4.3坐标平面内图形的轴对称和平移
【知识点1】坐标与图形变化-对称 1
【知识点2】坐标与图形性质 1
【知识点3】利用轴对称设计图案 3
【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标 3
【知识点5】作图-轴对称变换 3
【题型1】根据点的对称求字母的值 3
【题型2】坐标系中图形的平移 5
【题型3】写出点平移后的坐标 8
【题型4】根据对称点的坐标确定对称轴 10
【题型5】根据平移前后的坐标写出平移的路线 11
【题型6】坐标与图形变换--轴对称 13
【题型7】点的平移规律问题 17
【题型8】写出点关于x轴或y轴对称的点的坐标 24
【知识点1】坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x=m对称，P（a，b） P（2m-a，b）
②关于直线y=n对称，P（a，b） P（a，2n-b）
【知识点2】坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
1.（2024春 韶关期末）在平面直角坐标系中，点A（-3，4），点B是x轴上任意一点，则线段AB的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】过点A作AB⊥x轴，此时AB的长度最小，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，
过点A作AB⊥x轴，此时AB的长度最小，
即AB的最小值为4．
故选：B．
2.（2024秋 历城区校级月考）已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．-1 D．3
【答案】C
【分析】根据直线AB∥x轴，即可得到A、B的纵坐标相同，由此求解即可．
【解答】解：∵点A（m+1，-2），点B（3，m-1），
∴m-1=-2，
解得m=-1，
故选：C．
【知识点3】利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
【知识点5】作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
【题型1】根据点的对称求字母的值
【典型例题】已点P1（a﹣1，5）和P2（3，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A.3 B.0 C.﹣1 D.1
【答案】C
【解析】∵点P1（a﹣1，5）和P2（3，b）关于x轴对称，
∴a﹣1＝3，b＝﹣5，
∴a＝4，
∴a+b＝4﹣5＝﹣1．
故选：C．
【举一反三1】已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则（ ）
A.﹣5 B.5 C. D.
【答案】C
【解析】∵点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，
∴a＝2，b＝3，
则．
故选：C．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，点A（﹣7，m）与点B（n，3）关于x轴对称，则（ ）
A.m＝3，n＝7 B.m＝﹣3，n＝7 C.m＝3，n＝﹣7 D.m＝﹣3，n＝﹣7
【答案】D
【解析】∵A（﹣7，m）与点B（n，3）关于x轴对称，
∴n＝﹣7，m＝﹣3，
故选：D．
【举一反三3】已知点P（2，a）关于y轴的对称点为Q（b，﹣1），则ab的值为（ ）
A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3
【答案】A
【解析】因为点P（2，a）关于y轴的对称点为Q（b，﹣1），
所以a＝﹣1，b＝﹣2，
所以ab＝（﹣1）×（﹣2）＝2．
故选：A．
【举一反三4】在直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n＝ ．
【答案】-1
【解析】∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【举一反三5】已知点A（2，m+3），B（n，﹣4）关于y轴对称，则m+n＝ ．
【答案】﹣9
【解析】∵点A（2，m+3），B（n，﹣4）关于y轴对称，
∴n＝﹣2，m+3＝﹣4，
解得m＝﹣7，n＝﹣2，
∴m+n＝﹣7﹣2＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【举一反三6】在直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n＝ ．
【答案】-1
【解析】∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【题型2】坐标系中图形的平移
【典型例题】如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（ ）
A.（﹣x，y﹣2） B.（﹣x，y+2） C.（﹣x+2，﹣y） D.（﹣x+2，y+2）
【答案】B
【解析】∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，
∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（﹣x，y+2）．
故选：B．
【举一反三1】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，则平移后C点的坐标是（ ）
A.（5，﹣2） B.（1，﹣2） C.（2，﹣1） D.（2，﹣2）
【答案】B
【解析】图中C点坐标为（3，3），根据平移时点的变化规律，平移后C点坐标为（3﹣2，3﹣5），即C（1，﹣2）．
故选：B．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（3，0）．现将线段AB平移，使点A，B分别平移到点A′，B'，其中点A′（1，4），则四边形AA'B'B的面积为 ．
