于x的不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解是x＜1．则a的取值范围是 ．
【答案】a＜3
【解析】∵不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解集为x＜1，
∴a﹣3＜0，
解得a＜3．
故答案为：a＜3．
【举一反三4】已知关于x的不等式2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）．
（1）当a＝﹣5时，求这个不等式的解集．
（2）如果该不等式的解集为x，求a的取值范围．
（3）如果x＝﹣2是该不等式的一个解，求a的取值范围．
【答案】解：（1）把a＝﹣5代入2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）得：
﹣8x＞2x﹣23，
﹣8x﹣2x＞﹣23，
﹣10x＞﹣23，
x＜2.3；
（2）2（a+1）x＞2x+（4a﹣3），
2（a+1）x﹣2x＞4a﹣3，
2ax＞4a﹣3，
∵不等式的解集为x，
∴2a＜0，
即a＜0，
∴a的取值范围是a＜0；
（3）∵x＝﹣2是该不等式的一个解，
∴﹣4（a+1）＞﹣4+（4a﹣3），
∴﹣4a﹣4＞﹣4+4a﹣3，
∴﹣8a＞﹣3，
∴a．
【举一反三5】已知关于x的不等式a（x﹣1）＞x+1﹣2a的解集是x＜﹣1，求a的取值范围．
【答案】解：整理得：（a﹣1）x＞1﹣2a+a，
（a﹣1）x＞1﹣a，
∵不等式解是x＜﹣1，
∴a﹣1＜0，
解得：a＜1．
【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式
【典型例题】不等式x+2＞﹣1的解集为（ ）
A.x＞﹣3 B.x＞1 C.x＜﹣3 D.x＜1
【答案】A
【解析】x+2＞﹣1，
解得：x＞﹣3，
故选：A．
【举一反三1】不等式﹣4x﹣1≥﹣2x+1的解集是（ ）
A.x＞﹣1 B.x≥﹣1 C.x＜﹣1 D.x≤﹣1
【答案】D
【解析】不等式﹣4x﹣1≥﹣2x+1，
移项得：﹣4x+2x≥1+1，
合并得：﹣2x≥2，
解得：x≤﹣1，
故选：D．
【举一反三2】若，则（ ）
A.x＞﹣3 B.x＜﹣3 C.x＞1 D.
【答案】A
【解析】，
移项，得： x＜2﹣1，
合并同类项，得： x＜1，
系数化为1，得：x＞﹣3，
故选：A．
【举一反三3】解不等式1+2（x﹣1）≤3，则x的解集是 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】1+2（x﹣1）≤3；
去括号得：1+2x﹣2≤3，
移项得：2x≤3﹣1+2，
合并同类项得：2x≤4，
两边同除以2得：x≤2．
故答案为：x≤2．
【举一反三4】不等式的解集是 ．
【答案】x＜1
【解析】，
去分母，得：x+1＞4x﹣2，
移项及合并同类项，得：﹣3x＞﹣3，
系数化为1，得：x＜1，
故答案为：x＜1．
【举一反三5】解不等式：
（1）7x﹣1≤9x+5
（2）
【答案】（1）x≥﹣3；
（2）x．
【举一反三6】解不等式：．
【答案】解：去分母得：x﹣5＞2（x﹣4），
去括号得：x﹣5＞2x﹣8，
移项得：x﹣2x＞﹣8+5，
合并同类项得：﹣x＞﹣3，
系数化为1得：x＜3，
∴不等式的解集为：x＜3．
【题型8】根据实际问题抽象出一元一次不等式
【典型例题】北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（ ）
A.100x+80（10﹣x）＞900 B.100x+80（10﹣x）＜900 C.100x+80（10﹣x）≥900 D.100x+80（10﹣x）≤900
【答案】D
【解析】设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，
根据题意，得：100x+80（10﹣x）≤900，
故选：D．
【举一反三1】小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A.52+15n＞70+12n B.52+15n＜70+12n C.52+12n＞70+15n D.52+12n＜70+15n
【答案】A
【解析】由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
【举一反三2】学校准备购进两种型号的节能灯共50只，且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，设A型节能灯共购进x只，请你列出相应不等式 ．
【答案】x≤3（50﹣x）
【解析】设A型节能灯共购进x只，则B型节能灯共购进（50﹣x）只，根据题意可得：
x≤3（50﹣x）．
故答案为：x≤3（50﹣x）．
