2.4等腰三角形的判定定理培优提升训练（含答案）2025—2026学年浙教版八年级数学上册

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2.4等腰三角形的判定定理培优提升训练2025—2026学年浙教版八年级数学上册
一、选择题
1．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
2．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．如图，在中，，是的平分线，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图,中，角平分线交于交于E，若， ，则等于( )
A． B． C． D．
5．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　）
①一条边上的高线与这条边上的中线重合
②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合
③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合
A．只有①和②可以 B．只有①和③可以 C．只有②和③可以 D．①②③全部都可以
7．下列条件中，能判定为等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点A、B、C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点Q，连接，，下列结论：
①；
②；
③为等边三角形；
④．
其中结论不一定成立的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ．
10．如图，是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为，则的长为 ．
11．如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．
12．如图，，，，，则 °．
三、解答题
13．如图所示，在中，平分，．
(1)请判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
14．如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且．
(1)求证：；
(2)延长交延长线于点，求证：；
15．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F．
(1)证明：；
(2)若，求证：为等边三角形．
16．【问题情境】在等边的两边，上分别有两点M，N，点为外一点，且，，．
【特例探究】如图①，当时，
（1）______度；______度；
（2）与，之间的数量关系为______；
【归纳证明】如图②，当时，其他条件不变，猜想与，之间有怎样的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】的周长与的周长的比为______．
17．如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，．
(1)如图1，若为的中点，求证：．
(2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点．
①求证：是等边三角形；
②判断与是否相等，并说明理由．
18．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求线段的长．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．B
4．B
5．C
6．A
7．D
8．B
二、填空题
9．17
10．
11．1
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，，
，
，
，
．
14．【解】（1）证明：过点A作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据折叠可知：，
∵；
∴，
∵，
∴，
∴．
15．【解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，，，
∴，
∴为等边三角形．
16．【解】特例探究：（1）∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）由（1）可得：，，，，
∴，，，
∴，
∴；
归纳证明：，证明如下：
如图，延长至点，使得，连接，
由特例探究：（1）可得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
拓展应用：∵为等边三角形，
∴，
∴的周长为，
由归纳证明可得：，
∴的周长为，
∴的周长与的周长的比为．
17．【解】（1）证明：是等边三角形，
，．
为的中点，
，．
，
，
．
，
，
，
．
（2）证明：，是等边三角形，
，，，
是等边三角形．
②解：相等．
理由：，是等边三角形，
，，．
，，
，，，
，．
，
，
，
．
18．【解】（1）解：证明：∵是等边三角形
∴．
∵，
∴，，
∴是等边三角形．
（2）如图，过点作，垂足为点，则，设．由（1）得是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
即，解得，
∴线段的长为6．
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