5.3一次函数的意义
【知识点1】待定系数法求一次函数解析式 1
【知识点2】一次函数的定义 1
【知识点3】正比例函数的定义 2
【题型1】一次函数的定义 3
【题型2】用表格求一次函数表达式 3
【题型3】用待定系数法求一次函数表达式 4
【题型4】识别正比例函数 5
【题型5】根据正比例函数的定义求字母的值 6
【知识点1】待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．
1.（2024秋 莲池区校级期末）一次函数y=kx+b图象经过（1，1），（2，-4），则k与b的值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023春 攸县期末）一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），那么这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=-2x+3 B．y=-3x+2 C．y=3x-2 D．y=x-3
【知识点2】一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k=0，则y=b（b为常数），此时它不是一次函数．
1.（2025春 新华区校级期中）下列函数：①；②y=2x+1；③；④y=x2+1中，是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.（2025春 永春县期中）下列函数中，是y关于x的一次函数的是（ ）
A．y=3x-5 B．y=x2 C． D．
【知识点3】正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象．
1.（2025春 新华区校级月考）下列函数（1）y=πx；（2）y=-2x+1；（3）；（4）y=x2-1；（5）y=kx（k为常数）中，正比例函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.（2025春 澧县期末）若关于x的函数y=（m-1）x+m2-1是正比例函数，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．2
3.（2025春 霸州市期末）有下列式子：①y=-0.1x；②；③y=3x2；④y2=5x；其中表示y是x的正比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型1】一次函数的定义
【典型例题】下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A. y＝x2﹣5 B. y＝3 C. y＝kx+b D. y＝x﹣1
【举一反三1】下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A. y＝ B. y＝﹣x2+3 C. y＝ D. y＝2（1﹣x）+2x
【举一反三2】若关于x的函数y＝x|m|﹣1+9是一次函数，则m的值为 ．
【举一反三3】已知函数y＝（m﹣1） +2x+1为一次函数，则m＝ ．
【举一反三4】若函数y＝（m+3）﹣5是一次函数，求m的值．
【题型2】用表格求一次函数表达式
【典型例题】已知一次函数y＝kx+b（k.b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么k，b的值分别是（ ）
A. 1，1 B. 1，﹣1 C. ﹣1，1 D. ﹣1，﹣1
【举一反三1】小明根据某个一次函数关系式填写了如下的表格，其中有一格不慎被墨汁遮住了，想想看，该空格里原来填的数是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 4
【举一反三2】根据下表写出函数解析式（ ）
A. y＝x+3 B. y＝3x C. y＝0.5x+1 D. y＝0.1x+3
【举一反三3】如下表，已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m＝ ．
【举一反三4】小明根据某个一次函数关系式填写了下面的这张表：其中有一格不慎被墨迹遮住了．
（1）根据表中数据，求出该函数的解析式，并作出它的图象．
（2）该空格里原来填的数是多少？解释你的理由．
【举一反三5】某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数的关系，其中20≤x≤40．
（1）根据表格求y关于x的函数解析式；
（2）设销售这种产品每天的利润为W（元），求W关于销售单价x之间的函数解析式并求当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【题型3】用待定系数法求一次函数表达式
【典型例题】一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点的纵坐标为﹣5，且当x＝1时，y＝﹣2，那么这个函数的表达式是（ ）
A. y＝4x﹣6 B. y＝﹣3x﹣5 C. y＝3x+5 D. y＝3x﹣5
【举一反三1】一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（ ）
A. y＝ - B. y＝ C. y＝ D. y＝
【举一反三2】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+k平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为 ，y随x的增大而 ．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，直线AB经过A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点，求直线AB所对应的函数解析式．
【举一反三4】一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和点（4，6），
