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三角形 单元同步测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·广州期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2、3、5 B．3、4、5 C．2、2、5 D．3、4、8
2．（2024八上·增城期中）如图，，若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．2 D．4
3．（2024八上·汉阳期末）如图，点E是内一点，平分，过点E作于D，连．若，，则的面积是（ ）
A．20 B．30 C．25 D．15
4．（2024八上·黔东南期末）如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024八上·雨花期末）如图，，，，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·邵阳期末）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若，则
C．两个锐角的和是钝角
D．有两个角相等的三角形是等腰三角形
7．（2024八上·金华期末）如图，AD是的中线，是AD的中点，连结BE，CE.若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
8．（2024八上·惠州期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长是（ ）
A．20cm B．24cm C．26cm D．28cm
9．（2023八上·花都期中）如图，在中，和的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于B，BF交AC于F，过点O作于D，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
10．（2024八上·南宁月考）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·榆阳期末）如图，已知是的外角，，，则的度数为 ．
12．（2024八上·北京市开学考）如图，是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为 ．
13．（2024八上·黔东南期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为 ．
14．（2024八上·开福开学考）如图，的度数是 ．
15．（2024八上·岳麓开学考）如图，在中，、分别是边上的高和中线，，，则＝ ．
16．（2024八上·海安月考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 .
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·云南期末）如图，在中，线段是边上的高．
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小．
18．（2024八上·临平月考）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19．（2023八上·花垣月考） 数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题.有三名同学的作品如下：
（1）小香：如图1，已知的高，面积为，求BC的长度.
（2）小涵：如图2，已知D是BC中点，，，求.
（3）小宇：如图3，已知AD平分，，，求.
20．（2023八上·浑江期末）如图，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．
21．（2023八上·西安月考）如图是的外角的平分线，且交的延长线于点.
（1）若，求的度数；
（2）请你写出三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程.
22．（2024八上·杭州月考）在一个三角形中， 如果一个内角是另一个内角的 3 倍， 这样的三角形我们称之为 "三倍角三角形"。例如，三个内角分别为 的三角形是 "三倍角三角形"
（1） 中， 是 "三倍角三角形"吗？为什么？
（2） 若 是 "三倍角三角形"， 且 ， 求 中最小内角的度数.
23．（2024八上·宁乡市期末）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，
求证：
（1）；
（2）．
24．（2024八上·景县期末）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是 ．
25．（2024八上·香洲期末）如图，在中，，垂足分别为D，E．
（1）求证：；
（2）若点F是AB的中点，连接CF，FD，并延长FD交BC于点G，如果，求的度数（用含的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比．
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三角形 单元同步测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·广州期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2、3、5 B．3、4、5 C．2、2、5 D．3、4、8
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，长度是2，3，5的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、，长度是3，4，5的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、，长度是2，2，5的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、，长度是3，4，8的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
2．（2024八上·增城期中）如图，，若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．2 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
故选：A．
【分析】根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
3．（2024八上·汉阳期末）如图，点E是内一点，平分，过点E作于D，连．若，，则的面积是（ ）
A．20 B．30 C．25 D．15
【答案】C
【解析】【解答】解：过E作EH⊥AB于H，如图：
∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EH⊥AB，
∴EH=ED=5，
∵AB=10，
∴△AEB的面积=；
故答案为：C.
【分析】过E作EH⊥AB于H，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得EH=ED=5，根据三角形的面积公式进行计算即可.
4．（2024八上·黔东南期末）如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】【解答】解：A、由SAS能判定 ，不符合题意；
B、由SSA不能判定 ，符合题意；
C、由SSS能判定 ，不符合题意；
D、由ASA能判定 ，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS、SSS、ASA即可判断.
5．（2024八上·雨花期末）如图，，，，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在△DBE和△BCA中：
∵BD=CB，∠DBE=∠C，BE=CA，
∴△DBE≌△BCA，
∴∠BDE=∠CBA=75°，
∴∠BED=∠CAB=180°-（62°+75°）=43°，
∴∠AFD=∠BDE-∠CAB=75°-43°=32°。
故答案为：B。
【分析】首先根据SAS证明△DBE≌△BCA，从而得出∠BDE=∠CBA=75°，然后根据三角形内角和得出∠BED=43°，从而得∠CAB=43°，然后根据三角形外角的性质即可得出∠AFD的度数。
6．（2024八上·邵阳期末）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若，则
C．两个锐角的和是钝角
D．有两个角相等的三角形是等腰三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：A： 相等的角是对顶角不正确，所以A不是真命题；
B：若，c＞0时，则 ，c＜0时， ，所以B不是真命题；
C： 锐角20°和锐角30°，两角相加等于50°是锐角，所以C不是真命题；
D： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 正确，所以D是真命题。
故答案为：D。
【分析】分别判断出各命题是否正确，从而得出真命题。
7．（2024八上·金华期末）如图，AD是的中线，是AD的中点，连结BE，CE.若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AD是的中线，
∴
∵是AD的中点，
∴
∴
∴阴影部分面积为：2+2=4，
故答案为：4.
