八上第一单元三角形培优专练（含解析）

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八上第一单元三角形培优专练（含解析）
一、单选题
1．（2024七下·桥西期中）三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（　　）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
2．（2024七下·深圳期末）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023八上·宜州期末）如图，在中，，垂足为点平分，交于点，交于点，点为的中点，连接，交于点，有以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
4．如图，、E是直线上不重合的两点，是的角平分线，于点A，若的周长为10，则的周长可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2024八上·长沙月考）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
6．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2024七下·吉州月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
8．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为　 　．
9．（2024八下·重庆市开学考）如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
10．（2024八上·义乌期中）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°.若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为　 　.
三、解答题
11．（2024八上·拱墅月考）如图1，于点于点B，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点．
（1）如图1，若，求AC，BQ，AB之间的数量关系；
（2）如图2，""改为"(为锐角)".若，，判断(1)中的数量关系是否会改变 并说明理由.
12．（2024八上·青原月考）如图，在中，与的平分线相交于点．
（1）若，则的度数是　 　；
（2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系；
（3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数．
13．（2024八下·开州开学考）定义： 在一个三角形中， 如果有一个角是另一个角的， 我们称这两个角互为 “和谐角”， 这个三角形叫做 “和谐三角形” .
例如： 在 中， 如果， 那么 与 互为 “和谐角”， 为 “和谐三角形”.
问题 1： 如图 1， 中，， 点 是线段 A BB 上一点（不与 A、B 重合），连接CD
（1）如图 1，△ABC 是“和谐三角形”吗？为什么？
（2）如图 1， 若， 则 是 “和谐三角形” 吗？ 为什么？
（3）问题 2：如图 2，△ABC 中，∠ACB＝60°，∠A＝80°，点 D 是线段 AB 上一点（不与 A、B 重合），连接 CD，若△ACD 是“和谐三角形”，求∠ACD 的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得
1、当第二长的边也是8时，则第三边长可以为：1、2、3、4、5、6、7、8，共8个；
2、当第二长的边是7时，则第三边长可以为：2、3、4、5、6、7，共6个；
3、当第二长的边时6时，则第三边长可以为：3、4、5、6，共4个；
4、当第二长的边是5时，则第三边长可以为：4、5，共2个；
综合以上，共有8+6+4+2=20个。
故选：D.
【分析】根据题意可知：分当第二长的边为8、7、6、5时四种情况，然后根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的长即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：在上，作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，，如图，则，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，同理，
∴，，，
∴，即：，在上时最小．
是的角平分线，
，
∵，
，则，
．
故选：C．
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，证得和，得到，，，根据，得到，在上时最小再由由是的角平分线，得到，结合“直角三角形两锐角互余”，求得，得到的度数，即可得到答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，
∴∠CAB＝∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴CE＝BE=BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，
∴∠C＋∠CAE＝90°，且∠C＋∠DBC＝90°，
∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△ADF≌△BDC（AAS），
∴AF＝BC＝2BE，故③正确；
∵点G为AB的中点，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，
∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°
∴∠AHG＝67.5°，
∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，
∴DH＝DF，故④正确，
连接BH，如图所示：
∵AG＝BG，DG⊥AB，
∴AH＝BH，
∴∠HAB＝∠HBA＝22.5°，
∴∠EHB＝45°，且AE⊥BC，
∴∠EHB＝∠EBH＝45°，
∴HE＝BE，故②正确；
由题意无法证明AH＝2DF，故①错误，
故答案为：C．
【分析】先利用角角平分线定义及角的运算，再利用“AAS”证出△ADF≌△BDC，再利用全等三角形的性质及角的运算和等量代换逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：当点E在点A右侧时，延长至点F，使得，连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长大于，
如图2.26所示，当点在点A左侧时，同理可证的周长大于，
符合要求的为11，
故答案为：D
【分析】延长延长至点F，使得，连接，证得，即得，再根据三角形的三边关系可得出BF＜BE+CF，即AB+AC＜BE+CF，进而得出，即的周长 ＞10，即可得出答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【分析】由全等三角形的判定证明得出，，①正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法（角平分线上的点到角的两边的距离相等）得出平分，④正确；
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
7．【答案】4或6
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
8．【答案】4
【解析】【解答】解：过C作交延长线于H，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
即，
∴，
则，
∵，
∴，∴，
∵，∴，则，解得．
故答案为：4．
【分析】过C作，得到，，结合已知可得，则和，进而求得，有，即可证明，得到，利用三角形面积公式即可求得．
9．【答案】
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EN⊥AB于点N，EN交AD于点M，连接BM，此时BM+NM=EN取得最小值，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=12，
∴AC=，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（AAS），
∴AE=AB=5，
∵EN⊥AB，∠ABC=90°，
∴EN//BC，
∴，即，
解得：EN=，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EN⊥AB于点N，EN交AD于点M，连接BM，此时BM+NM=EN取得最小值，先利用“AAS”证出△ABD≌△AED可得AE=AB=5，再利用平行线分线段成比例的性质可得，即，最后求出EN的长即可.
