4.3相似三角形
【知识点1】相似三角形的性质 1
【题型1】相似三角形的基本性质 1
【题型2】相似三角形定义 3
【知识点1】相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【题型1】相似三角形的基本性质
【典型例题】如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB＝3.6，BC＝6，AC＝8，EF＝2，则DE的长度为（ ）
A.1.2 B.1.8 C.3 D.7.2
【举一反三1】若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠C′＝（ ）
A.30° B.70° C.100° D.80°
【举一反三2】如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是（ ）
A. B.AB AD＝AE AC C. D.AD DE＝AE EC
【举一反三3】如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 ．
【举一反三4】如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝ ．
【举一反三5】如图，已知△ABC∽△ACD，且AD＝7，BD＝2，求AC的长．
【举一反三6】如图，△ABC∽△ACD．
（1）写出图中相等的角；
（2）已知AD＝4cm，AC＝6cm，求AB的长．
【题型2】相似三角形定义
【典型例题】相似三角形的概念是（ ）
A.对应角相等、对应边成比例的两个三角形
B.两角分别相等的两个三角形
C.三边对应成比例的两个三角形
D.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形
【举一反三1】如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形共有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【举一反三2】如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，BE与CD相交于F，则图中所有的相似三角形共有（ ）
A.6对 B.7对 C.8对 D.9对
【举一反三3】如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，BE与CD相交于F，则图中所有的相似三角形共有（ ）
A.6对 B.7对 C.8对 D.9对
【举一反三4】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OD：OB，则下列结论中一定正确的是（ ）
A.只有①与③相似
B.只有②与④相似
C.①与③相似且②与④相似
D.没有相似三角形
【举一反三5】相似三角形的性质：相似三角形的对应边 ，对应角 ．
【举一反三6】 叫做相似三角形的相似比．
【举一反三7】全等三角形是相似三角形． （判断对错）4.3相似三角形
【知识点1】相似三角形的性质 1
【题型1】相似三角形的基本性质 1
【题型2】相似三角形定义 4
【知识点1】相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【题型1】相似三角形的基本性质
【典型例题】如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB＝3.6，BC＝6，AC＝8，EF＝2，则DE的长度为（ ）
A.1.2 B.1.8 C.3 D.7.2
【答案】A
【解析】∵△ABC与△DEF形状完全相同，∴△ABC∽△DEF，∴，即，
解得DE＝1.2.
故选：A．
【举一反三1】若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠C′＝（ ）
A.30° B.70° C.100° D.80°
【答案】D
【解析】∵∠A＝30°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′＝∠C＝80°．
故选：D．
【举一反三2】如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是（ ）
A. B.AB AD＝AE AC C. D.AD DE＝AE EC
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△AED，∴，
∵，，，
∴，故A错误；
∵，∴AB AD＝AC AE，故B正确；
∵，AE≠AD，∴，故C错误；
∵AE EC＝AE（AC﹣AE）＝AE AC﹣AE2＝AB AD﹣AE2，AD DE＝AD AD2，
∴无法推出AD DE＝AE EC，故D错误．
故选：B．
【举一反三3】如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 ．
【答案】
【解析】∵AD＝2DB，AC＝4，BC＝3，∴设DB＝x，则AD＝2x，AB＝3x，
∵△BCD∽△BAC，∴，即，∴x2＝3，解得x或x（负值舍去），
∴，解得CD．
【举一反三4】如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝ ．
【答案】
【解析】∵△ABC∽△AMN，∴，
∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，∴AM＝MC＝4，∴，解得AN.
【举一反三5】如图，已知△ABC∽△ACD，且AD＝7，BD＝2，求AC的长．
【答案】解：∵△ABC∽△ACD，∴，
∵AD＝7，BD＝2，∴AB＝AD+DB＝9，∴，解得AC＝3，
故AC的长为3．
【举一反三6】如图，△ABC∽△ACD．
（1）写出图中相等的角；
（2）已知AD＝4cm，AC＝6cm，求AB的长．
【答案】解：（1）∵△ABC∽△ACD，∴∠B＝∠ACD，∠ACB＝∠ADC.
（2）∵△ABC∽△ACD，∴，
∵AD＝4cm，AC＝6cm，∴AB＝9cm．
【题型2】相似三角形定义
【典型例题】相似三角形的概念是（ ）
A.对应角相等、对应边成比例的两个三角形
B.两角分别相等的两个三角形
C.三边对应成比例的两个三角形
D.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形
【答案】A
【解析】A、对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似，正确；
B、两角对应相等的两个三角形相似，错误；
C、三边对应成比例的两个三角形相似，错误；
D、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，错误.
故选：A．
【举一反三1】如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形共有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】C
【解析】∵AB∥CD∥EF，∴△BCD∽△BEF，△ECD∽△EBA，△ADB∽△EDF．
∴图中共有3对相似三角形．
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，BE与CD相交于F，则图中所有的相似三角形共有（ ）
A.6对 B.7对 C.8对 D.9对
【答案】C
【解析】∵在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠A+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠DFB与∠CFE为对顶角，∠DFE与∠BFC为对顶角，∴∠DFB＝∠CFE，∠DFE＝∠BFC，
∴△ABE∽△ACD，△ABE∽△FBD，△ABE∽△FCE，△FBD∽△FCE，△FBD∽△ACD，△FCE∽△ACD，
∵△FBD∽△FCE，∴，即，
∵∠DFE＝∠BFC，∴△DEF∽△BCF，
∵△ABE∽△ACD，∴，即，
∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB；
综上分析可知，共有8对相似三角形.
故选：C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，BE与CD相交于F，则图中所有的相似三角形共有（ ）
A.6对 B.7对 C.8对 D.9对
【答案】C
【解析】∵在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠A+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠DFB与∠CFE为对顶角，∠DFE与∠BFC为对顶角，∴∠DFB＝∠CFE，∠DFE＝∠BFC，
∴△ABE∽△ACD，△ABE∽△FBD，△ABE∽△FCE，△FBD∽△FCE，△FBD∽△ACD，△FCE∽△ACD，
∵△FBD∽△FCE，∴，即，
∵∠DFE＝∠BFC，∴△DEF∽△BCF，
∵△ABE∽△ACD，∴，即，
∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB；
综上分析可知，共有8对相似三角形.
故选：C．
【举一反三4】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OD：OB，则下列结论中一定正确的是（ ）
A.只有①与③相似
B.只有②与④相似
C.①与③相似且②与④相似
D.没有相似三角形
【答案】A
【解析】在△AOB与△COD中，∵OA：OC＝OD：OB，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD∽△COB，∴①与③相似，故A选项正确，
又由于①与②，①与④，②与④均不满足相似的判定条件，故D，C，B选项均不正确.
故选：A．
【举一反三5】相似三角形的性质：相似三角形的对应边 ，对应角 ．
【答案】相等，相等
【解析】相似三角形的性质：相似三角形的对应边相等，对应角相等.
【举一反三6】 叫做相似三角形的相似比．
【答案】两个相似三角形对应边的比值
【解析】两个相似三角形对应边的比值叫做相似三角形的相似比．
【举一反三7】全等三角形是相似三角形． （判断对错）
【答案】对
【解析】全等三角形是相似比为1的相似三角形．
