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1.1二次函数 课后巩固练习卷
一、选择题
1．（2023九上·惠阳月考）下列函数中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·宣城月考）下列关系式中，属于二次函数的是（是自变量）（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·墨玉月考） 无论a为何值时，下列y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y＝ax2 B．y＝（a+1）x2
C．y＝（a2+1）x2 D．y＝（a2-1）x2
4．（2021九上·厦门期中）若 是二次函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·慈溪期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：
x … 0 3 4 …
y … 2 -1 2 …
则方程ax2＋bx＋3＝0的根是（ ）
A．0或4 B．1或3 C．-1或1 D．无实根
6．（2019九上·杭州月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3
C．y=﹣x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
7．（2020·淮安模拟）若y=（m＋1） 是二次函数，则m=（ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
8．（2020九上·景县期末）下列函数中，是二次函数的有（ ）个
y=(x-3)2-1 y=1- x2 y= (x+2)(x-2) y=(x-1)2-x2
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2020九上·多伦期中）有长24m的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x m，面积是s m2，则s与x的关系式是（ ）
A．s=﹣3x2+24x B．s=﹣2x2﹣24x
C．s=﹣3x2﹣24x D．s=﹣2x2+24x
10．（2021九上·定州期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
二、填空题
11．（2024九上·瑞安期末）设二次函数（，，是常数，）．已知自变量和函数值的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 3 4 3 0 …
则一元二次方程的解为 ．
12．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 ．
二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项
y=-x2 ▲ ▲ ▲
y=3-2x2 ▲ ▲ ▲
y=x(x-1)+1 ▲ ▲ ▲
13．（2023九上·瓯海期中）如图，函数y＝-（x-h）2+k的图象，则其解析式为 ．
14．（2023九上·澧县月考）若是关于x的二次函数，则m的值为 ．
15．（2023九上·诸暨月考）如图，抛物线y＝ax2+1（a＜0）与过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线相交于点A、B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝ ．
16．（2023九上·休宁期中）已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线对称，且，顶点在函数的图象上，则这个二次函数的表达式为 ．
三、解答题
17．（2025九上·丽水期末）已知二次函数的图象经过点．
（1）求c的值；
（2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
18．已知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)中x，y的值满足下表：
x …… -1 0 1 2 ……
y …… 0 -1 m 9 ……
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）求m的值．
19．（2022九上·淮北月考）已知二次函数的图像经过，，求抛物线的解析式
20．（2024九上·曲靖期中）已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
21．根据下列条件求函数的表达式．
（1）已知变量x，y，t满足y=t2-2，x=3-t，求y关于x的函数表达式．
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，
当x=1时，y=4；当x=-2时，y=-2；当
x=-1时，y=2．求这个二次函数的表达式．
22．（2021九上·舒兰期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，A、B也关于抛物线对称轴对称，且CD＝AB，求抛物线的解析式．
23．已知二次函数y=-4(x-m)2+k的图象的顶点坐标为(2，3)．
（1）写出m，k的值．
（2）判断点(1，-1)是否在这个函数的图象上．
24．（2023九上·同心月考） 抛物线与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标．
25．（2023九上·江岸月考）抛物线、为常数上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出方程的解．
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1.1二次函数 课后巩固练习卷
一、选择题
1．（2023九上·惠阳月考）下列函数中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A： 是二次函数，故A正确；
B：当a=0时， 不是二次函数，故B错误；
C： 是一次函数，故C错误；
D：不是二次函数，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义判定即可，二次函数的一般式为.
2．（2023九上·宣城月考）下列关系式中，属于二次函数的是（是自变量）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、选项为二次函数，符合题意；
B、选项中被开方数含有自变量，不是二次函数，不符合题意；
C、选项中分母存在自变量，不是二次函数，不符合题意；
D、选项关系式，当a=0时，y=bx+c，不是二次函数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义判断即可。
3．（2023九上·墨玉月考） 无论a为何值时，下列y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y＝ax2 B．y＝（a+1）x2
C．y＝（a2+1）x2 D．y＝（a2-1）x2
【答案】C
【解析】【解答】解：A、当a=0时， y＝ax2 不是二次函数，该选项不符合题意；
B、当a=-1时， y＝（a + 1）x2 不是二次函数，该选项不符合题意；
C、由于a2+1 ≠ 0， y＝（a2+1）x2 是二次函数，该选项符合题意；
D、当时， y＝（a2-1）x2 不是二次函数，该选项不符合题意；
故答案为：C。
【分析】二次函数的一般形式是：y=ax2+bx+c，注意a ≠ 0。
4．（2021九上·厦门期中）若 是二次函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由 是二次函数，则有：
，解得： .
