3.2图形的旋转
【知识点1】旋转的性质 1
【知识点2】旋转对称图形 1
【知识点3】利用旋转设计图案 2
【知识点4】坐标与图形变化-旋转 2
【知识点5】作图-旋转变换 2
【知识点6】生活中的旋转现象 2
【题型1】利用旋转的性质计算 3
【题型2】旋转中的规律性问题 4
【题型3】利用旋转的性质证明 6
【题型4】利用旋转的性质求最值 9
【题型5】判断生活中的旋转现象 10
【题型6】判断一个图形旋转后得到的图形 11
【题型7】旋转三要素及旋转中不变的辨析 13
【知识点1】旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
【知识点2】旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
【知识点3】利用旋转设计图案
由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
【知识点4】坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（-x，-y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【知识点5】作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
【知识点6】生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
【题型1】利用旋转的性质计算
【典型例题】如图，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点F．若，则线段的长为 ．
【举一反三3】如图，中，，，，以点A为旋转中心逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点．
(1)求出旋转角的度数；
(2)求的度数和的长．
【举一反三4】如图，已知中，，，将绕点A时针旋转到的位置，连接，求的长．
【题型2】旋转中的规律性问题
【典型例题】如图，矩形ABCD中AB是3 cm，BC是2 cm，一个边长为1 cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A.6 B. C. D.4
【举一反三2】依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ．
【举一反三5】如图，将图形(1)以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，则第2 019次旋转后的图形是 ．(在下列各图中选填正确图形的序号即可)
【举一反三6】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ．
【题型3】利用旋转的性质证明
【典型例题】如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为；③；④．其中正确的结论是（ ）
A.①②③ B.①②③④ C.①②④ D.①③
【举一反三1】如图，D为等边三角形ABC内部一点，连接，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②；③点D到的距离为3；④直线BD与直线相交所形成的锐角是，其中所有正确的结论有（ ）
A.3个 B.1个 C.2个 D.4个
【举一反三2】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，
（1）的形状为 ；
（2）、、三者之间存在着某种数量关系，请你用等式表示出来： ．
【举一反三3】[特例感知]
（1）如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点三点共线，延长交于点，连接．求证：；
[类比迁移]
（2）如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，当时，延长与交于点，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由；
[拓展提升]
（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与交于两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请直接写出的值；若不是，请说明理由．
【举一反三4】（一）猜测探究
在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________；
（2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长．
【题型4】利用旋转的性质求最值
【典型例题】如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点A在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（ ）
A.8 B.16 C. D.
【举一反三1】如图，中，，，，，，直线经过点，交边于点，分别过点A，作，，垂足分别为，，设线段，的长度分别为，．若直线从与重合位置开始顺时针绕着点旋转，至与压合时停止，在旋转过程中，的最大值为（ ）
A. B.1 C. D.
【举一反三2】已知等边的边长为12，点P是边 BC上的动点，将绕点A逆时针旋转60°得到，点D是AC边的中点，连接PQ、DQ，则DQ的最小值是 ．
【举一反三3】如图，在中，，，点在边上，，过点作于点，分别以，为邻边作平行四边形，连接，．
(1)求的大小；
(2)求证：；
(3)如图，将图中的绕点旋转，其余条件保持不变，连接求在旋转过程中，线段长的最大值．
【题型5】判断生活中的旋转现象
【典型例题】在以下几种生活现象中，不属于旋转的是( )
A.下雪时，雪花在天空中自由飘落
B.钟摆左右不停地摆动
C.时钟上秒针的转动
D.电风扇转动的扇叶
【举一反三1】下列运动属于数学上的旋转的是（ ）
A.乘坐升降电梯
B.地球绕太阳转动
C.钟表上的时针运动
D.将等腰三角形沿着底边上的高对折
【举一反三2】下列现象属于旋转的是（ ）
A.摩托车在急刹车时向前滑动
B.飞机起飞后冲向空中的时候
C.笔直的铁轨上飞驰而过的火车
D.幸运大转盘转动的过程
【举一反三3】下列事件中,属于旋转运动的是( )
A.小明向北走了4米
B.时针转动
C.电梯从1楼到12楼
D.一物体从高空坠下
【题型6】判断一个图形旋转后得到的图形
【典型例题】在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，下面四个选项中，哪个是由旋转得到的，旋转前后的图形组成的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转后的图形是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．下面四个选项中，能由如图所示的图形经过旋转得到的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】右图中的“笑脸”顺时针旋转270°后得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【题型7】旋转三要素及旋转中不变的辨析
【典型例题】以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．点的对应点是点_________；
线段的对应线段是线段_________，所以_________；
线段的对应线段是线段_________，所以_________；
的对应角是_________，所以_________；
的对应角是_________，所以_________；
旋转中心是点_________；
旋转的方向是_________；
旋转的角度是_________，写出一个等于此角度的角：_________；
的中点的对应点是_________的中点；
与的关系是_________．
【举一反三3】如图所示，△ABC的∠BAC=90°，AB=AC=5 cm．△ABC 按逆时针方向转动一个角度后成为△ACD，则图中 是旋转中心，旋转 度，点B与点 是对应点，点C与点 是对应点，∠ACD= ，AD= ．
【举一反三4】阅读理解，并完成任务：
小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下：
如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中A，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？
他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理：
①连接A、作线段的垂直平分线；
②连接，作线段的垂直平分线，与交于点.
