5.5一次函数的简单应用
【知识点1】一次函数的应用 1
【知识点2】根据实际问题列一次函数关系式 2
【题型1】一次函数与一元一次不等式 3
【题型2】利用一次函数选择方案 5
【题型3】一次函数与二元一次方程组 7
【题型4】一次函数的综合应用 8
【知识点1】一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
1.（2025春 福州期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．乙用16分钟追上甲
B．乙的速度是60米/分钟
C．乙到达终点时，甲离终点还有800米
D．当乙出发40分钟时，甲、乙两人的距离最远
2.（2025 沈丘县一模）已知某吊绳能吊起的重物质量不超过8吨，当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（ ）
A．y=0.3x+5（0≤x≤8） B．y=5x+0.3（0≤x≤8）
C．y=0.3x-5（0≤x≤8） D．y=5-0.3x（0≤x≤8）
【知识点2】根据实际问题列一次函数关系式
根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
1.（2014 泗县校级模拟）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为（ ）
A．S=3n B．S=3（n-1） C．S=3n-1 D．S=3n+1
2.（2015春 邵阳县期末）已知等腰三角形的周长为20cm,底边长为ycm,腰长为xcm,则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=20-2x（0＜x＜10） B．y=10-x（0＜x＜10）
C．y=20-2x（5＜x＜10） D．y=10-x（5＜x＜10）
【题型1】一次函数与一元一次不等式
【典型例题】直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为（ ）
A. x＞﹣1 B. x＜﹣1 C. x＜﹣2 D. x＞﹣2
【举一反三1】如图，已知直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象，下列结论中错误的是（ ）
A. a＞0 B. b＞0 C. x＝﹣2是方程3x+b＝ax﹣2的解 D. x＞﹣2是不等式ax﹣2＞3x+b的解集
【举一反三2】如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，6），则不等式kx+b＞6的解集为（ ）
A. x＞﹣3 B. x＜﹣3 C. x＜6 D. x＞6
【举一反三3】已知一次函数y1＝（k﹣1）x+2和y2＝2x﹣1．
（1）若当x＝2时，y1＝y2，则k的值为 ；
（2）若当x＞2时，y1＜y2，则k的取值范围为 ．
【举一反三4】一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．
（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是 ；
（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．
①求点B的坐标；
②求a的值．
【举一反三5】如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y＝与坐标轴交于C、D两点．
（1）求交点E的坐标；
（2）直接写出不等式kx+b＞的解集；
【题型2】利用一次函数选择方案
【典型例题】某地电话拨号入网有两种收费方式：A计时制：每分0.05元；B包月制：每月50元．此外，每一种上网方式都得加收通信费每分钟0.02元．某用户估计一个月上网时间为20小时，你认为采用哪种收费方式较为合算？（ ）
A. 计时制 B. 包月制 C. 两种一样 D. 不确定
【举一反三1】如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A. 若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
B. 若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元
C. 若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D. 若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
【举一反三2】某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B种方式是月租0元．一个月本地网内打出电话费S（元）与打出时间t（分）的函数图象如图所示，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差（ ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
【举一反三3】黄冈市某超市对顾客优惠购物，规定如下：
①一次购物少于100元，则不予优惠；
②一次购物满100元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
③一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；
小李两次去该超市购物，分别付款99元和530元，现在小张决定一次去购买小李分两次购买的同样多的物品，小张需付 元．
【举一反三4】某通讯公司有两种电话计费方式：A套餐是月租20元，B套餐是月租0元，一个月内本地通话时间t（分）与费用S（元）的函数关系如图所示．下列结论正确的是 ．
