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二次函数 单元全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·柳州开学考）二次函数中，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．一切实数
2．（2024九上·杭州月考）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·温州月考）已知 是二次函数 的图象上的三个点， 则 的大小关系为 ( )
A． B． C． D．
4．（2024九上·义乌月考）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为轴建立平面直角坐标系，图中点关于轴对称，其中点的坐标为，点的坐标为，若点到轴的距离小于它到轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B．
C． D．或
5．（2024九上·八步期末）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是（ ）
A．2，6 B． C． D．
6．（2024九上·红塔期末）已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024九上·朝天期末）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
… 0 1 3 …
… 6 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．当的值随值的增大而增大
C．这个函数的最小值等于
D．一元二次方程有一个实数根满足
8．（2024·杭州模拟）若m＜n＜0，且关于x的方程（a＜0）的解为，，关于x的方程（a＜0）的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·云浮模拟）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2024九上·长沙开学考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：
；；；其中正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·凯里期中） 抛物线的顶点坐标是 ．
12．（2024九上·绍兴月考）已知函数，当时，则y的取值范围为 ．
13．（2024九上·广水期末）已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论①；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论是 ．
14．（2024九上·昭阳期末）二次函数的顶点坐标是 ．
15．（2024九上·延边期末）若二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表所示，则当自变量时，函数y的值为 .
x 0 1
y 0 3 4 3
16．（2025九上·麻章期末）已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·浙江月考）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 12 14 16 18 20
销售量y/盒 56 52 48 44 40
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
18．（2024九上·杭州月考）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆，下部是一个矩形.已知矩形相邻两边之和为8米，半圆的半径为米；
（1）求隧道截面的面积关于半径的函数表达式，并写出的取值范围；（结果保留）
（2）若2米米，求隧道截面的面积的最大值.（取3）
19．（2024九上·温州月考） 如图， 已知拋物线 经过点 .
（1） 求 的值及此抛物线的顶点坐标.
（2） 试判断点 是否在此函数图象上.
20．（2024九上·克孜勒苏柯尔克孜期末）掷实心球是克州中考必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据克州体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.8m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
21．（2024九上·进贤期末）在九年级学生即将毕业之际.某商店购进了一批成本为4元/本的毕业纪念册.当每本纪念册售价为10元时，平均每周能售出40本，为了尽快扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，如果每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本.
（1）设售价降低了元，降价后每周可售出纪念册的本数是 （用含的代数式表示）；
（2）商家要想平均每周盈利300元，每本纪念册应该降价多少元？
（3）商家要想获得最大收益，每本纪念册应该降价多少元？最大收益是多少元？
22．（2024九上·钟山期末） 为抢抓大数据产业发展先机，紧跟电商发展新机遇、新模式、新业态，贵州省大力打造地方特色电商平台，通过“云”销售，助力“黔货出山”．贵州特产某品牌维C刺梨汁的进价为45元/箱，售价为60元/箱，某销售网店平均每周可售出100箱；而当销售价每降低1元时，平均每周多售出20箱．设每箱产品降价x元，每个周的销售利润为y元
（1）求y与x的关系式；
（2）当销售价为多少元时，每周获得的利润最大？并求出最大利润．
23．（2024九上·杭州期中）十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件60元的服装，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数.
（1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元
（2）设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少
24．（2024九上·拱墅月考）已知函数（b，c为常数）的图像经过点，．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．
25．（2024九上·东阳期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P到x轴的距离为8时，求m的值；
（3）当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的取值范围．
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二次函数 单元全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·柳州开学考）二次函数中，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．一切实数
【答案】C
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不能等于零即可解答.
2．（2024九上·杭州月考）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由图象开口向上可知：
由对称轴可知：
∴由抛物线与y轴的交点在x轴的下方可知： 由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
故结论错误的是B.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
3．（2024九上·温州月考）已知 是二次函数 的图象上的三个点， 则 的大小关系为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由二次函数 则它
的对称轴为直线 开口向下，
则图象上的点离对称轴越远则y的值越小，
故答案为： D.
【分析】根据二次函数图象性质对称轴为直线 开口向下，图象上的点离对称轴越远则y的值越小解题即可.
4．（2024九上·义乌月考）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为轴建立平面直角坐标系，图中点关于轴对称，其中点的坐标为，点的坐标为，若点到轴的距离小于它到轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【解析】【解答】解： ∵点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为(3n-4，m+1)， 点F的坐标为(
解得： n=-4或n=1； m=1.
当n=-4时， 3n-4=-16； 当n=1时，3n-4= -1.