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的概念可得m-2≠0，求解可得m的范围.
5．（2019九上·慈溪期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：
x … 0 3 4 …
y … 2 -1 2 …
则方程ax2＋bx＋3＝0的根是（ ）
A．0或4 B．1或3 C．-1或1 D．无实根
【答案】B
【解析】【解答】由题意得：
解得：
∴方程 为
解得：
故答案为：B
【分析】将（0，2）（3，-1）（4，2）代入到二次函数y＝ax2＋bx＋c中，分别求出a、b的值，即可求出方程的解.
6．（2019九上·杭州月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3
C．y=﹣x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x＋1）2＋k，
将（ 3，0）、（0，3）代入，得：
，
解得：
，
则抛物线解析式为y＝ （x＋1）2＋4＝ x2 2x＋3，
故答案为：C.
【分析】由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），从而设出抛物线的顶点式，再将（-3，0）与（0，3）分别代入得出关于a，k的二元一次方程组，求解得出a，k的值从而得出抛物线的解析式.
7．（2020·淮安模拟）若y=（m＋1） 是二次函数，则m=（ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；
解得m=7或-1；m≠-1，
∴m=7，
故答案为：B．
【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
8．（2020九上·景县期末）下列函数中，是二次函数的有（ ）个
y=(x-3)2-1 y=1- x2 y= (x+2)(x-2) y=(x-1)2-x2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：y=（x-3）2-1是二次函数；
y=1-x2是二次函数；
y=是二次函数；
y=（x-1）2-x2不含有二次项，不是二次函数。
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质分别进行判断即可。
9．（2020九上·多伦期中）有长24m的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x m，面积是s m2，则s与x的关系式是（ ）
A．s=﹣3x2+24x B．s=﹣2x2﹣24x
C．s=﹣3x2﹣24x D．s=﹣2x2+24x
【答案】A
【解析】【解答】S=（24﹣3x）x=24x﹣3x2．故选：A．
【分析】AB为x m，则BC为（24﹣3x）m，利用长方体的面积公式，可求出关系式．
10．（2021九上·定州期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
【答案】C
【解析】【解答】设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为 ，每千克赚的钱为
则 .
故答案为：C.
【分析】设销售单价定为每千克x元，获得利润为y元，则可以根据成本，求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，可求出销量.从而得到总利润关系式.
二、填空题
11．（2024九上·瑞安期末）设二次函数（，，是常数，）．已知自变量和函数值的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 3 4 3 0 …
则一元二次方程的解为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由表格可得，将点代入，
得
解得：，
∴一元二次方程化为，
解得：，
故答案为：．
【分析】由表格可得抛物线经过点，故利用待定系数法求出函数解析式，则原一元二次方程可化为，再利用因式分解法求解．
12．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 ．
二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项
y=-x2 ▲ ▲ ▲
y=3-2x2 ▲ ▲ ▲
y=x(x-1)+1 ▲ ▲ ▲
【答案】
二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项
y=-x2 -1 0 0
y=3-2x2 -2 0 3
y=x(x-1)+1 1 -1 1
【解析】【分析】先将函数的解析式化简为一般式，再利用二次项系数、一次项系数和常数项的定义分析求解即可.
13．（2023九上·瓯海期中）如图，函数y＝-（x-h）2+k的图象，则其解析式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：抛物线的顶点坐标为，
函数的解析式为．
故答案为：．
【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式．
14．（2023九上·澧县月考）若是关于x的二次函数，则m的值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】∵是关于x的二次函数，
∴，
解得：m=2，
故答案为：2.
【分析】利用二次函数的定义可得，再求出m的值即可.
15．（2023九上·诸暨月考）如图，抛物线y＝ax2+1（a＜0）与过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线相交于点A、B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：因为y＝ax2+1，所以C（0，1）
由已知：D（0，-3），所以CD=4
因为∠ACB为直角，根据二次函数图象的对称性， ABC是等腰直角三角形
BD=CD=4，故B（4，-3）
代入解析式得：-3=16a+1
解得a=
故答案为：.
【分析】要求a的值，关键是求得函数上一点的坐标；由∠ACB为直角，可推出 ABC是等腰直角三角形，且BD=CD=4，从而的B(4，-3)，代入后可求得a的值.
16．（2023九上·休宁期中）已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线对称，且，顶点在函数的图象上，则这个二次函数的表达式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，
∴抛物线与x轴交于(-4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为-1，
∵抛物线顶点在函数y=2x的图象上，
当x=-1代入y=2x得y=-2，
∴抛物线顶点坐标为(-1，-2)，
设二次函数的解析式为y=a(x+1)2-2，
把(-4，0)代入得，
0=9a-2，
解得，a=，
∴这个二次函数的表达式为 .