①A方式的最低消费20元；
②当通话100分钟时，两种方式的费用都是30元；
③当打出电话150分钟时，每分钟收费A方式比B方式便宜0.1元．
【举一反三5】我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
（1）求A，B两种树苗每棵各多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
（3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？
【举一反三6】为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共20棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量的2倍，求购买A种树苗多少棵时费用最小？并求出最小费用．
【题型3】一次函数与二元一次方程组
【典型例题】如图中的两直线l1.l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】直线y＝x+1与y＝﹣2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
【举一反三2】如图，一次函数y＝x+1与y＝ax+5的图象相交于点P，点P的横坐标为2，那么关于x，y的方程组的解为 ．
【举一反三3】已知：直线l1的解析式为y1＝x+1，直线l2的解析式为y2＝ax+b（a≠0）；两条直线如图所示，这两个图象的交点在y轴上，直线l2与x轴的交点B的坐标为（2，0）
（1）求a，b的值；
（2）求使得y1.y2的值都大于0的取值范围；
（3）求这两条直线与x轴所围成的△ABC的面积是多少？
（4）在直线AC上是否存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等？请直接写出点P的坐标．
【题型4】一次函数的综合应用
【典型例题】皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N+，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横.纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（ ）
A. 266 B. 270 C. 271 D. 285
【举一反三1】周末小晨.小亮相约进行长跑比赛，两人同时起跑，刚跑出350米，小亮发现重要物品落在出发地，立刻原速返回，取回后以更快的速度投入比赛，若他们距离出发地y（m）与比赛时间x（min）的关系如图，下列说法正确的个数有（ ）
（1）小亮共跑了5200m；
（2）小晨全程的平均速度为250m/min；
（3）两人起跑以后第一次相遇时间为；
（4）小亮再次投入比赛后在距离终点750m时追上了小晨．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【举一反三2】如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣10，1），若直线同时经过点A，B，C，D，E，则k与b的乘积为（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. ﹣5 D. 5
【举一反三3】如果点A的坐标为（xA，yA），点B的坐标为（xB，yB），则线段AB中点坐标为（，）．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，2），四边形ABDE是菱形，D的坐标为（16，10）．若直线l把矩形OABC和菱形ABDE组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A. y＝2x+11 B. y＝﹣2x+12 C. y＝x﹣ D. y＝﹣x+
【举一反三4】小杨为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．这个娱乐场所的长与宽之间满足a＝b，而小杨设计的长方形游泳区的长和宽分别为m和n，其中m＝ b，请用a的代数式表示绿地的面积为 ．
【举一反三5】以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表
根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是 ．
【举一反三6】杆秤是衡器中历史最悠久的一种，作为商品流通的主要度量工具，代代相传，其大致示意图如图所示．当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为4 cm，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加1kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8 cm，请你写出秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与秤钩所挂重物x（kg）之间的函数关系式： ．
【举一反三7】小杨为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．这个娱乐场所的长与宽之间满足a＝b，而小杨设计的长方形游泳区的长和宽分别为m和n，其中m＝ b，请用a的代数式表示绿地的面积为 ．5.5一次函数的简单应用
【知识点1】一次函数的应用 1
【知识点2】根据实际问题列一次函数关系式 3
【题型1】一次函数与一元一次不等式 4