【举一反三3】一次知识竞赛共有10道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要不少于60分，设她答对了n道题．则根据题意可列不等式： ．
【答案】解：∵一次知识竞赛共有10道题，娜娜答对了n道题，
∴娜娜答错或不答（10﹣n）道题．
根据题意得：10n﹣5（10﹣n）≥60．
故答案为：10n﹣5（10﹣n）≥60．
【题型9】判断是否为一元一次不等式
【典型例题】下列是一元一次不等式的是（ ）
A.2x＞1 B.x﹣2＜y﹣2 C.2＜3 D.x2＜9
【答案】A
【解析】A、是一元一次不等式，故此选项符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
C、不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
D、未知数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【举一反三1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A.x＞5﹣y B.2x﹣3＜0 C.4＞2 D.x＜x2
【答案】B
【解析】A、x＞5﹣y含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
B、2x﹣3＜0是一元一次不等式，符合题意；
C、4＞2不含未知数，是不等关系，不是一元一次不等式，不符合题意；
D、x＜x2未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，不符合题意；
故选：B．
【举一反三2】下列是一元一次不等式的有（ ）
x＞0， 1，2x＜﹣2+x，x+y＞﹣3，x＝﹣1，x2＞3，．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】是一元一次不等式的有：x＞0，2x＜﹣2+x共有2个．
故选：B．
【举一反三3】下列各式是一元一次不等式的有 （填序号）．
①﹣2x＞5；②3x﹣4y≥0；③；④．
【答案】①③
【解析】①是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1，用不等号连接的整式，符合题意；
②含有2个未知数，不符合题意；
③是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1，用不等号连接的整式，符合题意；
④不是整式，不符合题意；
∴一元一次不等式的有①③．
【举一反三4】下列各式中，哪些是一元一次不等式？
（1）﹣3＞﹣5；
（2）x＞1；
（3）2x+y≥6；
（4）2﹣x＜3x+5；
（5）3x+1＝0；
（6）；
（7）2x2+5＞7；
（8）2a﹣7≤15；
（9）1．
【答案】解：一元一次不等式有：（2）x＞1；（4）2﹣x＜3x+5；（8）2a﹣7≤15；（9）1．
【举一反三5】判断下列不等式是否为一元一次不等式：
（1）2x+y 0；
（2）3≤1；
（3）（2x+1）＞n（x﹣2）；
（4）1﹣3x＜4+7x．
【答案】解：（1）不等式2x+y 0是二元一次不等式，不是一元一次不等式，
（2）不等式3≤1不是一元一次不等式；
（3）不等式（2x+1）＞n（x﹣2）是二元二次不等式，不是一元一次不等式；
（4）不等式1﹣3x＜4+7x是一元一次不等式．
【题型10】一元一次不等式的解
【典型例题】如果x＝1.6是某不等式的解，那么该不等式可以是（ ）
A.x＞3 B.x＞2 C.x＜1 D.x＜2
【答案】D
【解析】∵1.6＜2，
∴x＝1.6是不等式x＜2的解．
故选：D．
【举一反三1】下列各数中，是不等式x＞2的解的是（ ）
A.﹣2 B.2 C.1 D.3.5
【答案】D
【解析】在﹣2，2，1，3.5中，只有3.5＞2，
故选：D．
【举一反三2】构造一个一元一次不等式，使它的解集是，如 ．
【答案】3x﹣4≥0（不唯一）
【解析】由不等式的两边同时乘以3，得
3x≥4，
不等式的两边同时减去4，得
3x﹣4≥0，
所以不等式3x﹣4≥0符合题意．
故答案可以是：3x﹣4≥0．
【举一反三3】不等式|x|＜1的解集是 ．
【答案】﹣1＜x＜1
【解析】根据绝对值的几何意义可得：“|x|＜1”可理解为数x在数轴上对应的点到原点的距离小于1，
不等式|x|＜1的解集是﹣1＜x＜1．
故答案为：﹣1＜x＜1．
【举一反三4】下列各数中，是不等式x+1＜4解的数有哪些？哪些不是不等式的解？
8、7、5.5、4、2、1、0、2.5、﹣6．
【答案】解：∵x+1＜4，
∴x＜3．
∴2、1、0、2.5、﹣6是不等式的解．8、7、5.5、4不是不等式的解．
【举一反三5】判断下列说法是否正确，为什么？
（1）x＝﹣1是不等式2x＜6的解；
（2）x＝1不是不等式x﹣2＞0的解；
（3）因为x＝1是不等式x﹣5＜0的一个解，所以该不等式的解为x＝1．
