八上第二单元特殊三角形培优专练（含解析）

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八上第一单元特殊三角形培优专练（含解析）
一、单选题
1．（2023八上·丰南期中）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（　　）
A． B． C． D．不能确定
2．（2024九上·光明开学考）如图，△ABC 中，AC＝DC＝3，BD 垂直∠BAC 的角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．6 B．4.5 C．3 D．2
3． 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点 F，AG 平分∠DAC.给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF.其中正确的结论是（　　）.
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
4．（2024八上·金华期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤
5．（2024八上·长沙期末）如图，已知，点是的平分线上的一上定点，点，分别在射线和射线上，且.下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；①当时，的周长最小；④当时，也平行于.其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024八上·吴兴月考）如图，已知，点，分别在边，上，且，连结，相交于点，连结，过点作，，垂足分别为，．给出下列结论：①；②；③平分；④若，则是的中点．其中所有正确的结论是（　　）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
7．（2024七下·温江期末）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为　 　．
8．（2024八上·青山期末）如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时，　 　°．
9．（2025八下·宁海期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M，N分别为射线BE，BC上的动点，若BD=8，则CM+MN的最小值为　 　.
10．（2024八上·江门期中）如图，为线段上一动点（不与点A，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的有　 　．
三、解答题
11．（2024八上·东阳期中）如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结．
（1）若的周长为，的周长为，求的长．
（2）若，，求的度数．
12．现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图，AB=5dm，BC=4dm，AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
13．（2024八下·自贡月考） 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间秒．
（1）出发2秒后，求周长；
（2）求当为何值时，为等腰三角形．
（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
14．（2024八上·榆树期末）若与均为等腰三角形，且，当与互补时，称与互为“顶补等腰三角形”，的边BC上的高AH叫做的“顶心距”
（1）如图①，与互为“顶补等腰三角形”，连结BD、CE，判断与是否互为“顶补等腰三角形”：　 　（填“是”或“否”）；
（2）如图①，与互为“顶补等腰三角形”，当时，若的“顶心距”是AH，求证：；
（3）如图②，当时，与互为“顶补等腰三角形”，连结BD、CE，若，，直接写出AB的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：过点Q作AD的延长线的垂线于点F，如图所示：
是等边三角形，
=，
，
=，
，
，
∵，
(AAS) ，
AE=CF，PE=QF，
同理可证 ，
DE=DF，
AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，
DE= ．
故答案为：B
【分析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F，先根据等边三角形的性质得到=，进而结合三角形全等的判定与性质证明 (AAS) 即可得到AE=CF，PE=QF，同理可证 ，进而得到AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，从而即可求解。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：延长BD交AC的延长线于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．
故答案为：B．
【分析】延长BD交AC的延长线于点H，先由直角三角形和等腰三角形的性质可得出D、C为中点，在由三角形的中线等分面积，即可推出两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：
①、∵∠BAC= 90°，
∴∠ABC+ ∠C= 90'，
∵AD BC，
∴∠BDA= 90°，
∴ ∠ABC+ ∠BAD= 90° ，
∴ ∠BAD= ∠C= 90"- ∠АBC，故①正确；
②、∵∠BAC= 90°，
∴∠ABE+∠AEF= 90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，
则∠AEB = 90°-∠ABC
即∠AEF= 90°-∠ABC
∵∠BDA = 90°，
∴∠EBC+ ∠BFD= 90°，
即∠ABC+∠BFD= 90°，
而∠AFE与∠BFD为对顶角，
∴∠AFE=∠BFD=90°-∠ABC
∴∠AEF=∠AFE=90°-∠ABC，故②正确.
③、令∠ABC= 66°，
则∠C= 90°-∠ABC= 90° - 66°= 24° ，
∵∠EBC=∠ABC=
则此时∠EBC≠∠C，故③错误.
④、由②项结论知∠AEF=∠AFE，故△AEF为等腰三角形，
∵AG平分∠DAC，即AG平分∠FAE，
由等腰三角形三线合一知AG⊥EF，故④正确.