【题型2】利用一次函数选择方案 8
【题型3】一次函数与二元一次方程组 12
【题型4】一次函数的综合应用 15
【知识点1】一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
1.（2025春 福州期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．乙用16分钟追上甲
B．乙的速度是60米/分钟
C．乙到达终点时，甲离终点还有800米
D．当乙出发40分钟时，甲、乙两人的距离最远
【答案】D
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确如下：
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，
乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故A选项错误；
设乙速度为x米/分，
由题意得：16×60=12x,
解得：x=80．
∴乙的速度为80米/分．故B选项错误；
∴乙走完全程的时间为（分），
乙到达终点时，甲走了44分钟，
甲离终点距离是：3200-44×60=560米，故C选项错误；
由图可知，乙到达终点时，甲乙两人之间的距离最远，最远距离是560米，故D选项正确；
故选：D．
2.（2025 沈丘县一模）已知某吊绳能吊起的重物质量不超过8吨，当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（ ）
A．y=0.3x+5（0≤x≤8） B．y=5x+0.3（0≤x≤8）
C．y=0.3x-5（0≤x≤8） D．y=5-0.3x（0≤x≤8）
【答案】A
【分析】根据题意即可得到函数关系式．
【解答】解：在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y=0.3x+5（0≤x≤8），
故选：A．
【知识点2】根据实际问题列一次函数关系式
根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
1.（2014 泗县校级模拟）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为（ ）
A．S=3n B．S=3（n-1） C．S=3n-1 D．S=3n+1
【答案】B
【分析】由图可知：
第一图：有花盆3个，每条边有2盆花，那么3=3×（2-1）；
第二图：有花盆6个，每条边有3盆花，那么6=3×（3-1）；
第三图：有花盆9个，每条边有4盆花，那么9=3×（4-1）；
…
由此可知S与n的关系式为S=3（n-1）．
【解答】解：根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．
所以S=3n-3，即S=3（n-1）．
故选：B．
2.（2015春 邵阳县期末）已知等腰三角形的周长为20cm,底边长为ycm,腰长为xcm,则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=20-2x（0＜x＜10） B．y=10-x（0＜x＜10）
C．y=20-2x（5＜x＜10） D．y=10-x（5＜x＜10）
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可得y=20-2x,根据两边之和大于第三边两边之差小于第三边，得5＜x＜10；注意取值范围．
【解答】解：∵等腰三角形周长为20cm,腰长为xcm,底边为ycm,
∴y=20-2x；
又两边之和大于第三边两边之差小于第三边，
∴，
解得：5＜x＜10；
所以y=20-2x（5＜x＜10）．
故选：C．
【题型1】一次函数与一元一次不等式
【典型例题】直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为（ ）
A. x＞﹣1 B. x＜﹣1 C. x＜﹣2 D. x＞﹣2
【答案】B
【解析】由图象知：x的不等式k1x+b＞k2x的解集为x＜﹣1，
故选：B．
【举一反三1】如图，已知直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象，下列结论中错误的是（ ）
A. a＞0 B. b＞0 C. x＝﹣2是方程3x+b＝ax﹣2的解 D. x＞﹣2是不等式ax﹣2＞3x+b的解集
【答案】D
【解析】由图象可知，a＞0，b＞0，故A不符合题意，B不符合题意；
当x＝﹣2时，直线y＝3x+b与直线y＝ax﹣2相交，即方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝﹣2，故C不符合题意；
x＜﹣2是不等式ax﹣2＞3x+b的解集，故D符合题意，
故选：D．
【举一反三2】如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，6），则不等式kx+b＞6的解集为（ ）
A. x＞﹣3 B. x＜﹣3 C. x＜6 D. x＞6
【答案】A
【解析】观察图象知：当x＞﹣3时，kx+b＞6，
故选：A．
【举一反三3】已知一次函数y1＝（k﹣1）x+2和y2＝2x﹣1．
（1）若当x＝2时，y1＝y2，则k的值为 ；
（2）若当x＞2时，y1＜y2，则k的取值范围为 ．
【答案】（1） （2）k
【解析】（1）当x＝2时，y1＝y2，
∴2（k﹣1）+2＝2×2﹣1，
∴k＝，
故答案为：；
（2）∵y1＜y2，
∴（k﹣1）x+2＜2x﹣1，
（3﹣k）x＞3，
∵x＞2，
∴≤2，
∴k，
故答案为：k．
【举一反三4】一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．