故答案为：.
【分析】根据二次函数的对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，利用抛物线的对称性可求A、B两点的坐标，由顶点在函数y= 2x的图象上，求得顶点坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求得解析式即可.
三、解答题
17．（2025九上·丽水期末）已知二次函数的图象经过点．
（1）求c的值；
（2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
【解析】【分析】（1）将代入可得，求出c值即可；
（2）把x=-2代入求出y值判断即可．
（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
18．已知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)中x，y的值满足下表：
x …… -1 0 1 2 ……
y …… 0 -1 m 9 ……
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）求m的值．
【答案】（1）解：把x=-1，y=0；x=2，y=9分别代入函数表达式y=ax2+bx- 1，
得，
解得：
∴二次函数的表达式为y=2x2+x-1．
（2）解：当x=1时，m=2×12+1-1=2．
【解析】【分析】（1）利用表格中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将x=1代入解析式求出m的值即可.
19．（2022九上·淮北月考）已知二次函数的图像经过，，求抛物线的解析式
【答案】解：把（-1，0）、（3，0）代入中
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
【解析】【分析】直接将、坐标代入解析式中，求出b、c的值即可.
20．（2024九上·曲靖期中）已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？
【答案】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
故答案为：或.
（2）解：∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
故答案为：.
【解析】【分析】（1）利用二次函数的定义（我们把形如y=ax2+bx+c，且a≠0的解析式称为二次函数）可得：，再求解即可；
（2）利用二次函数的性质与系数的关系（①当二次函数的图象开口向上时，离对称轴越远的点的函数值越大；②当二次函数的图象开口向下时，离对称轴越远的点的函数值越小）可得，再求出m的值即可.
（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得：或．
（2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且，
∴在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∴，解得
∴．
21．根据下列条件求函数的表达式．
（1）已知变量x，y，t满足y=t2-2，x=3-t，求y关于x的函数表达式．
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，
当x=1时，y=4；当x=-2时，y=-2；当
x=-1时，y=2．求这个二次函数的表达式．
【答案】（1）解：∵x=3-t，
∴t=3-x，代入y=t2-2，
可得：y=(3-x)2-2，
∴y=x2-6x+7．
（2）解：根据题意，得，
解得：
∴这个二次函数的表达式为y=-x2+x+4．
【解析】【分析】（1）先求出t=3-x，再将其代入y=t2-2，可得y=(3-x)2-2，从而得解；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可.
22．（2021九上·舒兰期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，A、B也关于抛物线对称轴对称，且CD＝AB，求抛物线的解析式．
【答案】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
又A、B也关于抛物线对称轴对称，
∴h＝2，
∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，
∴CD＝AB＝2，
∴则点C的坐标为（1，2），（或点D的坐标为（3，2）），代入解析式，
∴2＝﹣+k，
解得，k＝．
∴ 所求抛物线解析式为
【解析】【分析】先求出 AB＝4， 再求出 k＝，最后求函数解析式即可。
23．已知二次函数y=-4(x-m)2+k的图象的顶点坐标为(2，3)．
（1）写出m，k的值．
（2）判断点(1，-1)是否在这个函数的图象上．
【答案】（1）解：∵二次函数y=-4(x-m)2+k的图象的顶点坐标为(2，3)，
∴m=2，k=3；
（2）解：由（1）得，函数解析式为：y=-4(x-2)2+3，
当x=1时，y=-4(1-2)2+3=-1，
所以点(1，-1)在这个函数的图象上.
【解析】【分析】（1）利用二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），利用已知可求出m，k的值.
（2）利用（1）可得到函数解析式，再将x=1代入函数解析式，求出y的值，再与-1比较大小，可作出判断.
24．（2023九上·同心月考） 抛物线与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标．
【答案】（1）解：把代入得，，
故抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
解得，或，
则抛物线与轴的交点是、，
，
抛物线的顶点是．
【解析】【分析】（1）将点（0，3）的坐标代入抛物线，求出m的值即可得到抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，求出其与x轴的交点和抛物线顶点坐标即可。
25．（2023九上·江岸月考）抛物线、为常数上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出方程的解．
【答案】（1）解：将，代入得，
解得，
．
（2）解：由表格可得抛物线对称轴为直线，且时，
由抛物线对称性可得时，，
方程的解为或．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（2）查表知：抛物线对称轴为直线，且时，进而可得到：当时，，进而得到方程的解.
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