【答案】6
【解析】如图，过点B′作B′E⊥AA′于点E，延长A′A交OB于点F．
由题意得，AB＝A′B′，AB∥A′B′，
∵点A（1，1），点B（3，0），点A′（1，4），
∴AA′＝BB′＝3，
∵B′E⊥AA′，
∴四边形B′EFB是长方形，
∴AA′＝EF＝3，
∴四边形AA′B′B的面积＝四边形B′EFB的面积＝3×2＝6，
故答案为：6．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（4，4），（6，1），将线段AB先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应线段A'B'；
（1）写出A′，B′两点的坐标：A'（ ， ），B'（ ， ）；
（2）连接OA'，OB'，求三角形A′OB′的面积．
【答案】解：（1）A'（2，1），B'（4，﹣2）；
故答案为：2，1，4，﹣2；
（2）如图：
三角形A′OB′的面积为4×32×12×34×2＝4．
【题型3】写出点平移后的坐标
【典型例题】点P（5，6）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的坐标是（ ）
A.（7，9） B.（7，3） C.（3，9） D.（3，3）
【答案】C
【解析】根据题意，平移后点P的坐标的横坐标为：5﹣2＝3；纵坐标为6+3＝9；
即（3，9）．
故选：C．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）向下平移3个单位，所得点的坐标是（ ）
A.（2，﹣3） B.（﹣4，﹣3） C.（﹣1，0） D.（﹣1，﹣6）
【答案】D
【解析】平移后点A的坐标为（﹣1，﹣3﹣3），即A（﹣1，﹣6），
故选：D．
【举一反三2】把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（ ）
A.（1，﹣3） B.（﹣3，﹣1） C.（﹣1，﹣3） D.（﹣3，1）
【答案】C
【解析】把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（2﹣3，﹣3），即（﹣1，﹣3）．
故选：C．
【举一反三3】在平面直角坐标系内，线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣2，3）的对应点为C（2，5），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（ ）
A.（﹣8，﹣3） B.（4，2） C.（0，1） D.（1，8）
【答案】C
【解析】点A（﹣2，3）的对应点为C（2，5），可知横坐标由﹣2变为2，向右移动了4个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位，
于是B（﹣4，﹣1）的对应点D的横坐标为﹣4+4＝0，点D的纵坐标为﹣1+2＝1，
故D（0，1）．
故选：C．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，4）向左平移4个单位后所得的点的坐标是（ ）
A.（1，4） B.（﹣7，4） C.（﹣3，0） D.（﹣3，8）
【答案】B
【解析】将点A（﹣3，4）向左平移4个单位长度得到的点坐标为（﹣7，4），
故选：B．
【举一反三5】将点K（﹣1，1）向右平移2个单位所得的对应点的坐标为 ．
【答案】（1，1）
【解析】将点K（﹣1，1）向右平移2个单位，
即横坐标加2，纵坐标不变．
∴对应点的坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【举一反三6】将点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是 ．
【答案】（1，﹣1）
【解析】点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是（﹣2+3，﹣3+2），即（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
【举一反三7】在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，4）向左平移3个单位后所得的点的坐标是 ．
【答案】（﹣6，4）
【解析】将点A（﹣3，4）向左平移3个单位后所得的点的坐标（﹣6，4），
故答案为：（﹣6，4）．
【举一反三8】将点（1，2）向上平移3个单位，向左平移2个单位，平移后所得的点的坐标为 ．
【答案】（﹣1，5）
【解析】由题意可得，平移后点的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为2+3＝5，
∴所得的点的坐标为（﹣1，5）．
故答案为：（﹣1，5）．
【题型4】根据对称点的坐标确定对称轴
【典型例题】将平面直角坐标系内某图形上各个点的纵坐标都乘﹣1，横坐标不变，所得图形与原图形的关系是（ ）
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 C.沿x轴向左平移1个单位长度 D.沿y轴向下平移1个单位长度
【答案】B
【解析】将平面直角坐标系内某图形上各个点的纵坐标都乘﹣1，横坐标不变，所得图形与原图形的关系是关于x轴对称，
故选：B．
【举一反三1】平面内点A（﹣1，2）和点B（1，2）的对称轴是（ ）
A.x轴 B.y轴 C.直线y＝4 D.直线x＝﹣1
【答案】B
【解析】根据题意，可得平面内点A和点B的横坐标相反而纵坐标相等，故点A和点B关于y轴对称．
故选：B．
【举一反三2】在平面直角坐标系内，点P（1，2），点Q（1，﹣2），那么点P与点Q的对称轴是 ．
【答案】x轴
【解析】∵点P（1，2），点Q（1，﹣2），
∴点P与点Q的对称轴是：x轴．
故答案为：x轴．
【举一反三3】已知（如图所示）A（3，2），B（3，4），C（﹣4，﹣2），D（2，﹣2），