（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是 ；
（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．
①求点B的坐标；
②求a的值．
【答案】解：（1）∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2；
（2）①∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，
∴，得，
∴一次函数y1＝2x+4，
∵不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1，
∴点B的横坐标是x＝1，
当x＝1时，y1＝2×1+4＝6，
∴点B的坐标为（1，6）；
②∵点B（1，6），
∴6＝﹣4×1+a，得a＝10，
即a的值是10．
【举一反三5】如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y＝与坐标轴交于C、D两点．
（1）求交点E的坐标；
（2）直接写出不等式kx+b＞的解集；
【答案】解:（1）由题意得，
解得，
故直线AB的解析式是y＝﹣2x+2，
则，
解得，
故点E的坐标是（2，﹣2）；
（2）由图象可知，x＜2时，y＝kx+b的图象在y=的图象的上方，
故不等式 kx+b＞ 的解集是x＜2；
【题型2】利用一次函数选择方案
【典型例题】某地电话拨号入网有两种收费方式：A计时制：每分0.05元；B包月制：每月50元．此外，每一种上网方式都得加收通信费每分钟0.02元．某用户估计一个月上网时间为20小时，你认为采用哪种收费方式较为合算？（ ）
A. 计时制 B. 包月制 C. 两种一样 D. 不确定
【答案】B
【解析】根据题意，计时制 y＝（0.05+0.02） 60x＝4.2x；
包月制 y＝50+0.02 60x＝50+1.2x；
当x＝20时，计时制费用 y＝4.2×20＝84（元）；
包月制费用 y＝50+1.2×20＝74（元），
所以 一个月内上网的时间为20小时，采用包月制较为合算．
故选：B．
【举一反三1】如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A. 若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
B. 若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元
C. 若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D. 若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
【答案】A
【解析】A方案的函数解析式为：yA＝
B方案的函数解析式为：yB＝
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将yA＝40或60代入，得x＝145分或195分，故A错误；
观察函数图象可知，B、C、D正确．
故选：A．
【举一反三2】某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B种方式是月租0元．一个月本地网内打出电话费S（元）与打出时间t（分）的函数图象如图所示，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差（ ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
【答案】B
【解析】设A种方式话费单价为x元，B种方式话费单价y元，
20+100x＝30，解得x＝0.1，
100y＝30，解得y＝0.3，
打出150分钟，
A种方式：20+150×0.1＝35（元），
B种方式：0.3×150＝45（元），
∴相差45﹣35＝10（元），
故选：B．
【举一反三3】黄冈市某超市对顾客优惠购物，规定如下：
①一次购物少于100元，则不予优惠；
②一次购物满100元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
③一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；
小李两次去该超市购物，分别付款99元和530元，现在小张决定一次去购买小李分两次购买的同样多的物品，小张需付 元．
【答案】609.2或618
【解析】（1）设购物钱数为x元时，需付钱数为y元，
根据题意，0≤x＜100时，y＝x…①；
100≤x≤500时，y＝0.9x…②；
x＞500时，y＝0.8×（x﹣500）+0.9×500
即y＝0.8x+50…③；
（2）当付款99元未打折时，实际付99元；当付款99元打折时，实际付110元；
530元的是打折后花的钱，设不打折需花a元：
（a﹣500）×0.8+500×0.9＝530，得a＝600元，
两次购买商品的总额为99+600＝699元或110+600＝710元，
（699﹣500）×0.8+500×0.9＝609.2元，（710﹣500）×0.8+500×0.9＝618元，
则一次去购买小李分两次购买的同样多的物品实际付款为609.2元或618元．
【举一反三4】某通讯公司有两种电话计费方式：A套餐是月租20元，B套餐是月租0元，一个月内本地通话时间t（分）与费用S（元）的函数关系如图所示．下列结论正确的是 ．
①A方式的最低消费20元；
②当通话100分钟时，两种方式的费用都是30元；
③当打出电话150分钟时，每分钟收费A方式比B方式便宜0.1元．
【答案】①②
【解析】①正确，因为A套餐最少交纳20元月租；