（1）求k与b；
（2）画出这个一次函数的图象．
【题型4】识别正比例函数
【典型例题】下列式子中，表示y是x的正比例函数的个数正确的为（ ）
（1）y＝﹣0.1x；
（2）y＝；
（3）y＝2x2；
（4）y2＝4x．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【举一反三1】在下列函数中是正比例函数的是（ ）
A. y＝3x﹣4 B. y＝﹣2x+1 C. y＝3x D. y＝4
【举一反三2】下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A. y＝x B. y＝2x+1 C. y＝ D. y＝x2
【举一反三3】下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A. y＝2x B. y＝ C. y＝ D. y＝2x2
【题型5】根据正比例函数的定义求字母的值
【典型例题】若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. 任意实数
【举一反三1】已知函数y＝x+k﹣1是正比例函数，则常数k的值为（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. ±1
【举一反三2】若y＝（|k|﹣2）x2+（k﹣2）x是y关于x的正比例函数，则k的值为（ ）
A. ±2 B. ﹣2 C. 2 D. 3
【举一反三3】若函数y＝x+b﹣2是关于x的正比例函数，则b的值为 ．
【举一反三4】已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝2时，求y的值．5.3一次函数的意义
【知识点1】待定系数法求一次函数解析式 1
【知识点2】一次函数的定义 2
【知识点3】正比例函数的定义 3
【题型1】一次函数的定义 5
【题型2】用表格求一次函数表达式 6
【题型3】用待定系数法求一次函数表达式 9
【题型4】识别正比例函数 11
【题型5】根据正比例函数的定义求字母的值 13
【知识点1】待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．
1.（2024秋 莲池区校级期末）一次函数y=kx+b图象经过（1，1），（2，-4），则k与b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于一次函数y=kx+b图象经过（1，1），（2，-4），应用待定系数法即可求出函数的解析式．
【解答】解：把（1，1），（2，-4）代入一次函数y=kx+b,
得，
解得：．
故选：C．
2.（2023春 攸县期末）一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），那么这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=-2x+3 B．y=-3x+2 C．y=3x-2 D．y=x-3
【答案】A
【分析】根据一次函数解析式的特点，把点（2，-1）和（0，3）的坐标代入，解方程组求出k和b的值即可．
【解答】根据一次函数解析式的特点，可得出方程组
解得k=-2，b=3，将其代入数y=kx+b即可得到：y=-2x+3．
故选：A．
【知识点2】一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k=0，则y=b（b为常数），此时它不是一次函数．
1.（2025春 新华区校级期中）下列函数：①；②y=2x+1；③；④y=x2+1中，是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此判断即可．
【解答】解：一次函数有①②③，共3个，
故选：B．
2.（2025春 永春县期中）下列函数中，是y关于x的一次函数的是（ ）
A．y=3x-5 B．y=x2 C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的定义“若两个变量x和y之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数”逐项判断即可．
【解答】解：y=3x-5是y关于x的一次函数，
∴A符合题意；
y=x2是y关于x的二次函数，
∴B不符合题意；
y=是y关于x的反比例函数，
∴C不符合题意；
y=是y关于x的反比例函数，
∴D不符合题意．
故选：A．
【知识点3】正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象．
1.（2025春 新华区校级月考）下列函数（1）y=πx；（2）y=-2x+1；（3）；（4）y=x2-1；（5）y=kx（k为常数）中，正比例函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义解答即可．
【解答】解：（1）y=πx是正比例函数，符合题意；
（2）y=2x+1，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意；
（3）不是正比例函数，不符合题意；
（4）y=x2-1不是正比例函数，不符合题意；
（5）y=kx（k是常数），当k=0时，不是函数，不符合题意；
所以是正比例函数的个数有1个，
故选：A．
2.（2025春 澧县期末）若关于x的函数y=（m-1）x+m2-1是正比例函数，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．2
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义解答即可．
【解答】解：∵关于x的函数y=（m-1）x+m2-1是正比例函数，
∴m-1≠0，m2-1=0，
∴m=-1，
故选：B．
3.（2025春 霸州市期末）有下列式子：①y=-0.1x；②；③y=3x2；④y2=5x；其中表示y是x的正比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，据此进行判断即可．