10．【答案】15°，120°，22.5°
【解析】【解答】解：当点P在点 B右侧时：
∵ ，而45° ，
∠ABC ，
①∠A= ，∠ABC= =45°，
由 得： ，
∴∠APB= ；
②∠APB= ，∠ABC= ＝45°，
同理得：∠APB= ；
③∠APB= ，∠A= ，
得： ，
解得： ，不合题意；
④∠APB= ，∠A= ，
同理，不合题意；
当点P在点 B左侧时：
⑤∠APB= ，∠A= ，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，
得： ，
解得： ，即∠APB= ；
⑥∠APB= ，∠A= ，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，
得： ，
解得： ，即∠APB= ；
综上，∠APB的所有可能的度数为 或 或 .
故答案为： 或 或 .
【分析】根据“准直角三角形”的定义，分当点P在点 B右侧时及当点P在点 B左侧时两类讨论即可解决问题.
11．【答案】（1）解：∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴.
，
又
即AC，BQ，AB之间的数量关系为
（2）解：不会改变
理由：
又，
，
即（1）中的数量关系不会改变
【解析】【分析】（1）根据已知条件，可以推断出，根据三角形内角和定理，可以确定出∠ACP，根据平角的定义，可以推断出∠BPQ，即可推断出∠ACP=∠BPQ，根据全等三角形的判定和性质，可以推断出 AC，BQ，AB之间的数量关系.
（2）根据（1）的推断，即可证明 AC，BQ，AB之间的数量关系 .
12．【答案】（1）；
（2）解：，之间的数量关系是，理由如下：
∵，，，
∴，
∵点是和的角平分线的交点，
∴，
∴，
∴，
∴，之间的数量关系是；
（3）解：∵平分，平分，，
∴，，
∴ ，
即，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴，
如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况：
①当时， 则，
∴，
此时，
②当时，则，
∴，则，
此时，
③当时，则，
∴，
此时，
④当时，则，
∴，
∴，
此时，
综上所述，的度数是或或或．
【解析】【解答】解：（1）在中，=180°-60°=120°，
∵与的平分线相交于点，
∴，，
∴ ，
∴
故答案为：；
【分析】（）先由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，再由角平分线定义得，，则，再由三角形内角和得；
（）∠Q，之间的数量关系是，理由如下：由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得∠Q，之间的数量关系；
（）先由角平分线的定义及平角定义求出，由直角三角形量锐角互余得，由（2）得结论得，然后分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可.
（1）在中，，
∵与的平分线相交于点，
∴，，
∴ ，
∴
∵，
∴，
故答案为：；
（2），之间的数量关系是，理由如下：
∵，，，
∴，
∵点是和的角平分线的交点，
∴，
∴，
∴，
∴，之间的数量关系是；
（3）∵平分，平分，，
∴，，
∴ ，
即，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴，
如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况：
当时， 则，
∴，
此时，
当时，则，
∴，则，
此时，
当时，则，
∴，
此时，
当时，则，
∴，
∴，
此时，
综上所述，的度数是或或或．
13．【答案】（1）解：是“和谐三角形”，理由如下：
，，
，
，
是“和谐三角形”；
（2）解：、是“和谐三角形”，理由如下：
，，
，
，
，
，．
在中，
，，
，
为和谐三角形”；
在中，
，，
，
为和谐三角形”；
（3）解：若是“和谐三角形”，由于点是线段上一点（不与、重合），
则或．
当时，；
当时，，即，
．
综上，的度数为或．
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；
（2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据垂直得到，从而进行角的运算即可求解；
（3）根据“和谐三角形”的定义可知则或，进而即可求解。
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