3.3垂径定理
【知识点1】垂径定理的应用 1
【知识点2】垂径定理 1
【题型1】利用垂径定理求值 1
【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 7
【题型3】垂径定理的实际应用 13
【题型4】垂径定理的推论 16
【知识点1】垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【知识点2】垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1】利用垂径定理求值
【典型例题】如图，已知是的一条弦，，点M在上，且，若，则⊙O的半径为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.
【答案】B
【解析】过点于点，连接，
∵，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故选：B．
【举一反三1】如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【解析】过作交于，连接如图：
则，为中点，，
，
在中，
，
又长度为整数，
长可为，
故选∶C．
【举一反三2】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），则该圆材的直径为（ ）
A.寸 B.寸 C.寸 D.寸
【答案】C
【解析】设圆心为，过作于，交于，连接，如图所示，
∴，
设的半径为寸，
在中，，，
则有，
解得，
∴的直径为寸，
故选：．
【举一反三3】如图，的半径是，弦的长为，点在线段上运动，则的长有 个不同的整数．
【答案】
【解析】当时，的值最小，
则，
如图所示，连接，
在中，，，
则根据勾股定理知，
即，∵为正数，
则，即有3个不同的整数,
故答案为：3．
【举一反三4】如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，即，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴．
【举一反三5】如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，．
(1)求点E到x轴的距离．
(2)连结，求的长．
【答案】解：（1）过点作轴于点，如图，
当时，，解得，
，
，
，
在中，，
点到轴的距离为；
（2）连结，，如图，
当时，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
．
【题型2】利用垂径定理求平行弦问题
【典型例题】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5 cm，油面宽AB为6 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8 cm，则油面AB上升了（ ）cm.
A.1 B.3 C.3或4 D.1或7
【答案】D
【解析】分两种情况求①如图1，宽度为8 cm的油面，作与的交点为,
由题意知，，,
在中，由勾股定理得,
在中，由勾股定理得,
∴,
②如图2，宽度为8 cm的油面，作与的交点为，连接,
由题意知，，,
在中，由勾股定理得,
在中，由勾股定理得,
∴,
∴油面AB上升到CD，上升了1 cm，油面AB上升到EF，上升了7 cm；
故选D．
【举一反三1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ）
A.6或12 B.2或14 C.6或14 D.2或12
【答案】B
【解析】分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即此时AB与CD间的距离是2；
②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即此时AB与CD间的距离是14．
综上可知AB与CD间的距离是2或14．
故选B．
【举一反三2】如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（ ）
A. B. C.8 D.10
【答案】B
【解析】作于，延长交于，连接，，设，
∵、是两条平行弦，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径长是，
故选：B．
【举一反三3】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB =5，EF =4，那么AD = ．
【答案】
【解析】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
【举一反三4】已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 ．
【答案】1或5
【解析】两条平行弦在圆心的同侧时，则两条平行弦间的距离＝3﹣2＝1；
当两条平行弦在圆心的两侧时，则两条平行弦间的距离＝3+2＝5．
故答案为:1或5．
【举一反三5】如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为, ,若,求弦的长.
【答案】解：(1) 连接，根据垂径定理求出的长，
即：,
,
设，则，
由勾股定理得：
,
即：，
解得：,
;
(2)连接,过点D作于点M，如图所示：
，
在中根据勾股定理可得：
,
,
，
而,
,
又在和中，
,
,
,
,
,
,
,
为等腰直角三角形，
,
把代入到中，
解得：.