【解答】解：y=-0.1x符合正比例函数的定义，则①是正比例函数，
y=x符合正比例函数的定义，则②是正比例函数，
y=3x2不符合正比例函数的定义，则③不是正比例函数，
y2=5x不符合正比例函数的定义，则④不是正比例函数，
综上，y是x的正比例函数的有2个，
故选：B．
【题型1】一次函数的定义
【典型例题】下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A. y＝x2﹣5 B. y＝3 C. y＝kx+b D. y＝x﹣1
【答案】D
【解析】A.自变量x的次数是2，不是一次函数，故此选项不符合题意；
B.没有自变量，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C.自变量x的系数k可能为0，故此选项不符合题意；
D.是一次函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【举一反三1】下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A. y＝ B. y＝﹣x2+3 C. y＝ D. y＝2（1﹣x）+2x
【答案】A
【解析】A.y＝是一次函数，故此选项符合题意；
B.y＝﹣x2+3是二次函数，故此选项不符合题意；
C.y＝不是一次函数，是反比例函数，故此选项不符合题意；
D.y＝2（1﹣x）+2x＝2﹣2x+2x＝2不是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【举一反三2】若关于x的函数y＝x|m|﹣1+9是一次函数，则m的值为 ．
【答案】±2
【解析】由题意得：
|m|﹣1＝1，
∴m＝±2，
故答案为：±2．
【举一反三3】已知函数y＝（m﹣1） +2x+1为一次函数，则m＝ ．
【答案】1或0
【解析】由一次函数的定义可得：
m2＝1或0，m﹣1≠﹣2，
∴m＝1或0，
故答案为：1或0．
【举一反三4】若函数y＝（m+3）﹣5是一次函数，求m的值．
【答案】解 根据一次函数的定义得m+3≠0且m2﹣8＝1，
由m+3≠0解得m≠﹣3，
由m2﹣8＝1解得m＝±3，
∴m＝3．
故m的值为3．
【题型2】用表格求一次函数表达式
【典型例题】已知一次函数y＝kx+b（k.b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么k，b的值分别是（ ）
A. 1，1 B. 1，﹣1 C. ﹣1，1 D. ﹣1，﹣1
【答案】C
【解析】把x＝﹣2，y＝3，x＝0，y＝1代入解析式可得：
，
解得： ，
所以解析式为：y＝﹣x+1．
故选：C．
【举一反三1】小明根据某个一次函数关系式填写了如下的表格，其中有一格不慎被墨汁遮住了，想想看，该空格里原来填的数是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】设y＝kx+b，
由表格可知，一次函数经过点（0，2），（1，0），
则有，
解得，
∴y＝﹣2x+2，
当x＝﹣1时，y＝4，
故选：D．
【举一反三2】根据下表写出函数解析式（ ）
A. y＝x+3 B. y＝3x C. y＝0.5x+1 D. y＝0.1x+3
【答案】D
【解析】取x＝0，y＝3；x＝5，y＝3.5代入各选项可得：
A.当x＝5时，不满足y＝3.5，故本选项错误；
B.当x＝5时，不满足y＝3.5，故本选项错误；
C.当x＝0时，不满足y＝3，故本选项错误；
D.将两点代入都满足，故本选项正确．
故选：D．
【举一反三3】如下表，已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m＝ ．
【答案】1
【解析】设一次函数解析式为y＝kx+b，
把x＝1，y＝3；x＝2，y＝5代入得，解得，
所以一次函数解析式为y＝2x+1，
当x＝0时，y＝2x+1＝1，
即m＝1．
故答案为1．
【举一反三4】小明根据某个一次函数关系式填写了下面的这张表：其中有一格不慎被墨迹遮住了．
（1）根据表中数据，求出该函数的解析式，并作出它的图象．
（2）该空格里原来填的数是多少？解释你的理由．
【答案】解：由表格可知函数的图象经过点A（0，1），B（1，0）．
（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），由题意可得：
0＝k+b且1＝b，
则：y＝﹣x+1，图象如下图所示：
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）+1＝2，
所以空格里原来填的数是2．
【举一反三5】某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数的关系，其中20≤x≤40．
（1）根据表格求y关于x的函数解析式；
（2）设销售这种产品每天的利润为W（元），求W关于销售单价x之间的函数解析式并求当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝25.y＝30；x＝30.y＝2代入y＝kx+b得：
，解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+80；
（2）根据题意得：
W＝y（x﹣20）
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，W取最大值200，
答：W关于销售单价x的函数解析式为W＝＝﹣2x2+120x﹣1600，当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．
【题型3】用待定系数法求一次函数表达式
【典型例题】一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点的纵坐标为﹣5，且当x＝1时，y＝﹣2，那么这个函数的表达式是（ ）
A. y＝4x﹣6 B. y＝﹣3x﹣5 C. y＝3x+5 D. y＝3x﹣5