则点为所求作的旋转中心.
推理过程如下：
∵是绕点旋转而成的,
∴（依据1）,
∴点在线段的垂直平分线上（依据2）,
同理可得，点在线段的垂直平分线上,
∴点为与的交点.
任务：
（1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？
“依据1”：______________________________________________________.
“依据2”：______________________________________________________.3.2图形的旋转
【知识点1】旋转的性质 1
【知识点2】旋转对称图形 1
【知识点3】利用旋转设计图案 2
【知识点4】坐标与图形变化-旋转 2
【知识点5】作图-旋转变换 2
【知识点6】生活中的旋转现象 2
【题型1】利用旋转的性质计算 3
【题型2】旋转中的规律性问题 7
【题型3】利用旋转的性质证明 13
【题型4】利用旋转的性质求最值 21
【题型5】判断生活中的旋转现象 26
【题型6】判断一个图形旋转后得到的图形 28
【题型7】旋转三要素及旋转中不变的辨析 30
【知识点1】旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
【知识点2】旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
【知识点3】利用旋转设计图案
由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
【知识点4】坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（-x，-y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【知识点5】作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
【知识点6】生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
【题型1】利用旋转的性质计算
【典型例题】如图，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【举一反三1】如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，，
∵AB=AC，，
∴，
∵O为的中点，
，，
，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
，，
∴△AOD是等边三角形，
，
，
，
，
∴D点在的垂直平分线上，
是等边三角形，
，
即旋转角为，
，
是等边三角形，
∴，
∴F点在的垂直平分线上，
垂直平分，
设垂足为H，
，
，，
，
．
故选：D．
【举一反三2】如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点F．若，则线段的长为 ．
【答案】
【解析】连接，
∵，，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】如图，中，，，，以点A为旋转中心逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点．
(1)求出旋转角的度数；
(2)求的度数和的长．
【答案】解：（1）由题意知，旋转角为，
∴旋转角的度数为．
（2）由旋转的性质可知，旋转中心为点A，，
∴，
由旋转的性质可得，，，
∵点恰好成为的中点，
∴2 cm，
∴．
【举一反三4】如图，已知中，，，将绕点A时针旋转到的位置，连接，求的长．
【答案】解：如图所示，连接，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，，
∵绕点A时针旋转到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【题型2】旋转中的规律性问题
【典型例题】如图，矩形ABCD中AB是3 cm，BC是2 cm，一个边长为1 cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3 cm和2 cm，小正方形的边长为1 cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下．
故选：C．
【举一反三1】如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A.6 B. C. D.4
【答案】B
【解析】如图，过点C作轴，垂足为D，如图所示：
把，代入得：，解得：，
∴，
把，代入得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点，
第一次旋转的坐标为，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为，第四次回到起点，
∴每4次一个循环，
∴，
∴第2024次变化后点的坐标为，
∴，故B正确．
故选：B．
【举一反三2】依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形，
∴第四个图形是D．
故答案为：D.