（1）A与B是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？画出对称轴；
（2）C与D是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？画出对称轴；
（3）已知点M（﹣1，﹣3），写出它关于x＝2对称的对称点N的坐标和它关于直线y＝1对称的对称点Q的坐标．
【答案】解：如图所示，
（1）A与B是对称点，对称轴是直线y＝3；
（2）C与D是对称点，对称轴是直线x＝﹣1；
（3）点M（﹣1，﹣3）关于x＝2对称的对称点N的坐标（5，﹣3），关于直线y＝1对称的对称点Q的坐标（﹣1，5）．
【题型5】根据平移前后的坐标写出平移的路线
【典型例题】在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的 ABCD，点A的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，﹣1）处，则此平移可以是（ ）
A.先向右平移5个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移5个单位，再向下平移3个单位
C.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
D.先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
【答案】B
【解析】根据A的坐标是（0，2），点A′（5，﹣1），
横坐标加5，纵坐标减3得出，故先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，
故选：B．
【举一反三1】点（a﹣2，b+2）经过平移变换得到点（a，b），则这个平移变换是（ ）
A.先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
B.先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
C.先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
D.先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
【答案】C
【解析】点（a﹣2，b+2）向右平移2个单位、向下平移2各单位后坐标为（a﹣2+2，b+2﹣2），
即经过平移变换得到点（a，b），
故选：C．
【举一反三2】在直角坐标平面内，点P（﹣5，0）向 平移m（m＞0）个单位后落在第三象限．（填“上”或“下”或“左”或“右“）
【答案】下
【解析】∵P（﹣5，0）在x轴的负半轴上，
∴点P向下平移落在第三象限，
故答案为下．
【举一反三3】在如图所示的平面直角坐标系中，点A、B、C、D、E、F、G都在网格的交叉点上，已知点A的坐标是（0，3）．回答下列问题：
（1）B点的坐标是 ，D点的坐标是 ；
（2）这些点中到x轴的距离是5的点有 ；
（3）将点E怎样平移可以和点F重合？
【答案】解：（1）B（1，﹣3），D（﹣3，﹣5）．
故答案为：（1，﹣3）（﹣3，﹣5）；
（2）这些点中到x轴的距离是5的点有C、D、E．
故答案为：C、D、E；
（3）点E向上平移1个单位，再向右平移2个单位可以和点F重合；
【题型6】坐标与图形变换--轴对称
【典型例题】已知点P（2，﹣3）与点Q（2，3）关于某条直线对称，则这条直线是（ ）
A.x轴 B.y轴 C.过点（2，0）且垂直于x轴的直线 D.过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线
【答案】A
【解析】∵点P（2，﹣3），点Q（2，3），
∴PQ∥y轴，
设PQ的中点为M，
则M点坐标为，即（2，0），
∴点P（2，﹣3）与点Q（2，3）关于经过点（2，0）且垂直于y轴的直线对称，
即点P（2，﹣3）与点Q（2，3）关于x轴对称，故A正确．
故选：A．
【举一反三1】点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（ ）
A.关于直线x＝2对称 B.关于直线y＝2对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
【答案】A
【解析】点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝2对称，
故选：A．
【举一反三2】如图，将点A（﹣1，2）关于x轴作轴对称变换，则变换后点的坐标是（ ）
A.（1，2） B.（1，﹣2） C.（﹣1，﹣2） D.（﹣2，﹣1）
【答案】C
【解析】∵将点A（﹣1，2）关于x轴作轴对称变换，
∴变换后点的坐标是（﹣1，﹣2），
故选：C．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，点A（3，0）关于直线y＝x对称的点A′的坐标为 ．
【答案】（0，3）
【解析】如图，A，A′关于直线y＝x对称，
∵直线y＝x是第一、三象限的平分线，点A（3，0），
∴A′在y轴上，OA′＝OA＝3，
∴A′的坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【举一反三4】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 ．
【答案】（4，4）
【解析】过点（3，0）且平行于y轴的直线l为：x＝3，
∵点A与点B关于直线x＝3对称，且A（2，4），
∴点B的纵坐标为4，
设点B的横坐标为x，
则，解得：x＝4，
∴B点的坐标为（4，4），
故答案为：（4，4）．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），已知AD＝5，△ABC关于直线l对称．
（1）求点A的坐标；
（2）若点C的坐标为（﹣2，﹣2），判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】解：（1）∵直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），AD＝5，
