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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册单元测试卷浙教（2024）版
第1章 三角形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1章 三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．下列结论：①面积和周长都相等的两个三角形全等；②周长相等的两个等腰三角形全等；③三个角对应相等的两个三角形全等；④全等三角形的对应边上的高相等，其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边长分别是和，满足上述条件的三角形（三角形的边长均为整数）的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，在中，，分别平分，，若，，则（ ）
A．17 B．16 C． D．
6．若是三角形的三边长，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（ ）（用含有和的代数式表示）
A． B． C． D．
9．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（ ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合)
A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16
10．如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．在中，，，那么它是 三角形．
12．如图，是的中线，为线段的中点，过点作于点．若 ，则长为 ．
13．在一个上底是，下底是，高是的梯形内取一个最大的三角形，这个三角形的面积是 ．
14．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ．
15．如图，已知，且垂足为G，延长交于点F，若，，则 ．
16．如图，中，，，分别过点作过点的直线的垂线，垂足分别为，，，则 ．
17．小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离 ．
18．如图，在长方形中，，，连接，点为上一点且，垂直于交于，点在线段上（与，不重合），连接，并将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则和的面积和为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
20．如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出：使得．点在小正方形的格点上，且点与点不重合．（只需画出一种即可）
(2)在图2中画出：使得，且点在小正方形的格点上（只需画出一种即可）．
21．如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．如图：中，、平分和，若，求的度数．
23．受自行车尾灯设计的启发，某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录．
探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录
项目背景 如图1，两个互相垂直的平面镜（），根据光的反射定律，法线，分别垂直于平面镜，反射角等于入射角，即， ，，，， （① ）． ，（② ）， ． ， ． ∴
实验探究 如图2，在同一平面内，两块平面镜的夹角为，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组和的值，数据如下：
建立模型 根据表中信息，猜想与之间的关系为③ （由项目背景知，）
请你结合活动记录完成以下任务．
(1)①中的推理依据是 ，②中的推理依据是 ．
(2)③应填 ，并说明理由．
24．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
(1)当____________时，有最小值是____________
(2)多项式有最____________（填“大”或“小”）值，该值为____________
(3)已知，求的最值
(4)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．
25．已知，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．
(1)如图1，若直线经过的内部，且E、F在射线上，，，则 ； （填“”、“”或“”）
(2)如图2，若，请添加一个关于与关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；
(3)如图3，若直线经过的外部，若，则、、三条线段有何数量关系，并予以证明．
试卷第1页，共3页
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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册单元测试卷浙教（2024）版
第1章 三角形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1章 三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，常用的全等三角形的判定方法有：、、、，解决本题的关键是根据原有的条件与添加的条件是否能组成上述的条件，如果符合上述条件中的一种即可证明三角形全等．
【详解】解：由图可知是和的公共角，
A选项：添加，在和中有两条边和其中一条边的对角对应相等，不能证明三角形全等，故A选项符合题意；
B选项：添加，在和中，根据可证，故B选项不符合题意；
C选项：添加，在和中，根据可证，故C选项不符合题意；
D选项：添加，在和中，根据可证，故D选项不符合题意．
故选：A．
2．如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据平行线间的距离的定义解答即可．
【详解】解：如图，过点作于，作于，
、分别平分和，，
，
与之间的距离，
故选：C．
3．下列结论：①面积和周长都相等的两个三角形全等；②周长相等的两个等腰三角形全等；③三个角对应相等的两个三角形全等；④全等三角形的对应边上的高相等，其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
面积和周长都相等的两个三角形不一定全等，判断①；举反例：3，3，4的等腰三角形与4，4，2的等腰三角形就不全等，可判断②；举反例：边长为3与边长为4的两个等边三角形，不全等，可判断③；根据全等三角形的面积相等和三角形面积公式可得对应边高相等，判断④．
【详解】解：①面积和周长都相等的两个三角形不一定全等，故①错误；
②周长相等的两个等腰三角形不一定全等；如边长为3，3，4的等腰三角形与边长为4，4，2的等腰三角形就不全等，故②错误；
③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如边长为3与边长为4的两个等边三角形，三个角都是60度，对应相等，但两个三角形不全等，故③错误；
④全等三角形的对应边上的高相等，正确，因为全等三角形，面积相等，根据三角形面积等于底乘高除以2，面积相等，底相等，则高相等，故④正确．
∴正确的有④，共个．
故选：A．
4．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边长分别是和，满足上述条件的三角形（三角形的边长均为整数）的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的三边关系，首先设三角形第三边长为，根据三角形的三边关系可得，解不等式可得的取值范围，再根据周长是偶数确定的值，进而可得答案，解题的关键是掌握三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【详解】解：设三角形第三边长为，
由题意得：，
∴，
∵周长是偶数，，
∴，，，共个，
故选：B．
5．如图，在中，，分别平分，，若，，则（ ）
A．17 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，设交于点，作平分，证明，，得到，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：设交于点，作平分，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
故选A．
6．若是三角形的三边长，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键．
【详解】解：由三角形的三边关系得，，，，
∴，，，
∴原式，
故选：．
7．如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义．由作图过程可知，为的平分线，可得．根据，可得．由题意得，则．
【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
8．在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（ ）（用含有和的代数式表示）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，延长、交于点，由三角形内角和定理可得，由题意可得平分，平分，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长、交于点，
，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得：平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴
；
故选：C．
9．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（ ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合)
A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可．
【详解】解：分以下三种情况讨论：
①当E在线段上，时，，
∵，
∴，
∴，
∴点E的运动时间为（秒）；
②当E在上，时，，
，
点E的运动时间为（秒）；