根据图象，100分钟时，两图象交点纵坐标是30，所以②正确；
B套餐每分钟单价，30÷100＝0.3元，A套餐除月租外，每分钟单价：（30﹣20）÷100＝0.1元，150分钟时，A套餐花费，20+150×0.1＝35元，平均单价为35÷150≈0.23元，B套餐单价仍然是0.3元，所以相差0.07元，③错误；
故答案为：①②．
【举一反三5】我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
（1）求A，B两种树苗每棵各多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
（3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？
【答案】解：（1）设A种树苗每棵a元，B种树苗每棵b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元；
（2）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（100﹣x）棵，
由题意可得：，
解得，52≤x≤53，
∵x为整数，
∴x＝52或53，
∴共有两种方案，
方案一：购买A种树苗52棵，购买B种树苗48棵；
方案二：购买A种树苗53棵，购买B种树苗47棵；
（3）由题意可得，
方案一需要付的工钱为：30×52+20×48＝2520（元），
方案一需要付的工钱为：30×53+20×47＝2530（元），
答：方案一付的工钱少，最少工钱是2520元．
【举一反三6】为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共20棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量的2倍，求购买A种树苗多少棵时费用最小？并求出最小费用．
【答案】解：（1）由题意可得，
y＝90（20﹣x）+70x＝﹣20x+1800，
即y与x的函数关系式为y＝﹣20x+1800；
（2）∵购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量的2倍，
∴20﹣x≥2x，
解得，x≤，
∵y＝﹣20x+1800，x为整数，
∴当x＝6时，y取得最小值，此时y＝1680，20﹣x＝14，
答：购买A种树苗，14棵时费用最小，最小费用是1680元．
【题型3】一次函数与二元一次方程组
【典型例题】如图中的两直线l1.l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于直线l1经过点（0，﹣1），（3，﹣2）；因此直线l1的解析式为y＝﹣x﹣1；
同理可求得直线l2的解析式为y＝﹣2x+4；
因此直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解．
故选：A．
【举一反三1】直线y＝x+1与y＝﹣2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】联立，
解得：，
∵交点在第一象限，
∴，
解得：a＞1．
故选：D．
【举一反三2】如图，一次函数y＝x+1与y＝ax+5的图象相交于点P，点P的横坐标为2，那么关于x，y的方程组的解为 ．
【答案】
【解析】把x＝2代入y＝x+1得，y＝2+1＝3，
∵一次函数y＝x+1与y＝ax+5的图象相交于点P（2，3），则关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
【举一反三3】已知：直线l1的解析式为y1＝x+1，直线l2的解析式为y2＝ax+b（a≠0）；两条直线如图所示，这两个图象的交点在y轴上，直线l2与x轴的交点B的坐标为（2，0）
（1）求a，b的值；
（2）求使得y1.y2的值都大于0的取值范围；
（3）求这两条直线与x轴所围成的△ABC的面积是多少？
（4）在直线AC上是否存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等？请直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）由直线l1的解析式为y1＝x+1，可求得C（0，1）；
则依题意可得：，
解得：a=-．
（2）由（1）知，直线l2：y＝﹣x+1；
∵y1＝x+1＞0，∴x＞﹣1；
∵
∴x＜2；
∴﹣1＜x＜2．
（3）由题意知A（﹣1，0），则AB＝3，且OC＝1；
∴S△ABC＝AB OC＝．
（4）由于△ABC.△ABP同底，若面积相等，则P点纵坐标为﹣1，代入直线l1可求得：
P的坐标为（﹣2，﹣1）．
【题型4】一次函数的综合应用
【典型例题】皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N+，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横.纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（ ）
A. 266 B. 270 C. 271 D. 285
【答案】C
【解析】由A（0，30）可知边OA上有31个格点（含点O，A），
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴当x为小于或等于20的正偶数时y也为整数，即OB边上有10个格点（不含端点O，含端点B）；
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+30，
∴当0＜x＜20且x为整数时，y均为整数，故边AB上有19个格点（不含端点），
∴L＝31+19+10＝60，