∴点A的坐标为（﹣5，1）；
（2）△ABC为等腰直角三角形，
理由：如图，设直线l与BC交于点E，
∵△ABC关于直线l对称，
∴BC⊥AD，BE＝CE，AB＝AC，
∵点C的坐标为（﹣2，﹣2），
∴点E的坐标为（﹣2，1），
∴AE＝CE＝3，
∴∠CAE＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
【题型7】点的平移规律问题
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点O（0，0）第1次向右跳动1个单位至点P1（1，0），紧接着第2次向上跳动1个单位至点P2（1，1），第3次向左跳动2个单位至点P3（﹣1，1），第4次向上跳动1个单位至点P4，第5次又向右跳动3个单位至点P5，第6次向上跳动1个单位至点P6，…照此规律，P2026的坐标是（ ）
A.（﹣506，1012） B.（507，1012） C.（507，1013） D.（506，1013）
【答案】C
【解析】设第n次跳动至点Pn，观察发现：P1（1，0），P2（1，1），P3（﹣1，1），P4（﹣1，2），P5（2，2），P6（2，3），P7（﹣2，3），P8（﹣2，4），P9（3，4），..．
∴P4n（﹣n，2n），P4n+1（n+1，2n），P4n+2（n+1，2n+1），P4n+3（﹣n﹣1，2n+1），（n为自然数），
∵2026＝506×4+2，
∴P2026（506+1，506×2+1），即（507，1013）．
故选：C．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系上有个点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点A2024的坐标是（ ）
A.（﹣506，1012） B.（﹣507，1012） C.（507，1012） D.（506，1013）
【答案】B
【解析】设第n次跳动至点An，
观察，发现：A（﹣1，0），A1（﹣1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（﹣2，2），A5（﹣2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（﹣3，4），A9（﹣3，5），…，
∴A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数），
∵2024＝506×4，
∴A2024（﹣506﹣1，506×2），即（﹣507，1012）．
故选：B．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，小张玩走棋游戏，其走法：棋子从点（1，0）位置出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完2023步时，棋子所处的位置坐标是（ ）
A.（2023，674） B.（2023，675） C.（2024，674） D.（2024，675）
【答案】C
【解析】设走完第n步时，棋子所处的位置为点Pn（n为自然数），
观察，发现规律：P1（2，0），P2（4，0），P3（4，1），P4（5，1），…，
∴P3n+1（3n+2，n），P3n+2（3n+4，n），P3n+3（3n+4，n+1），
∵2023＝3×674+1，
∴当n＝674时，
∴P2023（2024，674）．
故选：C．
【举一反三3】如图，将点A1（1，1）向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；将点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；将点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4…按这个规律平移得到点An，则点A2024的横坐标为（ ）
A.22024 B.22024﹣1 C.22023﹣1 D.22003+1
【答案】B
【解析】点A1的横坐标为1＝21﹣1，
点A2的横坐为标1+2＝3＝22﹣1，
点A3的横坐标为1+2+4＝7＝23﹣1，
点A4的横坐标为1+2+4+8＝15＝24﹣1，
……，
∴点An的横坐标为2n﹣1，
∴点A2024的横坐标为22024﹣1，
故选：B．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别沿BC，BD向左、右分别运动到点C（0，2）、点D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从 C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点G（﹣1，4）、H（1，4）、I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，从左往右数的第二个点的坐标是（ ）
A.（﹣2023，4048） B.（﹣2024，4048） C.（﹣2024，4046） D.（﹣2021，4048）
【答案】D
【解析】由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减少1，
则动点A完成第2024次跳跃时，所有到达点的纵坐标为2024×2＝4048，左边第一个点横坐标为：1﹣2024＝﹣2023，
所以从左往右数的第二个点的坐标是（﹣2021，4048）．
故选：D．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，设一动点P自P0（2，0）处向下运动1个单位长度至P1（2，﹣1）处，然后向左运动2个单位长度至P2（0，﹣1）处，再向上运动2个单位长度至P3（0，1）处，再向左运动2个单位长度至P4（﹣2，1）处，再向下运动2个单位长度至P5（﹣2，﹣1）处，…，如此继续运动下去，设Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，…），则P2023的坐标是 ．