【分析】根据AD是的中线，得到根据是AD的中点，得到进而即可求解.
8．（2024八上·惠州期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长是（ ）
A．20cm B．24cm C．26cm D．28cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，进行等量代换，即可得到的周长.
9．（2023八上·花都期中）如图，在中，和的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于B，BF交AC于F，过点O作于D，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，
∴，，
故
∴，①正确；
②如图，在AB上取一点H，使BH=BE，连接OH，
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，
∴，，∠HBO=∠EBO，
∴
∴，
∴∠BOE=180°-∠AOB=60°，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-∠BOH-∠BOE=180°-60°-60°=60°，
∵∠AOF=∠BOE=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故②正确；
③过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，且ON⊥AC，OM⊥AB，OD⊥BC，
∴ON=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b
∴
=ab；③正确．
故答案为：C.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可求得，结合三角形内角和是180°即可得出，判断①正确；在AB上取一点H，使BH=BE，连接OH，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠HBO=∠EBO，∠OAB+∠OBA=60°，求得，∠BOE=60°，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE=60°，推得∠AOH=∠AOF，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AF=AH，即可判断②正确；过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得ON=OM=OD=a，结合题意和三角形的面积格式即可判断③正确；得出结论.
10．（2024八上·南宁月考）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．3
【答案】B
【解析】【解答】 解：∵AB=20cm，AE=6cm，BC=16cm，
∴EB=14cm，BP=2tcm，PC=（16-2t）cm，
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≌△CQP，
由题意得：16-2t=14，
解得：t=1；
②当BP=CP，BE=QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t=16-2t，
解得：t=4.
故选：B.
【分析】用含t的代数式表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，△BPE≌△CQP或△BEP≌△CQP，列出方程，解方程求出t的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·榆阳期末）如图，已知是的外角，，，则的度数为 ．
【答案】70°
【解析】【解答】解：是的外角，
，
即.
故答案为：．
【分析】根据三角形外角的定义及性质：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和，计算求解即可.
12．（2024八上·北京市开学考）如图，是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵是锐角的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得， ，最后利用线段的和差求出BD的长即可.
13．（2024八上·黔东南期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，一副三角尺，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角尺的特殊角的度数可求的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解.
14．（2024八上·开福开学考）如图，的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，
因为，，，
又因为，
所以，
故答案为：．
【分析】根据图象，结合三角形内角和定理，以及对顶角相等，即可得到答案.
15．（2024八上·岳麓开学考）如图，在中，、分别是边上的高和中线，，，则＝ ．
【答案】6
【解析】【解答】解：因为，，所以
所以，因为是的中线，所以．
故填：6．
【分析】本题主要考查三角形的面积，利用三角形的面积公式（ 三角形的面积计算公式为底乘以高除以2）求出，可得结论．
16．（2024八上·海安月考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 .
【答案】9＜AB＜19
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·云南期末）如图，在中，线段是边上的高．
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小．
【答案】（1）解：是边上的高，，，
．
∴．
又是边上的中线，
．
（2）解：∵ 线段是边上的高 ，∠C=60°，
∴∠EAC=180°-∠AEC-∠C=180°-90°-60°=30°
，，
．
又为∠BAC的平分线，
．
∴．
【解析】【分析】（1）结合已知条件以及三角形的面积公式先求得出，进而根据三角形的中线的性质求出BD的长；
（2）根据三角形内角和定理求得∠EAC和，进而根据角平分线的性质可得，根据，即可求出的度数．
（1）解：是边上的高，，，
．
，
解得．
又是边上的中线，
．
（2），，
．
又为角平分线，
．
又，
，．
18．（2024八上·临平月考）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
是的中点，
，
又，
；
（2）解：，
，
．
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质与判定．
（1）根据，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得，再根据对顶角相等，中点的性质得出，，利用全等三角形的判定定理可证明；；
（2）根据全等三角形的性质可得，再根据线段的运算可得，代入数据进行计算可求出答案．
（1）证明：，
，
是的中点，
，
又，
；
（2）解：，
，
．
19．（2023八上·花垣月考） 数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题.有三名同学的作品如下：
（1）小香：如图1，已知的高，面积为，求BC的长度.
