1.3绝对值
【知识点1】绝对值 1
【知识点2】非负数的性质：绝对值 2
【题型1】绝对值的实际应用 2
【题型2】利用绝对值的非负性求最值 3
【题型3】利用绝对值的非负性求值 4
【题型4】利用数轴求绝对值 4
【题型5】利用绝对值的定义求数的绝对值 5
【题型6】绝对值的化简 5
【知识点1】绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）
1.（2025 铁东区校级模拟）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．-（-2）和2 B．和-2
C．-（+3）和+（-3） D．-（-5）和-|+5|
2.（2025 瑶海区二模）2025的绝对值是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
3.（2025 张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．-（+5）与+（-5） B．与-（+0.5）
C．-|-0.01|与-（-） D．与0.3
【知识点2】非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
1.（2024秋 赛罕区校级月考）若|x+3|+|y-2|=0，则x+y的值是（ ）
A．5 B．-1 C．8 D．-5
2.（2024秋 凤翔区期中）若|a-3|与|b-5|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．8 B．-8 C．0 D．8或-8
3.（2024秋 渝中区校级月考）若|x-2|+|y-3|=0，则x2+y的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-7 D．7
【题型1】绝对值的实际应用
【典型例题】某圆形零件的直径要求是50±0.2 mm，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以50 mm为标准值）则在这6个产品中合格的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三1】检测4个排球的重量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A.+1 B.+0.5 C.﹣0.4 D.﹣1.2
【举一反三2】正式排球比赛时所使用的排球质量是由严格规定的，检查了4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号+15，②号+25，③号﹣5，④号﹣10，那么质量最好的排球是（ ）
A.①号 B.②号 C.③号 D.④号
【举一反三3】按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“+、﹣”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 饼干．
【举一反三4】质检员抽查某种零件的加工质量，超过标准尺寸的部分记作正数，低于标准尺寸的部分记作负数（单位：mm）．检查结果如下：第一个记为0.12，第二个标记为﹣0.13，第三个标记为0，第四个标记为﹣0.04，其中，偏离标准尺寸最少的零件是第 个，偏离标准尺寸最多的零件是第 个．
【举一反三5】某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下：
（1）找出哪些零件的质量相对来讲好一些，怎样用学过的绝对值知识来说明这些零件的质量好；
（2）若规定与标准直径相差不大于0.2毫米为合格产品，则6件产品中有几件不合格产品．
【题型2】利用绝对值的非负性求最值
【典型例题】如果x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，这个最大值是（ ）
A.2016 B.2017 C.2019 D.2021
【举一反三1】式子|x﹣2|+1的最小值是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三2】如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（ ）
A.2023 B.4046 C.20 D.0
【举一反三3】当a＝ 时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 ．
【举一反三4】式子|x|+1有没有最小值，如果有，请你求出这个最小值和x的值，如果没有，请你说明理由．
【题型3】利用绝对值的非负性求值
【典型例题】若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A.3 B.﹣3 C.0 D.3或﹣3
【举一反三1】若|a﹣1|+|b+3|＝0，则a×b﹣的值是（ ）
A.﹣ B.﹣3 C.﹣1 D.2
【举一反三2】若|a|+|b|＝0，则a与b的大小关系是（ ）
A.a＝b＝0 B.a，b异号 C.a＞b D.a＜b
【举一反三3】已知|x﹣3|+|y﹣2|＝0，则xy+x﹣12＝ ．
【举一反三4】红武发现：如果|x|+|y|＝0，那么x＝y＝0．他的理由如下：
∵|x|≥0，|y|≥0且|x|+|y|＝0，
∴|x|＝0，|y|＝0，
∴x＝0，y＝0．
请根据红武的方法解决下面的问题：已知|m﹣4|+|n|＝0，求m+n的值并说明理由．
【题型4】利用数轴求绝对值
【典型例题】有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（ ）
A.a﹣b＞0 B.|a|＞|b| C.＜0 D.a+b＜0
【举一反三1】a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|﹣a的结果为 ．
【举一反三3】．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
则：a﹣b 0，a+c 0，b﹣c 0．（用＜或＞或＝号填空）
你能把|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．
【题型5】利用绝对值的定义求数的绝对值
【典型例题】﹣2024的绝对值是（ ）
A.﹣ B. C.﹣2024 D.2024
【举一反三1】下列说法不正确的是（ ）
A.1的绝对值是1
B.若一个数的绝对值是1，则这个数是1
C.0的绝对值是0
D.若一个数的绝对值是0，则这个数是0
【举一反三2】已知|2x﹣5|＝5﹣2x，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如果|m|＝4，且m＜0，那么m＝ ．