【答案】（﹣2025，1）
【解析】根据点P的运动方式可知，
点P1的坐标为（2，﹣1）；
点P2的坐标为（0，﹣1）；
点P3的坐标为（0，1）；
点P4的坐标为（﹣2，1）；
点P5的坐标为（﹣2，﹣1）；
点P6的坐标为（﹣4，﹣1）；
点P7的坐标为（﹣4，1）；
点P8的坐标为（﹣6，1）；
点P9的坐标为（﹣6，﹣1）；
…，
由此可见，点P4n﹣3的横坐标为﹣4n+6，纵坐标为﹣1．
当n＝506时，
4n﹣3＝4×506﹣3＝2021，
﹣4n+6＝﹣4×506+1＝﹣2023，
所以点P2021的坐标为（﹣2023，﹣1），
所以点P2023的坐标为（﹣2025，1）．
故答案为：（﹣2025，1）．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣6，﹣3），点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…；按这个规律平移，则A2024的横坐标为 ．
【答案】512572
【解析】∵点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…，
∴从点A开始，第偶数个点A2n的横坐标为：
，
纵坐标为：；
当第2024个点A2024时，2n＝2024，
解得：n＝1012，
∴A2024的横坐标为：．
故答案为：512572．
【举一反三7】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣6，﹣3），点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…；按这个规律平移，则A2024的横坐标为 ．
【答案】512572
【解析】∵点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…，
∴从点A开始，第偶数个点A2n的横坐标为：
，
纵坐标为：；
当第2024个点A2024时，2n＝2024，
解得：n＝1012，
∴A2024的横坐标为：．
故答案为：512572．
【举一反三8】如图，点A（0，0），向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到点A1：点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向
上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3：点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4：……按这个规律平移得到点An，则点An的横坐标为 ．
【答案】2n﹣1
【解析】点A1的横坐标为1＝21﹣1，点A2的横坐为标3＝22﹣1，点A3：的横坐标为7＝23﹣1，点A4的横坐标为15＝24﹣1，
按这个规律平移得到点An为2n﹣1，
故答案为2n﹣1
【题型8】写出点关于x轴或y轴对称的点的坐标
【典型例题】在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（ ）
A.（3，﹣2） B.（3，2） C.（﹣3，﹣2） D.（﹣3，2）
【答案】B
【解析】点（3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为：（3，2）．
故选：B．
【举一反三1】在直角坐标系中，点A（2，﹣8）、B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ）
A.（﹣2，﹣8） B.（2，8） C.（﹣2，8） D.（8，2）
【答案】A
【解析】∵点A与点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，﹣8），
∴点B的坐标是：（﹣2，﹣8）．
故选：A．
【举一反三2】点（5，﹣2）关于x轴的对称点是（ ）
A.（5，﹣2） B.（5，2） C.（﹣5，2） D.（﹣5．﹣2）
【答案】B
【解析】5，﹣2）关于x轴的对称点为（5，2），
故选：B．
【举一反三3】已知一点A（2，0），则点A关于y轴的对称点是（ ）
A.（﹣2，0） B.（0，﹣2） C.（0，2） D.（﹣2，﹣2）
【答案】A
【解析】已知一点A（2，0），则点A关于y轴的对称点是（﹣2，0）．
故选：A．
【举一反三4】在直角坐标系中，点A（2，﹣8）、B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ）
A.（﹣2，﹣8） B.（2，8） C.（﹣2，8） D.（8，2）
【答案】A
【解析】∵点A与点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，﹣8），
∴点B的坐标是：（﹣2，﹣8）．
故选：A．
【举一反三5】在平面直角坐标系中，点A（3，1）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是 ．
【答案】（﹣3，1）
【解析】点A（3，1）与点B关于y轴对称，则B的坐标为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【举一反三6】点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 ，关于y轴对称的点的坐标是 ．
【答案】（2，3），（﹣2，﹣3）
【解析】点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 （2，3），关于y轴对称的点的坐标是 （﹣2，﹣3）．
故答案为（2，3），（﹣2，﹣3）．
【举一反三7】若（b+2）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为 ．