【举一反三3】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，
∵2021÷4＝505...1，
即第2021次与第1次的图案相同．
故选：A．
【举一反三4】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ．
【答案】（22017，-22017）
【解析】∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=504…1，
∴点B2017与B1同在一个象限内，
∵-4=-22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，-22017）．
故答案为（22017，-22017）．
【举一反三5】如图，将图形(1)以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，则第2 019次旋转后的图形是 ．(在下列各图中选填正确图形的序号即可)
【答案】(4)
【解析】观察图形，将图形（1）以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，
第1次旋转的得到的图形为：
第2次旋转的得到的图形为：
第3次旋转的得到的图形为：
第4次旋转的得到的图形为：
第5次旋转的得到的图形为：
······
由此可得，每4次一个循环，
∵2019=504×4+3，
所以第2019次旋转后的图形与（4）一样．
故答案为（4）．
【举一反三6】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标 ．
【答案】（22017，-22017）
【解析】∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=504…1，
∴点B2017与B1同在一个象限内，
∵-4=-22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，-22017）．
故答案为（22017，-22017）．
【题型3】利用旋转的性质证明
【典型例题】如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为；③；④．其中正确的结论是（ ）
A.①②③ B.①②③④ C.①②④ D.①③
【答案】A
【解析】∵是等边三角形，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，且，
∴，
∴结论①正确；
如图所示，连接，
根据结论①正确可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴结论②正确；
∴，
∵，
∴，且，，
∴，即是直角三角形，，
∴，
故结论③正确；
∵是等边三角形，，如图所示，作，
∴，，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
∴，
故结论④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．
【举一反三1】如图，D为等边三角形ABC内部一点，连接，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②；③点D到的距离为3；④直线BD与直线相交所形成的锐角是，其中所有正确的结论有（ ）
A.3个 B.1个 C.2个 D.4个
【答案】A
【解析】如图：连接，延长交与H，
∵线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴，
∴为等边三角形，
∵为等边三角形，
∴，
∴把逆时针旋转后，与重合，与重合，
∴可以由绕点A逆时针旋转得到，故①正确；
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴点D到的距离为3，故③正确；
∵，
∴，
∴，故④正确．
综上：①③④正确．
故选∶A．
【举一反三2】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，
（1）的形状为 ；
（2）、、三者之间存在着某种数量关系，请你用等式表示出来： ．
【答案】（1）直角三角形
（2）
【解析】在中，，
，
由旋转的性质得：，
，
的形状为直角三角形；
由旋转得：，，，
，，
，
又，，
，
，
，
由勾股定理得：，
即，
故答案为：直角三角形，．
【举一反三3】[特例感知]
（1）如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点三点共线，延长交于点，连接．求证：；
[类比迁移]
（2）如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，当时，延长与交于点，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由；
[拓展提升]
（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与交于两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请直接写出的值；若不是，请说明理由．
【答案】解：（1）根据旋转可知：，，
∴，
∴AC⊥CF，，
∴平分，
∴；
（2）；理由如下：
过点A作于点M，于点N，如图所示：
根据旋转可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴；
（3）的值为定值；；
过点A作于点G，如图所示：
根据旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴．
【举一反三4】（一）猜测探究
在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________；
（2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长．
【答案】解：（一）猜测探究：
（1）∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）不成立，应为，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
即；
（二）拓展应用：
在上取一点，使，
由题意得，，，
∴，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即线段的长为10．
【题型4】利用旋转的性质求最值
【典型例题】如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点A在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（ ）
A.8 B.16 C. D.
【答案】A
【解析】连接，，
∵，，，
∴，，，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，分别为，，的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴面积的最大值.
故选：A．
【举一反三1】如图，中，，，，，，直线经过点，交边于点，分别过点A，作，，垂足分别为，，设线段，的长度分别为，．若直线从与重合位置开始顺时针绕着点旋转，至与压合时停止，在旋转过程中，的最大值为（ ）
A. B.1 C. D.
【答案】A
【解析】过B作于G，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴当点G与B重合时，的值最大，即的最大值．
【举一反三2】已知等边的边长为12，点P是边 BC上的动点，将绕点A逆时针旋转60°得到，点D是AC边的中点，连接PQ、DQ，则DQ的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵等边的边长为12，
∴，
由旋转可得，
又∵
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
当时，的长最小，此时，，
∴，
∴．
∴的最小值是．
故答案为：．
【举一反三3】如图，在中，，，点在边上，，过点作于点，分别以，为邻边作平行四边形，连接，．
(1)求的大小；
(2)求证：；
(3)如图，将图中的绕点旋转，其余条件保持不变，连接求在旋转过程中，线段长的最大值．
【答案】解：（1）如图中，
，平行四边形，
平行四边形是矩形，
，
，
∵AB=AC，，
，
，
，
，
．
（2）如图中，
四边形是平行四边形，
，
∵AB=AC，
，
，
，
在和中，,
≌，
．
（3）如图中，延长交于．
∵由平行四边形的性质可得：，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
在和中，,
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
当的值最大时，的值最大，
，
，
，
，
的最大值为，
的最大值为．
【题型5】判断生活中的旋转现象
【典型例题】在以下几种生活现象中，不属于旋转的是( )
A.下雪时，雪花在天空中自由飘落
B.钟摆左右不停地摆动
C.时钟上秒针的转动
D.电风扇转动的扇叶
【答案】A
【解析】A是平移；B是旋转；C是旋转；D是旋转．故选A.
