3.5圆周角
【知识点1】相交弦定理 1
【知识点2】圆周角定理 1
【知识点3】圆内接四边形的性质 2
【题型1】圆周角定理推论2 2
【题型2】圆周角的概念辨析 7
【题型3】圆周角定理推论1 9
【题型4】圆周角定理 13
【知识点1】相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA PB=PC PD（相交弦定理）
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA PB（相交弦定理推论）．
【知识点2】圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
【知识点3】圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
【题型1】圆周角定理推论2
【典型例题】如图，内接于，是的直径，是圆上一点，连接，，．若平分，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【举一反三1】如图，点均在上，且是直径，点为优弧的中点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，连接，
∵是直径，，
∴，，
∵，
∴，
∵点为优弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【举一反三2】如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，若，平分，则的度数为 ．
【答案】
【解析】和都是所对的圆周角，
，
平分，
，
是的直径，
，
．
【举一反三3】如图，是的直径，点、、是上的点，连接、交于点且，则 ．
【答案】
【解析】如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】我们已经学习过圆周角及圆周角定理，我们知道：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图1，A，B，C，D是⊙O上的点，连接，，，，则．
(1)如图2，当点在内部时，探究与的大小关系，并说明理由．
(2)如图3，当点在外部时， ______．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】解：（1）．理由如下：
延长交于E，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴.
（2）连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【举一反三5】如图，是的直径，是的弦，，垂足为，为上一点，且，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】解：（1）是的直径，，
，
又，
，
，
．
（2）连接，
，
，
又，，
，
，，
，
由（1）可知，
∴；
设，
，
在中，
，
解得：，
，
．
【题型2】圆周角的概念辨析
【典型例题】下列四个图形的角是圆周角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意；
B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
故选：A．
【举一反三1】如图，图中共有圆周角（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C
【解析】图中的圆周角有：∠FAE，∠AEF，∠AFE，∠AED，∠FED共5个，
故选C.
【举一反三2】如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角．
【答案】8
【解析】以点为顶点的圆周角各有3个，以点为顶点的圆周角各有1个，共有8个圆周角．
故答案为8．
【举一反三3】观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
【答案】解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；
(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；
(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．
(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；
(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.
【举一反三4】判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
【答案】解：图（3）顶点在圆上，并且两边都与圆相交，是圆周角．图（1）（2）的顶点没有在圆上，图（4）（5）中角的两边没有都与圆相交，都不是圆周角．
【题型3】圆周角定理推论1
【典型例题】如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点，过点作线垂直于点，若，，则的长度是（ ）
A. B.4 C. D.3
【答案】C
【解析】如图，连接，
是直径，
，
，
为的中线，
，
，，
，
故选：C．
【举一反三1】如图，是的直径，弦，连接，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
设交与点E，
∴，
∴，
∵,
∴．
故选：A．
【举一反三2】如图，在中，半径为4，将三角板的60°、90°角顶点A，B放在圆上，AC，BC两边分别与交于D，E两点，，则△ABC的面积为 ．
【答案】
【解析】连结AE，
∵∠CBA=90°，
∴AE为的直径，
∴AE=8，
∵BE=DE，
∴，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠DAE=30°，
∴BE=DE=，AB=，
∵AE为直径，
∴∠EDA=90°，
∵∠A=180°-∠ABC-∠BAC=180°-90°-60°=30°，
∴EC=2ED=8，
∴BC=BE+CE=12，
∴S△ABC=．
故答案为．
【举一反三3】如图，已知，利用尺规作图作，使得A、、三点都在上，且．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示，
在上取一点A，连接并延长交于点，则线段为直径；
在上取异于点的点，连接，则；
以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点；
以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接并延长交于，则是的平分线，
∴，
∴是所求图形．
【举一反三4】已知：如图，在三角形中，，以腰为直径作半圆O，分别交、于点D、E，求证：．
【答案】解：连接，如图：
为直径，
，
，
，
是的中线，
．
【题型4】圆周角定理
【典型例题】如图，的直径与弦交于点 C，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，，
，，
，，
，
，
，
，
．
故选：B．
【举一反三1】如图，圆内接于，连接，，，．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
【举一反三2】如图，、是的弦，、是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连结．若，则的度数可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
,
,
,
点为上任意一点（点不与点重合），
,
,
,
的度数可能是．
故选：C．
【举一反三3】如图，是的内接三角形，，则 ．
【答案】35
【解析】∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：35．
【举一反三4】如图1，，，都是的半径，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作半径，垂足为，连接，若，，求的长．
【答案】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴．
（2），
∴．
．
由（1）得，，
．
，，
，．
在中，由勾股定理得．
．
在中，．
．3.5圆周角
【知识点1】相交弦定理 1
【知识点2】圆周角定理 1
【知识点3】圆内接四边形的性质 2
【题型1】圆周角定理推论2 2
【题型2】圆周角的概念辨析 4
【题型3】圆周角定理推论1 5
【题型4】圆周角定理 6
【知识点1】相交弦定理
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA PB=PC PD（相交弦定理）
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA PB（相交弦定理推论）．
【知识点2】圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
【知识点3】圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
【题型1】圆周角定理推论2
【典型例题】如图，内接于，是的直径，是圆上一点，连接，，．若平分，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点均在上，且是直径，点为优弧的中点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，若，平分，则的度数为 ．
【举一反三3】如图，是的直径，点、、是上的点，连接、交于点且，则 ．
【举一反三4】我们已经学习过圆周角及圆周角定理，我们知道：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图1，A，B，C，D是⊙O上的点，连接，，，，则．
(1)如图2，当点在内部时，探究与的大小关系，并说明理由．
(2)如图3，当点在外部时， ______．（填“>”、“=”或“<”）
【举一反三5】如图，是的直径，是的弦，，垂足为，为上一点，且，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【题型2】圆周角的概念辨析
【典型例题】下列四个图形的角是圆周角的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，图中共有圆周角（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三2】如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角．
【举一反三3】观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
【举一反三4】判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
【题型3】圆周角定理推论1
【典型例题】如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点，过点作线垂直于点，若，，则的长度是（ ）
A. B.4 C. D.3
【举一反三1】如图，是的直径，弦，连接，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，半径为4，将三角板的60°、90°角顶点A，B放在圆上，AC，BC两边分别与交于D，E两点，，则△ABC的面积为 ．
【举一反三3】如图，已知，利用尺规作图作，使得A、、三点都在上，且．（不写作法，保留作图痕迹）
【举一反三4】已知：如图，在三角形中，，以腰为直径作半圆O，分别交、于点D、E，求证：．
【题型4】圆周角定理
【典型例题】如图，的直径与弦交于点 C，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，圆内接于，连接，，，．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，、是的弦，、是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连结．若，则的度数可能为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，是的内接三角形，，则 ．
【举一反三4】如图1，，，都是的半径，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作半径，垂足为，连接，若，，求的长．