【举一反三4】阅读下面的例题：
我们知道|x|＝2，则x＝±2
请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．
（1）|x+3|＝2，则x＝ ；
（2）5﹣|x﹣4|＝2，则x＝ ．
【题型6】绝对值的化简
【典型例题】若2＜a＜3时，化简|2﹣a|+a﹣3＝（ ）
A.1 B.2a﹣5 C.﹣1 D.5﹣2a
【举一反三1】若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（ ）
A.3 B.﹣3 C.1 D.﹣1
【举一反三2】已知|3﹣a|＝3﹣a，则|a﹣3|＝ ．
【举一反三3】化简：
（1）﹣|﹣3|；
（2）﹣|﹣（﹣7.5）|；
（3）+|﹣（+7）|．
【举一反三4】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．1.3绝对值
【知识点1】绝对值 1
【知识点2】非负数的性质：绝对值 2
【题型1】绝对值的实际应用 4
【题型2】利用绝对值的非负性求最值 6
【题型3】利用绝对值的非负性求值 7
【题型4】利用数轴求绝对值 8
【题型5】利用绝对值的定义求数的绝对值 9
【题型6】绝对值的化简 11
【知识点1】绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）
1.（2025 铁东区校级模拟）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．-（-2）和2 B．和-2
C．-（+3）和+（-3） D．-（-5）和-|+5|
【答案】D
【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，逐个进行判断即可．
【解答】解：A．因为-（-2）=2，所以-（-2）和2不是互为相反数，因此选项A不符合题意；
B．和-2不是互为相反数，因此选项B不符合题意；
C．因为+（-3）=-3，-（+3）=-3，所以+（-3）和-（+3）不是互为相反数，因此选项C不符合题意；
D．因为-（-5）=5，-|+5|=-5，由于5和-5是互为相反数，所以-（-5）和-|+5|互为相反数，因此选项D符合题意；
故选：D．
2.（2025 瑶海区二模）2025的绝对值是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义进行求解即可．
【解答】解：∵|2025|=2025，
∴2025的绝对值是2025，
故选：A．
3.（2025 张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．-（+5）与+（-5） B．与-（+0.5）
C．-|-0.01|与-（-） D．与0.3
【答案】C
【分析】先化简，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解．
【解答】解：A．-（+5）=-5，+（-5）=-5，选项A不符合题意；
B．-（+0.5）=-0.5，与-相等，选项B不符合题意；
C．-|-0.01|=-0.01，-（-）==0.01，-0.01与0.01互为相反数，选项C符合题意；
D．-与0.3不是相反数，选项D不符合题意；
故选：C．
【知识点2】非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
1.（2024秋 赛罕区校级月考）若|x+3|+|y-2|=0，则x+y的值是（ ）
A．5 B．-1 C．8 D．-5
【答案】B．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|x+3|+|y-2|=0，
∴x+3=0，y-2=0，
∴x=-3，y=2，
∴x+y=-3+2=-1．
故选：B．
2.（2024秋 凤翔区期中）若|a-3|与|b-5|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．8 B．-8 C．0 D．8或-8
【答案】A．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|a-3|和|b-5|互为相反数，
∴|a-3|+|b-5|=0，
∴a-3=0，b-5=0，
∴a=3，b=5，
∴a+b=3+5=8．
故选：A．
3.（2024秋 渝中区校级月考）若|x-2|+|y-3|=0，则x2+y的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-7 D．7
【答案】D．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|x-2|+|y-3|=0，
∴x-2=0，y-3=0，
∴x=2，y=3，
∴x2+y=22+3=7．
故选：D．
【题型1】绝对值的实际应用
【典型例题】某圆形零件的直径要求是50±0.2 mm，下表是6个已生产出来的零件圆孔直径检测结果（以50 mm为标准值）则在这6个产品中合格的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】根据直径要求是50±0.2 mm，即49.8 mm～50.2 mm都合格，误差±0.2 mm内也都合格，
∴有4个，
故选：C．
【举一反三1】检测4个排球的重量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A.+1 B.+0.5 C.﹣0.4 D.﹣1.2
【答案】C
【解析】∵|﹣0.4|＝0.4，|+0.5|＝0.5，|+1|＝1，|﹣1.2|＝1.2，
又∵0.4＜0.5＜1＜1.2，
∴最接近标准的是﹣0.4，
故选：C．
【举一反三2】正式排球比赛时所使用的排球质量是由严格规定的，检查了4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号+15，②号+25，③号﹣5，④号﹣10，那么质量最好的排球是（ ）
A.①号 B.②号 C.③号 D.④号
【答案】C
【解析】1号|15|＝15，2号|+25|＝25，3号|﹣5|＝5，4号|﹣10|＝10，
3号的绝对值最小，3号的质量最好．
故选：C．
【举一反三3】按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“+、﹣”分别表示比标准质量多、少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是 饼干．
【答案】甜味
【解析】根据题意绝对值越小的越接近标准食品，
∴甜味饼干是最符合标准的食品．
故答案为：甜味．