（2）小涵：如图2，已知D是BC中点，，，求.
（3）小宇：如图3，已知AD平分，，，求.
【答案】（1）解：
（2）解：14cm
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）∵，
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵D是中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵平分，
∴．
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解；
（2）基本关系：、、、据此求解；
（3）根据三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求解．
20．（2023八上·浑江期末）如图，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．
【答案】（1）证明：在Rt△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS）
（2）证明：∵△ADB≌△ADC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE
【解析】【分析】（1）利用“SSS”证出△ABD≌△ACD即可；
（2）利用全等三角形的性质可得∠DAB＝∠DAC，利用平行线的性质可得∠ADE＝∠DAC，再利用等量代换可得∠EAD＝∠EDA，最后利用等角对等边的性质可得AE＝DE．
21．（2023八上·西安月考）如图是的外角的平分线，且交的延长线于点.
（1）若，求的度数；
（2）请你写出三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程.
【答案】（1）解：，
∴，
平分，
∴，
∴
（2）结论：.
证明：平分，
∴，
，
∴
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角性质，可得∠ECD和∠BAC的度数；根据角平分线的定义，可得∠ACE=∠ECD；
（2）据角平分线的定义，可得∠ACE=∠ECD；根据三角形的外角性质和等量代换原则，即可得.
22．（2024八上·杭州月考）在一个三角形中， 如果一个内角是另一个内角的 3 倍， 这样的三角形我们称之为 "三倍角三角形"。例如，三个内角分别为 的三角形是 "三倍角三角形"
（1） 中， 是 "三倍角三角形"吗？为什么？
（2） 若 是 "三倍角三角形"， 且 ， 求 中最小内角的度数.
【答案】（1）解：△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A=35°， ∠B =40°，
∴∠C=180°-35°-40°= 105°=35°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）解：∵∠B=60°，
∴∠A+∠C=120°，
设最小的角为x，
①当60°=3x时， x =20°，
②当x+3x=120°时， x =30°，
答： △ABC中最小内角为20°或30°.
【解析】【分析】(1)由三角形内角和可求第3个内角为105°，由“三倍角三角形”定义可求解；
(2)分两种情况讨论，由“三倍角三角形”定义可求解.
23．（2024八上·宁乡市期末）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
，
即．
（2）解：，
，
即．
，，
≌，
．
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和及等量代换可得；
（2）先利用“ASA”证出≌，再利用全等三角形的性质可得.
24．（2024八上·景县期末）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是 ．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠CAE+∠FAG＝90°
∴∠FAG＝∠AEC，
∵FG⊥AC，
∴∠FGA＝90°＝∠ACE，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
∴AG＝EC；
（2）证明：如图2，过点F作FD⊥AC于D，
∵AC＝4，AG＝3，
∴CG＝4﹣3＝1，
由（1）可知，△FAD≌△AEC，
∴CE＝AD，FG＝AC＝BC，
在△FDG 和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG＝GC＝1，
∴CE＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
∴CE＝EB，即E点为BC中点；
（3）
【解析】【解答】解：（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵，BC＝AC，CE＝CB+BE，
∴
由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD＝DG，AG＝CE，
∴
∴
∴
∴＝．
故答案为：．
【分析】（1）利用余角的性质可得∠FAG=∠CEA，根据AAS证明；
（2）过点F作，根据AAS证明，得到DG=GC，进而求出CE=EB即可；
（3）作，交AC的延长线于一点H，由（1）（2）可知，，，利用全等三角形的性质计算即可．
25．（2024八上·香洲期末）如图，在中，，垂足分别为D，E．
（1）求证：；
（2）若点F是AB的中点，连接CF，FD，并延长FD交BC于点G，如果，求的度数（用含的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比．
【答案】（1）证明：
，
在和中
（2）解：过点分别作于点，如图所示：
为的中点，，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
平分，
，
，
，
由（1）可知，
（3）解：由（2）可知
，
，
，，
，
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）过点分别作于点，先证出，再利用“AAS”证出，可得FN=FM，再利用角平分线的定义可得，再结合，求出即可；
（3）先求出，，再求出即可.
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