【答案】（﹣3，﹣2）
【解析】∵（b+2）2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2；
∴点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣2）．
【举一反三8】在平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于x轴的对称点的坐标是（ ， ）；关于y轴的对称点的坐标是（ ， ）；关于原点的对称点的坐标是（ ， ）．
【答案】（﹣2，﹣5），（2，5），（2，﹣5）
【解析】点P（﹣2，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣5）；关于y轴的对称点的坐标是（2，5）；关于原点的对称点的坐标是（2，﹣5）．
故答案为：（﹣2，﹣5），（2，5），（2，﹣5）．4.3坐标平面内图形的轴对称和平移
【知识点1】坐标与图形变化-对称 1
【知识点2】坐标与图形性质 1
【知识点3】利用轴对称设计图案 2
【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标 2
【知识点5】作图-轴对称变换 2
【题型1】根据点的对称求字母的值 3
【题型2】坐标系中图形的平移 3
【题型3】写出点平移后的坐标 4
【题型4】根据对称点的坐标确定对称轴 5
【题型5】根据平移前后的坐标写出平移的路线 6
【题型6】坐标与图形变换--轴对称 7
【题型7】点的平移规律问题 9
【题型8】写出点关于x轴或y轴对称的点的坐标 13
【知识点1】坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x=m对称，P（a，b） P（2m-a，b）
②关于直线y=n对称，P（a，b） P（a，2n-b）
【知识点2】坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
1.（2024春 韶关期末）在平面直角坐标系中，点A（-3，4），点B是x轴上任意一点，则线段AB的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2.（2024秋 历城区校级月考）已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．-1 D．3
【知识点3】利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
【知识点4】关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
【知识点5】作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
【题型1】根据点的对称求字母的值
【典型例题】已点P1（a﹣1，5）和P2（3，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A.3 B.0 C.﹣1 D.1
【举一反三1】已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则（ ）
A.﹣5 B.5 C. D.
【举一反三2】在平面直角坐标系中，点A（﹣7，m）与点B（n，3）关于x轴对称，则（ ）
A.m＝3，n＝7 B.m＝﹣3，n＝7 C.m＝3，n＝﹣7 D.m＝﹣3，n＝﹣7
【举一反三3】已知点P（2，a）关于y轴的对称点为Q（b，﹣1），则ab的值为（ ）
A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3
【举一反三4】在直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n＝ ．
【举一反三5】已知点A（2，m+3），B（n，﹣4）关于y轴对称，则m+n＝ ．
【举一反三6】在直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则m+n＝ ．
【题型2】坐标系中图形的平移
【典型例题】如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（ ）
A.（﹣x，y﹣2） B.（﹣x，y+2） C.（﹣x+2，﹣y） D.（﹣x+2，y+2）
【举一反三1】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，则平移后C点的坐标是（ ）
A.（5，﹣2） B.（1，﹣2） C.（2，﹣1） D.（2，﹣2）
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（3，0）．现将线段AB平移，使点A，B分别平移到点A′，B'，其中点A′（1，4），则四边形AA'B'B的面积为 ．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（4，4），（6，1），将线段AB先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应线段A'B'；
（1）写出A′，B′两点的坐标：A'（ ， ），B'（ ， ）；
（2）连接OA'，OB'，求三角形A′OB′的面积．
【题型3】写出点平移后的坐标
【典型例题】点P（5，6）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的坐标是（ ）
A.（7，9） B.（7，3） C.（3，9） D.（3，3）
【举一反三1】在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）向下平移3个单位，所得点的坐标是（ ）
A.（2，﹣3） B.（﹣4，﹣3） C.（﹣1，0） D.（﹣1，﹣6）
【举一反三2】把点A（2，﹣3）向左平移3个单位，所得的点的坐标为（ ）
A.（1，﹣3） B.（﹣3，﹣1） C.（﹣1，﹣3） D.（﹣3，1）