【举一反三1】下列运动属于数学上的旋转的是（ ）
A.乘坐升降电梯
B.地球绕太阳转动
C.钟表上的时针运动
D.将等腰三角形沿着底边上的高对折
【答案】C
【解析】、乘坐升降电梯属于平移，不符合题意；
、地球绕太阳转动不属于旋转，不符合题意；
、钟表上的时针运动属于旋转，符合题意；
、将等腰三角形沿着底边上的高对折属于轴对称，不符合题意；
故选：．
【举一反三2】下列现象属于旋转的是（ ）
A.摩托车在急刹车时向前滑动
B.飞机起飞后冲向空中的时候
C.笔直的铁轨上飞驰而过的火车
D.幸运大转盘转动的过程
【答案】D
【解析】A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；
B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误；
C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误；
D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确．
故选：D．
【举一反三3】下列事件中,属于旋转运动的是( )
A.小明向北走了4米
B.时针转动
C.电梯从1楼到12楼
D.一物体从高空坠下
【答案】B
【解析】A.小明向北走了4米，是平移运动；
B. 时针转动是旋转运动，
C. 电梯从1楼到12楼，是平移运动
D. 一物体从高空坠下，是平移运动
故选B.
【题型6】判断一个图形旋转后得到的图形
【典型例题】在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，不能旋转得到错误；
B、可以旋转得到，正确；
C、不能旋转得到，错误；
D、不能旋转得到，错误；
故选：B．
【举一反三1】如图，下面四个选项中，哪个是由旋转得到的，旋转前后的图形组成的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】A选项是由旋转得到的，B、C、D选项是由轴对称得到的，
故选：A．
【举一反三2】图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转后的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将它顺时针旋转后，只有B选项符合题意．
故选：B．
【举一反三3】2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．下面四个选项中，能由如图所示的图形经过旋转得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】能通过旋转得到的是C选项图案．
故选：C．
【举一反三4】右图中的“笑脸”顺时针旋转270°后得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据旋转的定义，
“笑脸”先顺时针旋转180°，得到：
再顺时针旋转90°，得到：
故选：C．
【题型7】旋转三要素及旋转中不变的辨析
【典型例题】以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A选项：最小旋转角度；
B选项：最小旋转角度；
C选项：最小旋转角度；
D选项：最小旋转角度；
综上可得：旋转的角度最小的是D．
故选：A．
【举一反三1】如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵将绕点顺时针旋转至，
∴旋转角为，．
故选：A．
【举一反三2】如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．点的对应点是点_________；
线段的对应线段是线段_________，所以_________；
线段的对应线段是线段_________，所以_________；
的对应角是_________，所以_________；
的对应角是_________，所以_________；
旋转中心是点_________；
旋转的方向是_________；
旋转的角度是_________，写出一个等于此角度的角：_________；
的中点的对应点是_________的中点；
与的关系是_________．
【答案】；；；；；；；；；；逆时针；；（或）；；全等
【解析】是由绕点按逆时针方向旋转得到的，点的对应点是点，
线段的对应线段是线段，所以；线段的对应线段是线段，所以；的对应角是，所以；的对应角是，所以；旋转中心是点；旋转的方向是逆时针；旋转的角度是，写出一个等于此角度的角：；的中点的对应点是的中点；与的关系是全等．
故答案为：，，，，，，，，，，逆时针， ，（或），，全等．
【举一反三3】如图所示，△ABC的∠BAC=90°，AB=AC=5 cm．△ABC 按逆时针方向转动一个角度后成为△ACD，则图中 是旋转中心，旋转 度，点B与点 是对应点，点C与点 是对应点，∠ACD= ，AD= ．
【答案】A；90；C；D；45°；5 cm
【解析】∵∠BAC=90°，AB=AC=5 cm，
∴∠B=45°，
∴△ABC按逆时针方向转动一个角度后成为△ACD，AB与AC重合，
∴点A为旋转中心，∠BAC等于旋转角，即旋转角等于90°，点B的对应点为点 C，点C的对应点为点D，∠ACD=∠B=45°，AD=AC=5 cm．
故答案为A，90，C，D，45°，5 cm．
【举一反三4】阅读理解，并完成任务：
小敏同学在近期作业中遇到一个作图问题，问题如下：
如图，已知绕某点逆时针转动一个角度得到，其中A，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心位置？
他经过认真思考设计了以下作法，并予以推理：
①连接A、作线段的垂直平分线；
②连接，作线段的垂直平分线，与交于点.
则点为所求作的旋转中心.
推理过程如下：
∵是绕点旋转而成的,
∴（依据1）,
∴点在线段的垂直平分线上（依据2）,
同理可得，点在线段的垂直平分线上,
∴点为与的交点.
任务：
（1）请你使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？
“依据1”：______________________________________________________.
“依据2”：______________________________________________________.
【答案】解：（1）如图所示：
（2）对应点到旋转中心的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