【题型3】垂径定理的实际应用
【典型例题】小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状．大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
A.2 B. C. D.3
【答案】B
【解析】如图，作的垂直平分线，交点O就是圆心，连接，则，，
∵，，
∴，
即这个镜面的半径是．
故选：B．
【举一反三1】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块
【答案】B
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径．
所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块．
故选：B．
【举一反三2】如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（ ）
A.20 B.12 C.10 D.8
【答案】C
【解析】连接，如图，
∵，
∴，
设圆的半径为x，则，
∴由勾股定理得，，
即，
解得：，
故选：C．
【举一反三3】苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20 cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为 cm．
【答案】
【解析】如图，
连接，作，的垂直平分线，交点为点，连接，，
，，，，
设，则，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
【举一反三4】如图，台风中心位于点，并沿东北方向移动，已知台风移动的速度为40千米时，受影响区域的半径为260千米，市位于点的北偏东方向上，距离点480千米．问：本次台风是否会影响市．若这次台风会影响市，求市受台风影响的时间．
【答案】解：如图，作BH⊥PQ于点H，
在中，由条件知，PB＝480，∠BPQ＝75°﹣45°＝30°，
∴BH==240＜260，
∴本次台风会影响B市．
如图，以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
根据BH=240，由条件得BP1=BP2=260，
∴P1P2==200，
∴台风影响的时间t==5（小时）．
故B市受台风影响的时间为5小时．
【题型4】垂径定理的推论
【典型例题】如图，已知，点是以线段为弦的圆弧的中点，，点，分别是线段，上的动点，设，，则能表示与的函数关系的图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】延长DC交AB于点H，
∵点是以线段为弦的圆弧的中点，
∴，且，
∴，
∴在和中，，，
∴，
∴，即，
整理，得，
∴可知与的函数为二次函数，其图像为抛物线，开口向下，且经过原点．
故选：A．
【举一反三1】如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，延长交于点T，设的半径为，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
【举一反三2】如图，的直径，是上一点，点平分，，则弦 ．
【答案】
【解析】∵点平分，
∴，
∴E是的中点，
又O是中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【举一反三3】如图，点是的弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径为 ．
【答案】5
【解析】如图，连接．
∵点是的弦的中点，且经过圆心，
∴，．
设的半径为r，则，，
在中，，
∴，
解得：．
故答案为：5．
【举一反三4】如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证：．
【答案】解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下：
如图，连接EO，并延长交CD于F．
∵ EO过点O，E为AB的中点，
．
（2），，
．
∵ EF过点O，
，
垂直平分CD，
．3.3垂径定理
【知识点1】垂径定理的应用 1
【知识点2】垂径定理 1
【题型1】利用垂径定理求值 1
【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 7
【题型3】垂径定理的实际应用 13
【题型4】垂径定理的推论 16
【知识点1】垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
【知识点2】垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1】利用垂径定理求值
【典型例题】如图，已知是的一条弦，，点M在上，且，若，则⊙O的半径为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.
【举一反三1】如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
【举一反三2】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），则该圆材的直径为（ ）
A.寸 B.寸 C.寸 D.寸
【举一反三3】如图，的半径是，弦的长为，点在线段上运动，则的长有 个不同的整数．
【举一反三4】如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．
【举一反三5】如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，．
(1)求点E到x轴的距离．
(2)连结，求的长．
【题型2】利用垂径定理求平行弦问题
【典型例题】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5 cm，油面宽AB为6 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8 cm，则油面AB上升了（ ）cm.
A.1 B.3 C.3或4 D.1或7
【举一反三1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ）
A.6或12 B.2或14 C.6或14 D.2或12
【举一反三2】如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（ ）
A. B. C.8 D.10
【举一反三3】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB =5，EF =4，那么AD = ．
【举一反三4】已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 ．
【举一反三5】如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为, ,若,求弦的长.
【题型3】垂径定理的实际应用
【典型例题】小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状．大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
A.2 B. C. D.3
【举一反三1】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块
【举一反三2】如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（ ）
A.20 B.12 C.10 D.8
【举一反三3】苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20 cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为 cm．
【举一反三4】如图，台风中心位于点，并沿东北方向移动，已知台风移动的速度为40千米时，受影响区域的半径为260千米，市位于点的北偏东方向上，距离点480千米．问：本次台风是否会影响市．若这次台风会影响市，求市受台风影响的时间．
【题型4】垂径定理的推论
【典型例题】如图，已知，点是以线段为弦的圆弧的中点，，点，分别是线段，上的动点，设，，则能表示与的函数关系的图像是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，的直径，是上一点，点平分，，则弦 ．
【举一反三3】如图，点是的弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径为 ．
【举一反三4】如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．
（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；
（2）求证：．