综上所述，正确结论为①②④，共3个.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义和直角三角形锐角互余的性质计算可判断 ① ；根据直角三角形锐角互余的性和角平分线的定义以及对顶角的性质计算可判断 ② ；分别计算∠C，∠EBC即可判断③；由②项结论知∠AEF=∠AFE，得到△AEF为等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一性质即可判断④；逐一判断即可解答.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵和都是等腰三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴①②符合题意；
设与交于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴③符合题意；
分别过A作，垂足分别为M、N，如图所示：
∵，
∴，
∴平分，
∴，
若平分，
∴，
∴，而，
∴，
∴，与题干条件互相矛盾，
∴④不符合题意；
∵平分，，
∴，
∴⑤符合题意．
综上，正确的是①②③⑤，
故答案为：D．
【分析】先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得判断①②是否正确；先利用角的运算和等量代换可得，从而可判断③是否正确；再利用全等三角形的性质及角平分线的判定方法可判断④⑤是否正确.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图1所示，连接，作于，于，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值，②正确；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确；
如图2所示，当时，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误；
故答案为：C
【分析】连接，作于，于，先根据角平分线的性质得到，进而进行角的运算得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而个等边三角形的判定即可判断①；根据三角形全等的性质得到，进而结合定点即可判断②；从而结合题意得到的周长为，再根据垂线段最短即可判断③；根据平行线的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质结合题意即可判断④。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，
即平分，故③正确；
∵，
∴，
又，
，
的边的高和的边上的高相同，
，
，，
，即为的中点，故④正确；
即正确的个数有4个，
故答案为：D．
【分析】根据定理推出，根据全等三角形的对应角相等得出，然后推出，根据定理推出，即可判断 ① ；根据垂直的定义得出，结合四边形的内角和可推出，即可判断 ② ；根据全等三角形的性质得出，根据SSS定理得出，可得出，即可判断 ③ ；推出，根据三角形的面积公式推出，再推出即可判断 ④ ．
7．【答案】16
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连结，
，是高，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
∴AF=BD=10，S△ABF=S△BDE
，，
，
，
．
故答案为：16．
【分析】在BD上截取BF=DE，连结AF，由同角的余角相等得∠ABD=∠C，结合已知由等量代换得∠ABD=∠E，从而用SAS判断出△ABF≌△BED，由全等三角形的性质得，AF=BD=10，S△ABF=S△BDE，求出BF的长，即可利用三角形面积公式求的答案．
8．【答案】70
【解析】【解答】解：
如上图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A″，
连接A'A″与BC、CD的交点即为所求的点M'、N'，
则当△AMN的周长最小时，M、N分别位于M'、N'处，
∵， ，
∴，
∴，
根据轴对称的性质得，，
∴，
∴
当的周长最小时，．
故答案为：70.
【分析】作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A'A″与BC、CD的交点即为所求的点M'、N'，利用三角形的内角和定理列式求出∠A'+∠A″，再根据轴对称的性质计算即可.
9．【答案】4
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥BD，交D延长线于F，延长BA、CF交于G，如图，
∵BE平分∠DBC，
∴当时，
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∵BD平分∠ABC，
∴
在和中
∴
∴
∴CM+MN的最小值为4，
故答案为：4.