【举一反三3】在平面直角坐标系内，线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣2，3）的对应点为C（2，5），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（ ）
A.（﹣8，﹣3） B.（4，2） C.（0，1） D.（1，8）
【举一反三4】在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，4）向左平移4个单位后所得的点的坐标是（ ）
A.（1，4） B.（﹣7，4） C.（﹣3，0） D.（﹣3，8）
【举一反三5】将点K（﹣1，1）向右平移2个单位所得的对应点的坐标为 ．
【举一反三6】将点P（﹣2，﹣3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是 ．
【举一反三7】在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，4）向左平移3个单位后所得的点的坐标是 ．
【举一反三8】将点（1，2）向上平移3个单位，向左平移2个单位，平移后所得的点的坐标为 ．
【题型4】根据对称点的坐标确定对称轴
【典型例题】将平面直角坐标系内某图形上各个点的纵坐标都乘﹣1，横坐标不变，所得图形与原图形的关系是（ ）
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 C.沿x轴向左平移1个单位长度 D.沿y轴向下平移1个单位长度
【举一反三1】平面内点A（﹣1，2）和点B（1，2）的对称轴是（ ）
A.x轴 B.y轴 C.直线y＝4 D.直线x＝﹣1
【举一反三2】在平面直角坐标系内，点P（1，2），点Q（1，﹣2），那么点P与点Q的对称轴是 ．
【举一反三3】已知（如图所示）A（3，2），B（3，4），C（﹣4，﹣2），D（2，﹣2），
（1）A与B是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？画出对称轴；
（2）C与D是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？画出对称轴；
（3）已知点M（﹣1，﹣3），写出它关于x＝2对称的对称点N的坐标和它关于直线y＝1对称的对称点Q的坐标．
【题型5】根据平移前后的坐标写出平移的路线
【典型例题】在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的 ABCD，点A的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，﹣1）处，则此平移可以是（ ）
A.先向右平移5个单位，再向下平移1个单位
B.先向右平移5个单位，再向下平移3个单位
C.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
D.先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
【举一反三1】点（a﹣2，b+2）经过平移变换得到点（a，b），则这个平移变换是（ ）
A.先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
B.先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
C.先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
D.先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
【举一反三2】在直角坐标平面内，点P（﹣5，0）向 平移m（m＞0）个单位后落在第三象限．（填“上”或“下”或“左”或“右“）
【举一反三3】在如图所示的平面直角坐标系中，点A、B、C、D、E、F、G都在网格的交叉点上，已知点A的坐标是（0，3）．回答下列问题：
（1）B点的坐标是 ，D点的坐标是 ；
（2）这些点中到x轴的距离是5的点有 ；
（3）将点E怎样平移可以和点F重合？
【题型6】坐标与图形变换--轴对称
【典型例题】已知点P（2，﹣3）与点Q（2，3）关于某条直线对称，则这条直线是（ ）
A.x轴 B.y轴 C.过点（2，0）且垂直于x轴的直线 D.过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线
【举一反三1】点P（﹣2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是（ ）
A.关于直线x＝2对称 B.关于直线y＝2对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
【举一反三2】如图，将点A（﹣1，2）关于x轴作轴对称变换，则变换后点的坐标是（ ）
A.（1，2） B.（1，﹣2） C.（﹣1，﹣2） D.（﹣2，﹣1）
【举一反三3】在平面直角坐标系中，点A（3，0）关于直线y＝x对称的点A′的坐标为 ．
【举一反三4】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 ．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点D（0，1），已知AD＝5，△ABC关于直线l对称．
（1）求点A的坐标；
（2）若点C的坐标为（﹣2，﹣2），判断△ABC的形状，并说明理由．
【题型7】点的平移规律问题
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点O（0，0）第1次向右跳动1个单位至点P1（1，0），紧接着第2次向上跳动1个单位至点P2（1，1），第3次向左跳动2个单位至点P3（﹣1，1），第4次向上跳动1个单位至点P4，第5次又向右跳动3个单位至点P5，第6次向上跳动1个单位至点P6，…照此规律，P2026的坐标是（ ）