【答案】D
【解析】把（1，﹣2）.（0，﹣5）代入y＝kx+b中，
得，
解得．
故一次函数的解析式是y＝3x﹣5．
故选：D．
【举一反三1】一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（ ）
A. y＝ - B. y＝ C. y＝ D. y＝
【答案】D
【解析】设一次函数y＝kx+b的图象经过两点（2，1）和（﹣1，﹣3），
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：y＝x﹣．
故选：D．
【举一反三2】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+k平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为 ，y随x的增大而 ．
【答案】y＝﹣x+10 减小
【解析】设一次函数解析式为y＝ax+b，
由题意可得出方程组 ，
解得： ，
那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10．
∵a＝﹣1，
∴y随x的增大而减小，
故答案为y＝﹣x+10，减小．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，直线AB经过A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点，求直线AB所对应的函数解析式．
【答案】解：设直线AB解析式为y＝kx+b，
把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入得： ，
①﹣②得：5k＝5，即k＝1，
把k＝1代入①得：B＝1，
则直线AB所对应的解析式为y＝x+1．
【举一反三4】一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和点（4，6），
（1）求k与b；
（2）画出这个一次函数的图象．
【答案】解：（1）∵y＝kx+b的图象经过点（1，3）和点（4，6）．
∴，
解得；
（2）由（1）知，一次函数解析式为y＝x+2，
过（0，2）和（1，3）点作y＝x+2的图象．
【题型4】识别正比例函数
【典型例题】下列式子中，表示y是x的正比例函数的个数正确的为（ ）
（1）y＝﹣0.1x；
（2）y＝；
（3）y＝2x2；
（4）y2＝4x．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】（1）y＝﹣0.1x，是正比例函数；
（2）y＝，是正比例函数；
（3）y＝2x2，是二次函数，不是正比例函数；
（4）y2＝4x不是正比例函数；
故选：B．
【举一反三1】在下列函数中是正比例函数的是（ ）
A. y＝3x﹣4 B. y＝﹣2x+1 C. y＝3x D. y＝4
【答案】C
【解析】A．y＝3x﹣4为一次函数，但不是正比例函数，所以A选项不符合题意；
B．y＝﹣2x+1为一次函数，但不是正比例函数，所以B选项不符合题意；
C．y＝3x是正比例函数，所以C选项符合题意；
D．y＝4为常函数，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【举一反三2】下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A. y＝x B. y＝2x+1 C. y＝ D. y＝x2
【答案】A
【解析】A.y＝x，y是x的正比例函数，符合题意；
B.y＝2x+1，y是x的一次函数，不符合题意；
C.y＝，y是x的反比例函数，不符合题意；
D.y＝x2，y是x的二次函数，不符合题意．
故选：A．
【举一反三3】下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A. y＝2x B. y＝ C. y＝ D. y＝2x2
【答案】A
【解析】A．y＝2x，是正比例函数，故该选项正确，符合题意；
B.y＝，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意；
C.y＝，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意；
D.y＝2x2，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意．
故选：A．
【题型5】根据正比例函数的定义求字母的值
【典型例题】若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（ ）
A. 0 B. ﹣1 C. 1 D. 任意实数
【答案】A
【解析】∵y＝x+b是正比例函数，
∴b＝0．
故选：A．
【举一反三1】已知函数y＝x+k﹣1是正比例函数，则常数k的值为（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. ±1
【答案】C
【解析】由题意可得：k﹣1＝0，
解得k＝1，
故选：C．
【举一反三2】若y＝（|k|﹣2）x2+（k﹣2）x是y关于x的正比例函数，则k的值为（ ）
A. ±2 B. ﹣2 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】∵根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k|﹣2＝0，
∴k＝﹣2．
故选：B．
【举一反三3】若函数y＝x+b﹣2是关于x的正比例函数，则b的值为 ．
【答案】2
【解析】根据正比例函数定义可得b﹣2＝0，
解得：B＝2，
故答案为：2．
【举一反三4】已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝2时，求y的值．
【答案】解：（1）设y＝kx（k≠0），把x＝﹣1，y＝3代入y＝kx，
得k＝﹣3，
所以y＝﹣3x．
（2）把x＝2代入y＝﹣3x，
得y＝﹣3×2＝﹣6．