当m=1时， m+1=2.
∵点E到x轴的距离小于它到y轴的距离， |2| < |-16|
∴n = -4.
∴二次函数解析式为：
∴二次函数 图象的顶点坐标是(2，-3).
故答案为：B.
【分析】根据点E，F关于y轴对称，可得两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程得到m和n的值，进而根据点E到x轴的距离小于它到y轴的距离可得n的具体值，代入二次函数，整理成顶点式可得二次函数的顶点坐标.
5．（2024九上·八步期末）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是（ ）
A．2，6 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋mx的对称轴是直线x＝2，
∴，
解得：m＝ 4，
∴关于x的方程x2＋mx＝12可化为x2 4x 12＝0，
∴（x＋2）（x 6）＝0，
解得：x1＝ 2，x2＝6．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的对称轴可得，求出m的值，可得方程x2 4x 12＝0，再求解即可.
6．（2024九上·红塔期末）已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】【解答】∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0，
∵二次函数的对称轴在y轴的右侧，
∴b>0，
∴点在第二象限，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a<0，b>0，再利用点坐标与象限的关系分析求解即可.
7．（2024九上·朝天期末）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
… 0 1 3 …
… 6 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．当的值随值的增大而增大
C．这个函数的最小值等于
D．一元二次方程有一个实数根满足
【答案】D
【解析】【解答】解：将，，代入，
得：，
解得，
，
由得这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
该函数图象的对称轴为直线，当的值随值的增大而增大，故B选项不符合题意；
，可得这个函数的最小值等于，故C选项不符合题意；
由时，时，可知有一个实数根满足，故D选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据待定系数法将，，代入求出解析式，根据二次函数系数与图象的关系逐一判断各个选项即可求解。
8．（2024·杭州模拟）若m＜n＜0，且关于x的方程（a＜0）的解为，，关于x的方程（a＜0）的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a<0）的解为，，
∴抛物线与直线y=m的两交点的横坐标分别为，，如图所示：
∵关于x的方程（a＜0）的解为 ，
∴抛物线与直线y=n的两交点的横坐标分别为，如图所示：
∴，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系画出函数图象，再求解即可.
9．（2025·云浮模拟）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
10．（2024九上·长沙开学考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：
；；；其中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：①由图象知抛物线开口向上，即a>0，对称轴为x=1，由得到b=-2a，因为a>0，所以b<0，从而ab<0，故结论①正确；
②图象显示抛物线与x轴有两个交点，意味着函数有实根，即，已知b=-2a，代入得(2a)2-4ac=4a2-4ac>0，简化后得a(a-c)>0，由于a>0，则a-c>0或c
③当x=1时，由对称轴性质知y=a+b+c，观察图象，在x=1处，函数值小于0，即y<0，说明a+b+c<0，故结论③正确；
④当x=-1时，函数值应大于0，即y=a-b+c>0，由于b=-2a，代入得a+2a+c>0，化简得3a+c>0，与题目中的结论④3a+c<0相反，故结论④错误，
综上，正确结论为①②③。
故答案为：C.
【分析】观察图象可知，二次函数对称轴为直线x=1，开口向上，与x轴有两个交点，一个交点在-1和0之间，与y轴交于负半轴，然后对每个结论进行验证即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·凯里期中） 抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：为抛物线顶式式，故其顶点坐标为
故答案为：.
【分析】直接由二次函数的顶点式判断其顶点即可.
12．（2024九上·绍兴月考）已知函数，当时，则y的取值范围为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：将函数变形为，
所以，函数图象开口方向向上，对称轴是x=3，顶点坐标为，
因此，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，
所以，时， 函数 取得最小值，最小值是，
时， 函数取得最大值，最大值是，
所以，当时，y的范围是，
故答案为：.
【分析】首先将函数解析式变形为顶点式，然后根据解析式判断开口方向、对称轴以及顶点坐标，再根据函数图象的形式，即可确定给定区间内的最大值与最小值.
13．（2024九上·广水期末）已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论①；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论是 ．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴；故①正确；
∵抛物线与轴没有交点，
∴；故②错误；
∵顶点坐标为，图象过，
∴，
两式相减，得：，
∴；故③正确；
∵当时值最小，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
14．（2024九上·昭阳期末）二次函数的顶点坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：把二次函数化为顶点式为：；
顶点坐标为：．
故答案为：．
【分析】一般式化为顶点式的一般步骤：提出二次项系数，配方，写成顶点式．据此求解。
15．（2024九上·延边期末）若二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表所示，则当自变量时，函数y的值为 .
x 0 1
y 0 3 4 3
【答案】0
【解析】【解答】解：由题意可得：
当x=0时，y取最大值为4，则二次函数图象对称轴为：x=0
∵x=2关于x=0的对称点为x=-2
∴当自变量时，函数y的值为 0
故答案为：0
【分析】当x=0时，y取最大值为4，则二次函数图象对称轴为：x=0，再根据二次函数的对称性即可求出答案.
