3.6圆内接四边形
【知识点1】圆内接四边形的性质 1
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 1
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 3
【知识点1】圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算
【典型例题】如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，四边形是的内接四边形，连接．若，则为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点在上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】五边形为圆的内接五边形，其中，则 ．
【举一反三4】如图，为的直径，点E是延长线上的一点，交于点D、C，，，则的度数为 ．
【举一反三5】在的内接四边形中，，，若点在上，连接、、，求的度数．
【举一反三6】如图，过原点O，且与坐标轴分别交于A、B．点A坐标为，M为第三象限弧OB上一点，，求的半径．
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明
【典型例题】如图，四边形内接于，点E、F分别在AB和DC的延长线上，且，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，四边形内接于，连接，且平分，则错误的结论是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知：点在上，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的代号是 ．
【举一反三3】如图，是上的四点，，过点作交的延长线于点，其中正确的结论是 （填序号）．
①；②是等边三角形；③：④是等边三角形．
【举一反三4】求证：圆内接平行四边形是矩形．
【举一反三5】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，且BD＝DE，过点B作BP∥DE，交⊙O于点P，连结OP．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠A＝30°，求∠BOP的度数．3.6圆内接四边形
【知识点1】圆内接四边形的性质 1
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 1
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 6
【知识点1】圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算
【典型例题】如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，在中，，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，，
则
，
故选：C．
【举一反三1】如图，四边形是的内接四边形，连接．若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是的内接四边形，
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
故选：A.
【举一反三2】如图，点在上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
的度数为，
故选：C.
【举一反三3】五边形为圆的内接五边形，其中，则 ．
【答案】
【解析】如图所示，连接，
∵，即是等腰三角形，
∴，，
∴，
∵点在圆上，
∴四边形是内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，为的直径，点E是延长线上的一点，交于点D、C，，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
连接,
∵是的直径,
∴,
设,
∵,
∴,
∵四边形内接于,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴，
故答案为：.
【举一反三5】在的内接四边形中，，，若点在上，连接、、，求的度数．
【答案】解：∵四边形为的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴．
【举一反三6】如图，过原点O，且与坐标轴分别交于A、B．点A坐标为，M为第三象限弧OB上一点，，求的半径．
【答案】解：∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形，
∴∠BMO+∠A=180°，
又∠BMO=120°，
∴∠A=60°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=6，
则⊙C的半径为3.
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明
【典型例题】如图，四边形内接于，点E、F分别在AB和DC的延长线上，且，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵四边形内接于．
∴，
∴，故B选项正确；
∵与不确定平行，
∴无法求出的度数，故A，C不正确；
∵与不确定平行，
∴无法求出，故D选项不正确；
故选：B．
【举一反三1】如图，四边形内接于，连接，且平分，则错误的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、 无法证明，故选项A错误，符合题意；
B、∵平分，∴，∴，故选项B正确，不符合题意；
C、∵四边形内接于，∴，故选项C正确，不符合题意；
D、∵平分，∴，∴，∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：A.
【举一反三2】如图，已知：点在上，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的代号是 ．
【答案】①②③④
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵圆周角和圆心角都对着，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵圆周角和都对着，
∴，故④正确；
延长交于M，连接，
∵D、C、A、M四点共圆，
∴，
∵，
∴，故⑤错误；
故答案为：①②③④．
【举一反三3】如图，是上的四点，，过点作交的延长线于点，其中正确的结论是 （填序号）．
①；②是等边三角形；③：④是等边三角形．
【答案】
【解析】∵是上的四点，
∴，
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，故正确；
∵四边形是的内接四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，故正确；
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，故正确；
∴正确的结论是，
故答案为：．
【举一反三4】求证：圆内接平行四边形是矩形．
【答案】解：如图，由题意得：是的内接四边形，
是矩形.
【举一反三5】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，且BD＝DE，过点B作BP∥DE，交⊙O于点P，连结OP．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠A＝30°，求∠BOP的度数．
【答案】解：（1）连接AD，
∵BD＝DE，
∴
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠CDA，
在△ADB和△ADC中,
∴△ADB≌△ADC（ASA），
∵AB＝AC；
（2）∵∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，
∵四边形ABDE为圆O的内接四边形，
∴∠EDC＝∠BAC＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠OBP＝∠ABC﹣∠PBC＝45°，
∵OB＝OP，
∴△OBP为等腰直角三角形，
∴∠BOP＝90°