【分析】过点C作CF⊥BD，交D延长线于F，延长BA、CF交于G，则CM+MN的最小值转化为CF，证明，，进而即可得到
10．【答案】①②③④⑤
【解析】【解答】解：①，∵和都是等边三角形，
∴，，．
∴．
即．
在与中，
，
∴．
∴，．
①正确．
②，∵，
∴．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．②正确．
③，∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在与中，
，
∴．
∴，．
∴是等边三角形．③正确．
④∴．
∴．
∴．④正确．
⑤，在上截取，连接．
由②知，．
∴是等边三角形．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，角平分线性质，平行线的判定.根据和是等边三角形，利用等边三角形的性质可得：，，，利用角的运算可得：．，利用全等三角形的判定定理可证明出，利用全等三角形的性质可得：，． 据此可判断说法 ① ；利用角的运算可得 ，再根据是等边三角形，利用等边三角形的性质可得 ． 根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得，利用角的运算可得：，据此可判断说法②；利用角的运算可得． 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：∴，，利用全等三角形的判定定理可得：是等边三角形，据此可判断说法③；利用等边三角形的性质可得：知，进而可推出：，根据内错角相等，两直线平行，据此可推出 ，据此可判断说法④；在上截取，连接，由，利用等边三角形的判定定理可得：是等边三角形，利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用线段的运算可得：，据此可判断说法⑤．

11．【答案】（1）解：垂直平分，
，，
的周长为，的周长为，
，，
，
（2）解：∵，，，
，
，
，
，
，

【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）得到BA=BE和DA=DE，再结合 和 的周长关系，通过等量代换即可求出BA 的长度；
（2）先求出三角形内角和定理求出再根据等腰三角形的性质求出，进一步求得，最后利用三角形的外角性质即可求出的度数。
（1）解：垂直平分，
，，
的周长为，的周长为，
，，
，
．
（2）解：∵，，
，
，
，
，
，
，
．
12．【答案】解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；
（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝
②把ABEF展开，如图
此时的总路程为＝＝
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为＝
由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据长方体展开图特征，结合勾股定理分类讨论即可求出答案.
13．【答案】（1）解：，，，
根据勾股定理可得，
动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
出发2秒后，，则，
，
根据勾股定理可得，
周长为.
（2）解：①若在边上时，，
此时用的时间为，为等腰三角形，
②若在边上时，有三种情况：
若使，此时，运动的路程为，所以用的时间为，
故时为等腰三角形；
若， 过作斜边的高， 根据面积法求得高为，
根据勾股定理求得，
所以运动的路程为，
的时间为，为等腰三角形，
若时，则，
，
，
，
，
的路程为， 所以时间为时， 为等腰三角形，
或或或时为等腰三角形；
（3）解：由题意可得周长为，且24÷8=3，
∴ t≤3s，
即点P一定在AC上，
两点同时出发，均按的路径运动，速度为每秒，速度为每秒，
①当在上，在上时，直线把的周长分成相等的两部分，此时，t≤2.25s，
可得，解得；
②当在AC上，在上时，直线把的周长分成相等的两部分，此时，2.25s ≤t＜3s，
可得，解得（舍去），
综上，当是，直线把的周长分成相等的两部分.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，再根据题意可知CP，AP，根据勾股定理求得PB，即可求得△ABP的周长；
（2）①若在边上时，；
②若在边上时，有三种情况：若，此时；
若， 过作斜边的高，根据等面积法和勾股定理可得BP；
若时，根据等腰三角形的性质和等角的余角相等可得∠ACP=∠CAP，再根据等角对等边可得PA；
（3）先判断t的取值范围，即可判断出P在AC上，再分两种情况：①当在上，在上时；②
当在AC上，在上时；分别根据周长的一半建立关系，即可求得.
14．【答案】（1）是
（2）证明：作于点F，
∵，∴，
∵与互为“顶补等腰三角形”，
∴，∴，
∵，∴.
在和中，
∵，，，
∴，
∴，∴
（3）解：AB=13
【解析】【解答】解：（1）∵与互为“顶补等腰三角形”，
∴+=180°，
∴∠BAD+∠CAE=360°-180°=180°，
∵，
∴与是否互为“顶补等腰三角形” ；
故答案为：是；
（3）作AK⊥BD于点K，
根据（2）的结论，可得CE=2AK=24
∴AK=12，
∵AB=AD，
∴BK==5，
在直角三角形ABK中，根据勾股定理，可得：AB=
【分析】(1)根据“顶补等腰三角形”的定义，可得，∠BAD+∠CAE=360°-180°=180°，即可得出与是否互为“顶补等腰三角形” ；
（2）作于点F， 通过证明， 从而得出， 再根据等腰三角形的性质，可得DE=2DF，从而得出；
（3）由（2）的结论可得出AK=12，然后根据勾股定理，即可求得AB=13.
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