【答案】解：（1）不等式2x＜6解集有x＜3，包括﹣1，故正确；
（2）不等式x﹣2＞0的解集有x＞2，不包括1，故正确；
（3）因为不等式x﹣5＜0的解是所有小于5的数，故错误．
【题型11】一元一次不等式与方案问题
【典型例题】联通公司推出两种手机收费方案．方案一：月租费36元，本地通话话费0.1元/分；方案二：不收月租费，本地通话费为0.6元/分．设小明的爸爸一个月通话时间为x分钟．小明爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案一比方案二优惠？（ ）
A.60分钟 B.70分钟 C.72分钟 D.80分钟
【答案】D
【解析】∵方案一：月租费36元，本地通话话费0.1元/分；
方案二：不收月租费，本地通话费为0.6元/分．
设小明的爸爸一个月通话时间为x分钟．
∴方案一：y＝36+0.1x，
方案二：y＝0.6x，
∴当方案一比方案二优惠，则36+0.1x＜0.6x，
解得：x＞72，
故选：D．
【举一反三1】小明欲购买A，B两种型号的笔记本共10本（不可购买一种），要求其总价钱不超过60元，已知A型号的单价是5元，B种型号的单价是7元，则购买方案有（ ）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
【答案】C
【解析】设购买A种型号的笔记本x本，则购买B种型号的笔记本（10﹣x）本，
根据题意得5x+7（10﹣x）≤60，解得x≥5，
而x＞1且10﹣x≥1，
所以5≤x≤9，
因为x为正整数，
所以x＝5、6、7、8，9．
故选：C．
【举一反三2】某种毛巾的原零售价为每条6元，凡一次性购买两条以上（含两条），商家推出两种优惠方案：（1）两条按原价，其余按七折优惠；（2）全部按八折优惠．若在购买相同数量的毛巾的情况下，要使方案（1）比方案（2）合算，则最少要购买毛巾 条．
【答案】7
【解析】设购买毛巾x条，由题意得：
6×2+6×0.7（x﹣2）＜6×0.8x
解得x＞6．
∵x为最小整数，
∴x＝7，
故答案为：7．
【举一反三3】某电信公司提供的移动通信服务的收费标准有两种方案，如下表：
（1）当通话时间为100分钟时，方案A的费用为 元；
（2）当通话时间满足条件 分钟时，方案B比方案A更优惠．
【答案】（1）30；（2）大于170
【解析】（1）∵100＜120，
∴当通话时间为100分钟时，方案A的费用为每月基本服务费30元．
故答案为：30．
（2）设每月通话时间为x分，
当x＞120时，A方案的收费为30+0.4（x﹣120）＝0.4x﹣18，
当x＞200时，B方案的收费为50+0.4（x﹣200）＝0.4x﹣30，
当0＜x＜170时，A方案最优；
当0.4x﹣18＝50，即x＝170分钟时，两个方案话费一样多；
∵﹣18＞﹣30，
∴0.4x﹣18＞0.4x﹣30，
即当x＞170时，方案B比方案A更优惠．
故答案为：大于170．
【举一反三4】某公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这20辆客车都坐满的情况下，共载客720人．
（1）求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？
（2）某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过5600元．
①至少要租用多少辆甲型客车？
②若七年级的师生共有370人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【答案】解：（1）设甲型客车有x辆，乙型客车有y辆，
根据题意得：，
解得：．
答：甲型客车有12辆，乙型客车有8辆；
（2）①设租用m辆甲型客车，则租用（10﹣m）辆乙型客车，
根据题意得：450m+600（10﹣m）≤5600，
解得：m≥，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为3．
答：至少要租用3辆甲型客车；
②根据题意得：30m+45（10﹣m）≥370，
解得：m≤，
又∵m≥，且m为正整数，
∴m可以为3，4，5，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用3辆甲型客车，7辆乙型客车；
方案2：租用4辆甲型客车，6辆乙型客车；
方案3：租用5辆甲型客车，5辆乙型客车．
选择方案1所需租金为450×3+600×7＝5550（元）；
选择方案2所需租金为450×4+600×6＝5400（元）；
选择方案3所需租金为450×5+600×5＝5250（元），
∵5550＞5400＞5250，
∴最省钱的租车方案为：租用5辆甲型客车，5辆乙型客车．
【举一反三5】为了提高学生学习英语的兴趣，检测学生词汇掌握情况，万州区某中学举办了“英语词汇竞赛活动”，学校英语组准备给每个获奖学生颁发一种售价为30元/个的奖品．由于需要的奖品数量较多，商家给出两种优惠方案，方案一：所有奖品按售价打8折；方案二：免费赠送10个奖品，其余奖品按售价打9折．