③当E在上，时，，
，
点E的运动时间为（秒）．
综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等．
故选：D．
10．如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∵分别平分，
∴，，
∴，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，故结论③错误；
又∵，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的个数是3个．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．在中，，，那么它是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查三角形的分类，三角形内角和定理，先根据三角形内角和为180度求出，结合求出和，即可求解．
【详解】解： 中，，
，
，
，，
是直角三角形，
故答案为：直角．
12．如图，是的中线，为线段的中点，过点作于点．若 ，则长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查三角形的面积问题，利用中线分成的两个三角形的面积相等，得到的面积，再根据面积公式求得高即可．
【详解】解：连接，
线段是的中线，
，
，
，
为线段的中点，
线段是的中线，
，
，
，
故答案为：2．
13．在一个上底是，下底是，高是的梯形内取一个最大的三角形，这个三角形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查在一个梯形内取一个最大的三角形，明确三角形的底和高是解题的关键．根据题意，梯形内取一个最大的三角形，三角形的底为梯形的下底，高为梯形的高，再根据三角形的面积公式进行解答即可．
【详解】解：（平方厘米）
答：这个三角形的面积是平方厘米．
故答案为：．
14．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ．
【答案】/80度
【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题．
【详解】解：连接．
∵平分，平分，，
∴，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：．
15．如图，已知，且垂足为G，延长交于点F，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，，由垂线的定义可得，求出，再结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵垂足为G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．如图，中，，，分别过点作过点的直线的垂线，垂足分别为，，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案，掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离 ．
【答案】/5米
【分析】本题考查的是全等三角形的应用，先过点作于点F，再证明，可得，再由可得答案．
【详解】解：过点作于点F，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
．
故答案为：．
18．如图，在长方形中，，，连接，点为上一点且，垂直于交于，点在线段上（与，不重合），连接，并将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则和的面积和为 ．
【答案】8
【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，涉及长方形的判定与性质，旋转的性质，正确作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
过点Q作于G，过点P作于M，延长、相交于N，证明四边形是长方形，得到，再证明，得到，从而求得，然后根据求解即可．
【详解】解：过点Q作于G，过点P作于M，延长、相交于N，如图，
∵长方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：8．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据，等量代换可得，再根据平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”即可求解；
（2）先证明，得出，结合，求出，根据，得出，即可求出，再根据三角形内角和定理进行计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出：使得．点在小正方形的格点上，且点与点不重合．（只需画出一种即可）
(2)在图2中画出：使得，且点在小正方形的格点上（只需画出一种即可）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了网格作图，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，解题的关键是确定点D和点E的位置．
（1）根据三角形全等的性质得到以为公共边，取格点，使得，即可解答；
（2）根据三角形全等的性质得到以为公共边，取格点，使得，即可解答．
【详解】（1）解：如图1所示，为所求：
（2）解：如图2所示，为所求．
21．如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）先证，进而证明，可得；
（2）由，得．再结合E是的中点，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
．
在和中，
，
．
（2）解：由，得．
E为的中点，
∴．
，
，
．
22．如图：中，、平分和，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，则，然后把的度数代入计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵、平分和，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
而，
∴．
23．受自行车尾灯设计的启发，某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录．
探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录
项目背景 如图1，两个互相垂直的平面镜（），根据光的反射定律，法线，分别垂直于平面镜，反射角等于入射角，即， ，，，， （① ）． ，（② ）， ． ， ． ∴
实验探究 如图2，在同一平面内，两块平面镜的夹角为，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组和的值，数据如下：
建立模型 根据表中信息，猜想与之间的关系为③ （由项目背景知，）
请你结合活动记录完成以下任务．
(1)①中的推理依据是 ，②中的推理依据是 ．
(2)③应填 ，并说明理由．
【答案】(1)等角的余角相等；三角形的内角和等于
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定和性质，角平分线定义，四边形内角和，是解决本题的关键．
（1）根据余角性质，三角形内角和性质回答即可；
（2）结合光的反射，得，得，得，即可解答．
【详解】（1）解：，，，，
（等角的余角相等）．
，（三角形的内角和等于），
．
，
．
∴，
故答案为：等角的余角相等；三角形的内角和等于；
（2）解：，
理由：如图，为法线，
则，
在中，，
，
在中，，
在四边形中，，
，
即．
24．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
(1)当____________时，有最小值是____________
(2)多项式有最____________（填“大”或“小”）值，该值为____________
(3)已知，求的最值
(4)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】(1)；
(2)大；13
(3)的最小值是
(4)的周长为9
【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
（1）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（2）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可；
（4）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴，
∴当时，的值最小，最小值是，
∴的最小值是．
（2）解：，
∵，
∴当时，的值最大，最大值是0，
∴．
∴当时，的值最大，最大值是．
（3）解：∵，
，
∴
∵
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴．
∴当时，的值最小，最小值是．
∴的最小值是．
（4）解：，
，
，，
边长的范围为．
，，都是正整数，
边长的值为4，则的周长为．
25．已知，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．
(1)如图1，若直线经过的内部，且E、F在射线上，，，则 ； （填“”、“”或“”）
(2)如图2，若，请添加一个关于与关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；
(3)如图3，若直线经过的外部，若，则、、三条线段有何数量关系，并予以证明．
【答案】(1)=，=
(2)添加的条件为，理由见解析
(3)．理由见解析
【分析】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
（1）证明即可得到，，故．
（2）证明和（1）类似，根据即可得到，，故．
（3）求出，，根据证，推出，即可．
【详解】（1）解：在图1中，，
，，
，
在和中，
，
，，
，
故答案为，．
（2）在图2中，添加的条件为，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
．
（3）．
理由是：如图3中，
，，
又，，
，
，
在和中，
，
，，
，
．
试卷第1页，共3页
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