∵△ABO的面积为S＝×30×20＝300，
∴300＝N+×60﹣1，
∴N＝271．
故选：C．
【举一反三1】周末小晨.小亮相约进行长跑比赛，两人同时起跑，刚跑出350米，小亮发现重要物品落在出发地，立刻原速返回，取回后以更快的速度投入比赛，若他们距离出发地y（m）与比赛时间x（min）的关系如图，下列说法正确的个数有（ ）
（1）小亮共跑了5200m；
（2）小晨全程的平均速度为250m/min；
（3）两人起跑以后第一次相遇时间为；
（4）小亮再次投入比赛后在距离终点750m时追上了小晨．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】由图象可知，小亮共跑了350×2+4500＝5200（m），故（1）正确；
∵4500÷18＝250（m/min），
∴小晨全程的平均速度为250m/min，故（2）正确；
∵700÷2.5＝280（m/min），
∴小亮最初速度为280m/min，
设两人起跑以后第一次相遇用x min，
则280x+250x＝350×2，
解得x＝，
∴两人起跑以后第一次相遇用 min，故（3）错误；
小亮再次投入比赛的速度为＝300（m/min），
设小亮再次投入比赛后在距离终点y m时追上了小晨，
则＝﹣2.5，
解得y＝750，
∴小亮再次投入比赛后在距离终点750m时追上了小晨．故（4）正确，
∴正确的有3个，
故选：C．
【举一反三2】如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣10，1），若直线同时经过点A，B，C，D，E，则k与b的乘积为（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. ﹣5 D. 5
【答案】B
【解析】如图所示，设y＝kx+b（k≠0）与x，y轴的交点分别为G，F，BH⊥AH于点H，
∴F（0，b），G（-，0），
依题意，AH∥GO，BH∥FO，
∴∠BAH＝∠FGO，∠AHB＝∠GOF＝90°
∴△ABH∽△GOF
∵每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，
∴，
∴，即k＝，
∴直线解析式为y＝ +b，
将点A（﹣10，1）代入得，1＝，
解得b＝6，
∴kb＝＝3．
故选：B．
【举一反三3】如果点A的坐标为（xA，yA），点B的坐标为（xB，yB），则线段AB中点坐标为（，）．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，2），四边形ABDE是菱形，D的坐标为（16，10）．若直线l把矩形OABC和菱形ABDE组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A. y＝2x+11 B. y＝﹣2x+12 C. y＝x﹣ D. y＝﹣x+
【答案】C
【解析】连接AD，OB，取AD的中点K，OB的中点T，如图：
由矩形和菱形的中心对称性可知，直线l过矩形OABC和菱形ABDE的对称中心，即直线l过K和T，
∵B（10，2），
∴A（0，2），
∵D（16，10），
∴T（5，1），K（8，6），
设直线l解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y＝x﹣．
故选：C．
【举一反三4】小杨为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．这个娱乐场所的长与宽之间满足a＝b，而小杨设计的长方形游泳区的长和宽分别为m和n，其中m＝ b，请用a的代数式表示绿地的面积为 ．
【答案】
【解析】B＝a＝a，
n＝b＝a＝a，
绿地面积：
ab﹣mn﹣
＝a×a﹣a×a﹣
＝
＝，
故答案为：．
【举一反三5】以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表
根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是 ．
【答案】﹣40
【解析】通过表格中数据可知华氏温度为y（℉）与摄氏温度为x（℃）之间满足一次函数关系，
设华氏温度为y（℉）与摄氏温度为x（℃）之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，
得，
解得，
即y＝1.8x+32，
当y＝x时，x＝1.8x+32，
解得：x＝﹣40．
因此当华氏﹣40度时，摄氏也是﹣40度．
故答案为：﹣40．
【举一反三6】杆秤是衡器中历史最悠久的一种，作为商品流通的主要度量工具，代代相传，其大致示意图如图所示．当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为4 cm，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加1kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8 cm，请你写出秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与秤钩所挂重物x（kg）之间的函数关系式： ．
【答案】y＝8x+4
【解析】由题意可得，y＝4+8x，
故答案为：y＝8x+4．
【举一反三7】小杨为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．这个娱乐场所的长与宽之间满足a＝b，而小杨设计的长方形游泳区的长和宽分别为m和n，其中m＝ b，请用a的代数式表示绿地的面积为 ．
【答案】
【解析】B＝a＝a，
n＝b＝a＝a，
绿地面积：
ab﹣mn﹣
＝a×a﹣a×a﹣
＝
＝，
故答案为：．