（1）负责购买奖品的老师发现，按方案一购买奖品比按方案二购买奖品可以节约30元钱，求需要购买多少个奖品？
（2）购买的奖品数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算？
【答案】解：（1）设需要购买m个奖品，
由题意可得：30m×0.8+30＝30（m﹣10）×0.9，
解得m＝100，
答：需要购买100个奖品；
（2）设购买奖品x个，
由题意可得：30x×0.8＜30（x﹣10）×0.9，
解得x＞90，
答：当购买的奖品数量大于90时，按方案一购买比按方案二购买要划算．
【题型12】用一元一次不等式解决实际问题
【典型例题】某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（ ）
A.10件 B.11件 C.12件 D.13件
【答案】C
【解析】设小颖可以购买x件该商品，
依题意得：4×5+4×0.8（x﹣5）≤44，
解得：x，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为12，
∴小颖最多可以购买该商品12件．
故选：C．
【举一反三1】某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（ ）
A.120元 B.132.5元 C.140元 D.142.5元
【答案】C
【解析】设这批电子产品降价x元．
根据题意得，
，
解得x≤140，
所以，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价140元．
故选：C．
【举一反三2】某商场在A地以每件100元的价格购进某种服装20件，又在B地以每件120元的价格购进同种服装30件，然后用相同的价格卖出，如果商场销售这些商品时，至少要获得10%的利润，这种服装每件的售价应不能低于 元．
【答案】123.2
【解析】至少要获得10%的利润说明利润≥10%
[（30+20）x﹣（100×20+120×30）]÷（100×20+120×30）≥10%
50x﹣5600≥560，即5x≥616，
解得x≥123.2
【举一反三3】无人机广泛应用于多种领域，不仅在军事领域发挥了重要作用，而且在民用领域也展现出强大的实力．在农业方面，植保无人机可以帮助进行精准施肥和喷洒农药，提高农业生产效率．某生态农业公司共有4架A型植保无人机和8架B型植保无人机，这两种型号的植保无人机在满电状态下可持续作业15分钟．1架A型植保无人机和2架B型植保无人机15分钟可完成70亩地的农药喷洒作业，3架A型植保无人机和1架B型植保无人机15分钟可完成85亩地的农药喷洒作业．
（1）1架A型和1架B型植保无人机工作15分钟分别可完成多少亩地的农药喷洒作业？
（2）为抢抓晴好天气开展小麦病虫害防治作业，该农业公司打算再购进这两种型号的植保无人机共6架，且每种无人机至少购买1架．若要用1小时45分钟完成1660亩地的农药喷洒作业（无人机在第一轮作业前处于满电状态，每轮作业结束后将无人机收回至无人机充满电需15分钟，充电与作业不能同时进行），有哪几种购买方案？
【答案】解：（1）设1架A型植保无人机工作15分钟可完成x亩地的农药喷洒作业，1架B型植保无人机工作15分钟可完成y亩地的农药喷洒作业，
根据题意得：，
解得：．
答：1架A型植保无人机工作15分钟可完成20亩地的农药喷洒作业，1架B型植保无人机工作15分钟可完成25亩地的农药喷洒作业；
（2）∵这两种型号的植保无人机在满电状态下可持续作业15分钟，无人机在第一轮作业前处于满电状态，每轮作业结束后将无人机收回至无人机充满电需15分钟，充电与作业不能同时进行，1小时45分钟＝105分钟，105÷15＝7，
∴1小时45分钟共进行了4轮作业，充电3轮．
设购进m架A型植保无人机，则购进（6﹣m）架B型植保无人机，
根据题意得：4[20（4+m）+25（8+6﹣m）]≥1660，
解得：m≤3，
又∵m为正整数，
∴m可以为1，2，3，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进1架A型植保无人机，5架B型植保无人机；
方案2：购进2架A型植保无人机，4架B型植保无人机；
方案3：购进3架A型植保无人机，3架B型植保无人机．
【举一反三4】为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】解：设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，
根据题意可得：，
解得：，
答：足球的单价60x元、篮球的单价为90元，
（2）设学校最多可以购买m个篮球，则买（100﹣m）个足球，
90m+60（100﹣m）≤7200，
解得：m≤40，
∴学校最多可以购买40个篮球