16．（2025九上·麻章期末）已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，，
，
，
当时，有，解得，，
，
，
，
点是的中点，
为三角形的中位线，即有，
，当、、三点共线等号成立，即，
故的最小值为，
故答案为：．
【分析】求出、两点的坐标，连接，取的中点，连接，，利用勾股定理得到，可得长， 利用中位线定理得出的值，然后根据三角形三遍关系的应用得到的最小值即可．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·浙江月考）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 12 14 16 18 20
销售量y/盒 56 52 48 44 40
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【答案】（1）解：设．
．
解得：．
（2）解：设日销售利润为元．
．
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
（3）解：
．
最大利润为392元，
．
整理得：．
．
解得：．
当时，，
每盒糖果的利润（元），故舍去．
【解析】【分析】 (1)设y与x的函数表达式为：y=kx+b(k≠0)，把表格中的两组数值代入可得k和b的值，即可求出y与x的函数关系式；
(2)设日销售利润为w元，w=每盒糖果的利润×销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少；
(3)得到新的日销售利润的关系式，根据二次函数的性质，最大利润为392元，那么，求得相应的m的值后，取合适的解即可.
18．（2024九上·杭州月考）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆，下部是一个矩形.已知矩形相邻两边之和为8米，半圆的半径为米；
（1）求隧道截面的面积关于半径的函数表达式，并写出的取值范围；（结果保留）
（2）若2米米，求隧道截面的面积的最大值.（取3）
【答案】（1）∵半圆O的半径为rm，
∴AD=2rm，
∵矩形ABCD相邻两边之和为8m，
∴AB=8-2r(m)，
由r>0且8-2r>0，得0∴隧道截面的面积(0（2）∵2≤8-2r≤3
∴2.5≤r≤3
S= -2.5r2+16r
对称轴r= =3.2＞3，开口向下，当r=3时，有最大值
S=-2.5×9+16×9=25.5
【解析】【分析】(1)根据隧道截面的面积S=隧道截面上部半圆O的面积+矩形ABCD的面积写出函数解析式即可；
(2)根据二次函数的性质求最值即可.
19．（2024九上·温州月考） 如图， 已知拋物线 经过点 .
（1） 求 的值及此抛物线的顶点坐标.
（2） 试判断点 是否在此函数图象上.
【答案】（1）解： 抛物线 经过点 .
把 代入 ，
得 ，
则 ，
顶点坐标为
（2）解：将 代入得， ，
点 在函数图象上
【解析】【分析】（1）把 代入 ，求出函数解析式，再配方得到顶点式即可得到顶点坐标即可；
（2）把x=-1代入求出函数值，即可判断点是否在函数图象上.
20．（2024九上·克孜勒苏柯尔克孜期末）掷实心球是克州中考必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）根据克州体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.8m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，二次函数图象顶点为（3，3）．
设y与x的函数关系式为，
将代入，得：，
解得：，
故y与x的函数关系式为
（2）解：不能得满分，
令，得（舍去），，
故该女生在此项考试中不能得满分．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）将y=0代入可得，再求出x的值并分析判断即可.
21．（2024九上·进贤期末）在九年级学生即将毕业之际.某商店购进了一批成本为4元/本的毕业纪念册.当每本纪念册售价为10元时，平均每周能售出40本，为了尽快扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，如果每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本.
（1）设售价降低了元，降价后每周可售出纪念册的本数是 （用含的代数式表示）；
（2）商家要想平均每周盈利300元，每本纪念册应该降价多少元？
（3）商家要想获得最大收益，每本纪念册应该降价多少元？最大收益是多少元？
【答案】（1）
（2）解：设每本纪念册应降价元，商家平均每周盈利300元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，.
商店尽快扩大销售量，减少库存，
应舍去，，
答：每本纪念册应降价3元；
（3）解：设每本纪念册应降价元，商家获得收益最大为元，
根据题意，得.
所以，当时，商家获得收益最大，最大收益是320元.
