3.6圆内接四边形
【知识点1】圆内接四边形的性质 1
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 1
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 3
【知识点1】圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的性质:
①圆内接四边形的对角互补.
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).
(2)圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算
【典型例题】如图,点A、B、C在上,P为上任意一点,,则等于( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图,四边形是的内接四边形,连接.若,则为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图,点在上,且,则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】五边形为圆的内接五边形,其中,则 .
【举一反三4】如图,为的直径,点E是延长线上的一点,交于点D、C,,,则的度数为 .
【举一反三5】在的内接四边形中,,,若点在上,连接、、,求的度数.
【举一反三6】如图,过原点O,且与坐标轴分别交于A、B.点A坐标为,M为第三象限弧OB上一点,,求的半径.
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明
【典型例题】如图,四边形内接于,点E、F分别在AB和DC的延长线上,且,若,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图,四边形内接于,连接,且平分,则错误的结论是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图,已知:点在上,,下列结论:①;②;③;④;⑤;其中正确命题的代号是 .
【举一反三3】如图,是上的四点,,过点作交的延长线于点,其中正确的结论是 (填序号).
①;②是等边三角形;③:④是等边三角形.
【举一反三4】求证:圆内接平行四边形是矩形.
【举一反三5】如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,连结DE,且BD=DE,过点B作BP∥DE,交⊙O于点P,连结OP.
(1)求证:AB=AC;
(2)若∠A=30°,求∠BOP的度数.3.6圆内接四边形
【知识点1】圆内接四边形的性质 1
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 1
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 6
【知识点1】圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的性质:
①圆内接四边形的对角互补.
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).
(2)圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此性质时,要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算
【典型例题】如图,点A、B、C在上,P为上任意一点,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中,,在中,,
∵四边形为圆的内接四边形,
∴,,
则
,
故选:C.
【举一反三1】如图,四边形是的内接四边形,连接.若,则为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是的内接四边形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
故选:A.
【举一反三2】如图,点在上,且,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,连接,
四边形为的内接四边形,
,
,
,
的度数为,
故选:C.
【举一反三3】五边形为圆的内接五边形,其中,则 .
【答案】
【解析】如图所示,连接,
∵,即是等腰三角形,
∴,,
∴,
∵点在圆上,
∴四边形是内接四边形,
∴,
∴,
故答案为:.
【举一反三4】如图,为的直径,点E是延长线上的一点,交于点D、C,,,则的度数为 .
【答案】
【解析】如图所示:
连接,
∵是的直径,
∴,
设,
∵,
∴,
∵四边形内接于,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
【举一反三5】在的内接四边形中,,,若点在上,连接、、,求的度数.
【答案】解:∵四边形为的内接四边形,
∴,
又∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵四边形为的内接四边形,
∴,
∴.
【举一反三6】如图,过原点O,且与坐标轴分别交于A、B.点A坐标为,M为第三象限弧OB上一点,,求的半径.
【答案】解:∵点A的坐标为(0,3),
∴OA=3,
∵四边形ABMO是圆内接四边形,
∴∠BMO+∠A=180°,
又∠BMO=120°,
∴∠A=60°,
∴∠ABO=30°,
∴AB=2OA=6,
则⊙C的半径为3.
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明
【典型例题】如图,四边形内接于,点E、F分别在AB和DC的延长线上,且,若,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,
∴,
∵四边形内接于.
∴,
∴,故B选项正确;
∵与不确定平行,
∴无法求出的度数,故A,C不正确;
∵与不确定平行,
∴无法求出,故D选项不正确;
故选:B.
【举一反三1】如图,四边形内接于,连接,且平分,则错误的结论是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、 无法证明,故选项A错误,符合题意;
B、∵平分,∴,∴,故选项B正确,不符合题意;
C、∵四边形内接于,∴,故选项C正确,不符合题意;
D、∵平分,∴,∴,∴,故选项D正确,不符合题意;
故选:A.
【举一反三2】如图,已知:点在上,,下列结论:①;②;③;④;⑤;其中正确命题的代号是 .
【答案】①②③④
【解析】∵,
∴,
∴,
∴,故①正确;
∵圆周角和圆心角都对着,
∴,故②正确;
∵,
∴,故③正确;
∵圆周角和都对着,
∴,故④正确;
延长交于M,连接,
∵D、C、A、M四点共圆,
∴,
∵,
∴,故⑤错误;
故答案为:①②③④.
【举一反三3】如图,是上的四点,,过点作交的延长线于点,其中正确的结论是 (填序号).
①;②是等边三角形;③:④是等边三角形.
【答案】
【解析】∵是上的四点,
∴,
∵,
∴,故正确;
∵,
∴,,
∴,
∴是等边三角形,故正确;
∵四边形是的内接四边形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
又∵是等边三角形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴为等边三角形,故正确;
∵,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,
∴,
∵为等边三角形,
∴,
∴,故正确;
∴正确的结论是,
故答案为:.
【举一反三4】求证:圆内接平行四边形是矩形.
【答案】解:如图,由题意得:是的内接四边形,
是矩形.
【举一反三5】如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,连结DE,且BD=DE,过点B作BP∥DE,交⊙O于点P,连结OP.
(1)求证:AB=AC;
(2)若∠A=30°,求∠BOP的度数.
【答案】解:(1)连接AD,
∵BD=DE,
∴
∴∠BAD=∠CAD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°=∠CDA,
在△ADB和△ADC中,
∴△ADB≌△ADC(ASA),
∵AB=AC;
(2)∵∠BAC=30°,AB=AC,
∴∠ABC=(180°﹣30°)=75°,
∵四边形ABDE为圆O的内接四边形,
∴∠EDC=∠BAC=30°,
∵BP∥DE,
∴∠PBC=∠EDC=30°,
∴∠OBP=∠ABC﹣∠PBC=45°,
∵OB=OP,
∴△OBP为等腰直角三角形,
∴∠BOP=90°