3.7正多边形
【知识点1】正多边形和圆 1
【题型1】求正多边形的中心角 1
【题型2】求正多边形的边数 7
【题型3】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析 12
【知识点1】正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【题型1】求正多边形的中心角
【典型例题】将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（ ）
A.8 B. C. D.4
【举一反三1】每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知正五边形内接于，连结相交于点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，正五边形内接于，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接、，，垂足为G，等于 度．
【举一反三5】如图，已知正六边形，对角线，交于点，点，分别是，的中点，则的值为 ．
【举一反三6】如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为 ．
【举一反三7】如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
【题型2】求正多边形的边数
【典型例题】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【举一反三1】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【举一反三2】一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A.8 B.12 C.3 D.6
【举一反三3】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是( )
A.14 B.18 C.16 D.20
【举一反三4】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【举一反三5】如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝ ．
【举一反三6】如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、．
（1）的度数为 ．
（2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ．
【举一反三7】如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ．
【举一反三8】一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为 ．
【题型3】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析
【典型例题】下列说法错误的是（ ）
A.正多边形每个内角都相等
B.正多边形都是轴对称图形
C.正多边形都是中心对称图形
D.正多边形的中心到各边的距离相等
【举一反三1】下列正多边形中，一个内角为的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列正多边形中，内角和是的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】下列是正多边形的是（ ）
A.六条边都相等的六边形
B.四个角都是直角的四边形
C.四条边都相等的四边形
D.三条边都相等的三角形
【举一反三4】下列正多边形中，一个内角为的是（ ）
A. B. C. D.3.7正多边形
【知识点1】正多边形和圆 1
【题型1】求正多边形的中心角 1
【题型2】求正多边形的边数 7
【题型3】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析 12
【知识点1】正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
【题型1】求正多边形的中心角
【典型例题】将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（ ）
A.8 B. C. D.4
【答案】B
【解析】设正六边形的中心为O，连接，如图，过A作于点G，
∵顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，
∴，
∵多边形为正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，,
∵，
∴，，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∵，
即与之间的距离为．
故选：B．
【举一反三1】每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】正六边形的中心角的度数为，
∴绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转；
故选D．
【举一反三2】如图，已知正五边形内接于，连结相交于点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接OA、OB、OC、OD、OE，如图，则∠COD=∠AOB=∠AOE=，
∴∠BOE=144°，
∴，，
∴.
故选：C.
【举一反三3】若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正多边形的一个外角为，
∴正多边形的边数为，
∴这个正多边形的中心角的度数是，
故选：．
【举一反三4】如图，正五边形内接于，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接、，，垂足为G，等于 度．
【答案】54
【解析】连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD=，
∴∠CPD=∠COD=36 ，
∵，
∴∠DGP=90 ，
∴∠PDG=90 -∠CPD=90 -36 =54 ，
故答案为：54 ．
【举一反三5】如图，已知正六边形，对角线，交于点，点，分别是，的中点，则的值为 ．
【答案】
【解析】连接，如图所示：
∵在正六边形中，，，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∵在正六边形中，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设正六边形的边长为，
∴，
根据勾股定理得：，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【举一反三6】如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为 ．
【答案】
【解析】连接，，，，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，，
∵恰好是⊙的内接正十边形的一边，
∴，
∴，
∴的度数为84°.
【举一反三7】如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
【答案】12
【解析】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【题型2】求正多边形的边数
【典型例题】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】如图，连接，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
【举一反三1】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】D
【解析】连接，
∵是内接正六边形的一边，
∴，
∵是内接正八边形的一边，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【举一反三2】一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A.8 B.12 C.3 D.6
【答案】B
【解析】，解得．
这个正多边形的边数为12．
故选：B．
【举一反三3】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是( )
A.14 B.18 C.16 D.20
【答案】D
【解析】∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，
∴该正多边形的边数为：，故D正确．
故选：D．
【举一反三4】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】D
【解析】连接，
∵是内接正六边形的一边，
∴，
∵是内接正八边形的一边，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【举一反三5】如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝ ．
【答案】9
【解析】∵正n边形的中心角＝＝40°，
n＝＝9．
故答案为9．
【举一反三6】如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、．
（1）的度数为 ．
（2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ．
【答案】（1）120°
（2）12
【解析】（1）连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【举一反三7】如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ．
【答案】5
【解析】中心角的度数=，
，
，
故答案为：5．
【举一反三8】一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为 ．
【答案】10
【解析】∵一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，
∴ n的值为：，
故答案为：10.
【题型3】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析
【典型例题】下列说法错误的是（ ）
A.正多边形每个内角都相等
B.正多边形都是轴对称图形
C.正多边形都是中心对称图形
D.正多边形的中心到各边的距离相等
【答案】C
【解析】A、正多边形每个内角都相等，根据正多边形的定义得出此选项正确，不符合题意；
B、正多边形都是轴对称图形，根据正多边形的性质得出，此选项正确，不符合题意；
C、正多边形都是中心对称图形，当边数为奇数时，正多边形不是中心对称图形，故此选项错误，符合题意；
D、根据正多边形中心为正多边形内切圆与外接圆圆心，故正多边形的中心到各边的距离相等，此选项正确，不符合题意．
故选C．
【举一反三1】下列正多边形中，一个内角为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、正方形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
B、正五边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
C、正六边形的一个外角为，所以其内角为，故符合题意；
D、正八边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
故选C．
【举一反三2】下列正多边形中，内角和是的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵n边形的内角和公式为，
∴当，
则．
∴五边形的内角和等于．
故选：C．
【举一反三3】下列是正多边形的是（ ）
A.六条边都相等的六边形
B.四个角都是直角的四边形
C.四条边都相等的四边形
D.三条边都相等的三角形
【答案】D
【解析】∵六条边都相等的六边形的六个角不一定相等，故A错误；
∵四个角都是直角的四边形的四条边不一定相等，故B错误；
∵四条边都相等的四边形的四个角不一定相等，故C错误；
∵三条边都相等的三角形是等边三角形，它的三个角都相等，故D正确，
故选：D．
【举一反三4】下列正多边形中，一个内角为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、正方形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
B、正五边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
C、正六边形的一个外角为，所以其内角为，故符合题意；
D、正八边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
故选C．