【解析】【分析】（1）根据题意，每降价1元可以促进销售量在40的基础上增加20本，故可得每周销售本数为 ；
（2）将所求直接设为未知数，根据商家每周盈利=（每本售价-每本进价）每周销售量的数量关系列出等式，求解未知数是两个正值，根据题中“为了尽快扩大销售量，减少库存 ”的目的要求，舍去小的值；
（3）在前两问的基础上，整理出盈利W关于每本纪念册降价元的表达式，是一个一元二次函数，不出意料二次函数的二次项系数小于0，函数在时有最小值。
22．（2024九上·钟山期末） 为抢抓大数据产业发展先机，紧跟电商发展新机遇、新模式、新业态，贵州省大力打造地方特色电商平台，通过“云”销售，助力“黔货出山”．贵州特产某品牌维C刺梨汁的进价为45元/箱，售价为60元/箱，某销售网店平均每周可售出100箱；而当销售价每降低1元时，平均每周多售出20箱．设每箱产品降价x元，每个周的销售利润为y元
（1）求y与x的关系式；
（2）当销售价为多少元时，每周获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）解：
（2）解：由（1）得：
∵-20＜0
∴该函数有最大值
∴当每箱产品降价5元，有最大利润
∴当售价为55元时，每周的利润最大，且最大利润是2000元。
【解析】【分析】（1）设每箱产品降价x元， 根据利润=每箱产品的利润乘以总销量，代入数据即可累出y关于x的关系式；
（2）先将（1）中二次函数转化为顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
23．（2024九上·杭州期中）十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件60元的服装，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数.
（1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元
（2）设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少
【答案】（1）解：由题意得：(
整理得：
解为
答：销售单价定为70元或110元时，该商场获得的利润恰为500元；
（2）解：根据题意得：
∴当 时，最大为元，
∴利润W与销售单价x之间的关系式为当销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元.
【解析】【分析】(1)根据商场获得的利润=每件服装的利润×销售量列出方程，然后求出x的值；
(2)根据商场获得的利润=每件服装的利润×销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值.
24．（2024九上·拱墅月考）已知函数（b，c为常数）的图像经过点，．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．
【答案】（1）解：把，代入可得∶
，解得：；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为，∴抛物线的顶点坐标为，
∵
∴抛物线开口向上，
又∵，
∴当时，y有最小值为；时，y有最小值为3
∴y的最大值与最小值之差为．
（3）解：∵∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当时，即
∴当时，y有最小值为，y有最大值为
∵
∴；
①当时，即
∴当时，y有最小值为
当时，y有最大值为
∴，解得
∵与矛盾
∴不符合题意．
综上，．
【解析】【分析】（1）待定系数法把，代入，然后解二元一次方程组即可解答；
（2）先把解析式化成顶点式，再由求得函数的最大值和最小值，然后作差即可；
（3）由（2）得当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当时，当时，即可求解．
（1）解：把，代入可得∶
，解得：；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵
∴抛物线开口向上，
又∵，
∴当时，y有最小值为；时，y有最小值为3
∴y的最大值与最小值之差为．
（3）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当时，即
∴当时，y有最小值为，y有最大值为
∵
∴；
①当时，即
∴当时，y有最小值为
当时，y有最大值为
∴，解得
∵与矛盾
∴不符合题意．
综上，．
25．（2024九上·东阳期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P到x轴的距离为8时，求m的值；
（3）当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：点的横坐标为，点P是抛物线上的任意一点，
，
∵点P到x轴的距离为8，
∴或，
当时，整理得，
解得：或；
当时，整理得，
解得：或；
综上可得， 当点P到x轴的距离为8时， m的值为或或或；
（3）解：抛物线的解析式为，与轴交于点；
∴x=0，y=0+0+5=5，
，
图象的最大值与最小值的差为4，
①当点在点上方时，
，且，
，
解得或0（舍去），
，
②当点在点下方时，
此时点在点左侧，不满足题意，
点在点右侧，
，
解得或（舍去），
综上所述，的取值范围是或．
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）根据“点P到x轴的距离为8”可得或，分别解一元二次方程即可求解；
（3）根据图象的最大值与最小值的差为4，分情况讨论①当点在点上方时，②当点在点下方时，根据二次函数的最值以及二次函数的对称性即可求解．
（1）解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：点的横坐标为，
，
∴或，
当时，整理得，
解得或；
当时，整理得，
解得或；
综上，m的值为或或或；
（3）解：抛物线的解析式为，与轴交于点；
，
图象的最大值与最小值的差为4，
①当点在点上方时，
，且，
，
解得或0（舍去），
，
②当点在点下方时，
此时点在点左侧，不满足题意，
点在点右侧，
，
解得或（舍去），
综上所述，的取值范围是或．
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