A.（﹣506，1012） B.（507，1012） C.（507，1013） D.（506，1013）
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系上有个点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点A2024的坐标是（ ）
A.（﹣506，1012） B.（﹣507，1012） C.（507，1012） D.（506，1013）
【举一反三2】在平面直角坐标系中，小张玩走棋游戏，其走法：棋子从点（1，0）位置出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完2023步时，棋子所处的位置坐标是（ ）
A.（2023，674） B.（2023，675） C.（2024，674） D.（2024，675）
【举一反三3】如图，将点A1（1，1）向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；将点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；将点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4…按这个规律平移得到点An，则点A2024的横坐标为（ ）
A.22024 B.22024﹣1 C.22023﹣1 D.22003+1
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，动点A从（1，0）出发，向上运动1个单位长度到达点B（1，1），分裂为两个点，分别沿BC，BD向左、右分别运动到点C（0，2）、点D（2，2），此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从 C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点G（﹣1，4）、H（1，4）、I（3，4），此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，从左往右数的第二个点的坐标是（ ）
A.（﹣2023，4048） B.（﹣2024，4048） C.（﹣2024，4046） D.（﹣2021，4048）
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，设一动点P自P0（2，0）处向下运动1个单位长度至P1（2，﹣1）处，然后向左运动2个单位长度至P2（0，﹣1）处，再向上运动2个单位长度至P3（0，1）处，再向左运动2个单位长度至P4（﹣2，1）处，再向下运动2个单位长度至P5（﹣2，﹣1）处，…，如此继续运动下去，设Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，…），则P2023的坐标是 ．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣6，﹣3），点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…；按这个规律平移，则A2024的横坐标为 ．
【举一反三7】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣6，﹣3），点A向右平移一个单位得到A1，再向上平移一个单位得到A2；点A2向右平移2个单位得到A3，再向上平移2个单位得到A4；点A4向右平移3个单位得到A5，再向上平移3个单位得到A6；…；按这个规律平移，则A2024的横坐标为 ．
【举一反三8】如图，点A（0，0），向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到点A1：点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向
上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3：点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4：……按这个规律平移得到点An，则点An的横坐标为 ．
【题型8】写出点关于x轴或y轴对称的点的坐标
【典型例题】在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（ ）
A.（3，﹣2） B.（3，2） C.（﹣3，﹣2） D.（﹣3，2）
【举一反三1】在直角坐标系中，点A（2，﹣8）、B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ）
A.（﹣2，﹣8） B.（2，8） C.（﹣2，8） D.（8，2）
【举一反三2】点（5，﹣2）关于x轴的对称点是（ ）
A.（5，﹣2） B.（5，2） C.（﹣5，2） D.（﹣5．﹣2）
【举一反三3】已知一点A（2，0），则点A关于y轴的对称点是（ ）
A.（﹣2，0） B.（0，﹣2） C.（0，2） D.（﹣2，﹣2）
【举一反三4】在直角坐标系中，点A（2，﹣8）、B关于y轴对称，则点B的坐标是（ ）
A.（﹣2，﹣8） B.（2，8） C.（﹣2，8） D.（8，2）
【举一反三5】在平面直角坐标系中，点A（3，1）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是 ．
【举一反三6】点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 ，关于y轴对称的点的坐标是 ．
【举一反三7】若（b+2）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为 ．
【举一反三8】在平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于x轴的对称点的坐标是（ ， ）；关于y轴的对称点的坐标是（ ， ）；关于原点的对称点的坐标是（ ， ）．
