3.4圆心角
【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 1
【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 1
【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 5
【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 8
【知识点1】圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算
【典型例题】下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
B、是圆心角，故选项符合题意；
C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】图中是圆心角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A为圆周角，不符合题意；
B是圆心角，符合题意；
C不是圆心角，不符合题意；
D不是圆心角，不符合题意；
故选：B.
【举一反三2】下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C、是圆心角，故本选项符合题意；
D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：C．
【举一反三3】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角）
【答案】
【解析】连接，如图所示：
点P在小量角器对应的刻度为，
，
，
，
，
点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）．
故答案为：．
【举一反三4】如图，是的弦，，则 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，又，
∴，
故答案为：．
【举一反三5】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？
【答案】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，
由图可得：，，
∴，
故，
即所对的圆心角为．
【举一反三6】如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】解：（1）；
∵，，，
∴.
（2）∵，，，，
∴，
∴.
【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明
【典型例题】如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是 ( )
A.== B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，
∵CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线,
∴DF=CE=AB，AD=OD，OF=BF，
∴DF=DF=BF，
则==.
故选A.
【举一反三1】如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在⊙O中，
∵，
∴，，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC，
∴，
∴，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴，
∴OE=OF，
故B选项正确，不符合题意．
故选D.
【举一反三2】如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】过点作交于点，连接．
，，
，
又，
，
在中，，
，
，
，
即，
故答案为：．
【举一反三3】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．则上面结论中正确的有 ．
【答案】①②③④
【解析】∵∠1=∠2，
∴，故①正确；
∵∠1=∠2，
∴，即，
∴，，故②③正确；
由上证得，故④正确．
故答案为：①②③④.
【举一反三4】如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接作直线求证：．
【答案】解：（1）∵，
∴,
∴，
即．
∴．
（2）连接
∵
∴,
∴
∴,
∵,
∴E、O都在的垂直平分线上．
∴
【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算
【典型例题】如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【举一反三1】如图，A点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A.1 B. C.2 D.无法计算
【答案】B
【解析】如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，
则，；
∵A点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，
∴，，
∴；
∵，
∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长；
在中，，
由勾股定理得：，
即的最小值为；
故选：B．
【举一反三2】如图，是的两条直径，点A是劣弧的中点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，如图所示：
，
，
点A是劣弧的中点，
，则，
，
，
故选：C．
【举一反三3】如图，为的直径，点D是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，则的半径长为 .
【答案】
【解析】如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=DF=6，设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x=，
故答案为：．
【举一反三4】如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10.求△ABC的外接圆的半径r.
【答案】解：连接AO交BC于D,连接OB、OC,
∵ AB=AC,
∴弧 AB=弧AC (同圆或等圆中,等弦对等弧),
∴ ∠BOA=∠AOC (同圆或等圆中,等弧所对的圆心角相等),
∵ OB=OC ∠BOA=∠AOC,
∴ OA⊥BC(三线合一),
BD=DC=×BC=×10=5 (三线合一),
∴ AD= ==(直角三角形勾股定理求值),
设CO=R 则DO=AO AD=R ,
∵ △CDO是直角三角形,
∴+=(直角三角形勾股定理),
∵ DO=R ,CO=R,DC=5,
∴+=,
解得R=
所以△ABC的外接圆的半径R为3.4圆心角
【知识点1】圆心角、弧、弦的关系 1
【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算 1
【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明 3
【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算 4
【知识点1】圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
【题型1】圆心角的概念辨析及简单计算
【典型例题】下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】图中是圆心角的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角）
【举一反三4】如图，是的弦，，则 ．
【举一反三5】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？
【举一反三6】如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【题型2】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系证明
【典型例题】如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是 ( )
A.== B. C. D.
【举一反三1】如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”）
【举一反三3】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．则上面结论中正确的有 ．
【举一反三4】如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)连接作直线求证：．
【题型3】利用圆心角定理及圆心角、弧、弦的关系计算
【典型例题】如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，A点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A.1 B. C.2 D.无法计算
【举一反三2】如图，是的两条直径，点A是劣弧的中点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，为的直径，点D是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，则的半径长为 .
【举一反三4】如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10.求△ABC的外接圆的半径r.