【举一反三4】质检员抽查某种零件的加工质量，超过标准尺寸的部分记作正数，低于标准尺寸的部分记作负数（单位：mm）．检查结果如下：第一个记为0.12，第二个标记为﹣0.13，第三个标记为0，第四个标记为﹣0.04，其中，偏离标准尺寸最少的零件是第 个，偏离标准尺寸最多的零件是第 个．
【答案】三；二
【解析】由于|0|＜|﹣0.04|＜0.12|＜|﹣0.13|，
所以偏离标准尺寸最少的零件是第三个，偏离标准尺寸最多的零件是第二个．
故答案为：三；二．
【举一反三5】某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下：
（1）找出哪些零件的质量相对来讲好一些，怎样用学过的绝对值知识来说明这些零件的质量好；
（2）若规定与标准直径相差不大于0.2毫米为合格产品，则6件产品中有几件不合格产品．
【答案】解 （1）第3件、第4件、第5件的质量相对来讲好一些，比较记录数字的绝对值，绝对值越小越接近标准尺寸，所以绝对值较小的相对来讲好一些．
（2）有2件产品不合格．
【题型2】利用绝对值的非负性求最值
【典型例题】如果x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，这个最大值是（ ）
A.2016 B.2017 C.2019 D.2021
【答案】C
【解析】∵x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，
∴|x﹣2|＝0时，2019﹣|x﹣2|最大为2019，
故选：C．
【举一反三1】式子|x﹣2|+1的最小值是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】当绝对值最小时，式子有最小值，
即|x﹣2|＝0时，式子最小值为0+1＝1．
故选：B．
【举一反三2】如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（ ）
A.2023 B.4046 C.20 D.0
【答案】A
【解析】∵绝对值具有非负性，
∴|x﹣2023|≥0，
∵2023﹣|x﹣2023|有最大值，
∴当|x﹣2023|＝0时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确．
故选：A．
【举一反三3】当a＝ 时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 ．
【答案】1 5
【解析】∵|1﹣a|≥0，
∴当1﹣a＝0时，|1﹣a|+5会有最小值，
∴当a＝1时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是5．
故答案为：1，5．
【举一反三4】式子|x|+1有没有最小值，如果有，请你求出这个最小值和x的值，如果没有，请你说明理由．
【答案】解 根据绝对值的非负性可得：|x|≥0，
∴|x|+1≥1，
∴当x＝0时，|x|+1有最小值1．
【题型3】利用绝对值的非负性求值
【典型例题】若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A.3 B.﹣3 C.0 D.3或﹣3
【答案】A
【解析】∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
a+b＝1+2＝3．
故选：A．
【举一反三1】若|a﹣1|+|b+3|＝0，则a×b﹣的值是（ ）
A.﹣ B.﹣3 C.﹣1 D.2
【答案】B
【解析】∵|a﹣1|+|b+3|＝0，
∴a﹣1＝0，b+3＝0，
解得：a＝1，b＝﹣3，
则a×b﹣＝1×（﹣3）﹣
＝﹣3﹣
＝﹣3．
故选：B．
【举一反三2】若|a|+|b|＝0，则a与b的大小关系是（ ）
A.a＝b＝0 B.a，b异号 C.a＞b D.a＜b
【答案】A
【解析】因为|a|+|b|＝0，|a|≥0，|b|≥0，所以|a|＝0，|b|＝0，
所以a＝0，b＝0．
故选：A．
【举一反三3】已知|x﹣3|+|y﹣2|＝0，则xy+x﹣12＝ ．
【答案】﹣3
【解析】∵|x﹣3|+|y﹣2|＝0，而|x﹣3|≥0，|y﹣2|≥0，
∴x﹣3＝0，y﹣2＝0，
解得x＝3，y＝2，
则xy+x﹣12＝6+3﹣12＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【举一反三4】红武发现：如果|x|+|y|＝0，那么x＝y＝0．他的理由如下：
∵|x|≥0，|y|≥0且|x|+|y|＝0，
∴|x|＝0，|y|＝0，
∴x＝0，y＝0．
请根据红武的方法解决下面的问题：已知|m﹣4|+|n|＝0，求m+n的值并说明理由．
【答案】解 ∵|m﹣4|+|n|＝0，
∴|m﹣4|＝0，|n|＝0
∴m＝4，n＝0，
故m+n＝4．
【题型4】利用数轴求绝对值
【典型例题】有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（ ）
A.a﹣b＞0 B.|a|＞|b| C.＜0 D.a+b＜0
【答案】C
【解析】由题意得，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，
A．a﹣b＜0，故本选项错误；
B．|a|＜|b|，故本选项错误；
C．＜0，故本选项正确；
D．a+b＞0，故本选项错误；
故选：C．
【举一反三1】a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，
∴a≤0，b≥0，|a|＞|b|，
故选：A．
【举一反三2】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|﹣a的结果为 ．
【答案】b
【解析】由图可知，a＜0，b＞0，a+b＞0，
∴|a+b|﹣a＝a+b﹣a＝b．
故答案为：b．
【举一反三3】．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
则：a﹣b 0，a+c 0，b﹣c 0．（用＜或＞或＝号填空）
你能把|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．
【答案】解 由数轴得，
a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0，
∴|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）﹣[﹣（a+c）]+[﹣（b﹣c）]
＝﹣a+b+a+c﹣b+c
＝2c．
【题型5】利用绝对值的定义求数的绝对值
【典型例题】﹣2024的绝对值是（ ）
A.﹣ B. C.﹣2024 D.2024
【答案】D
【解析】﹣2024的绝对值是2024，
故选：D．
【举一反三1】下列说法不正确的是（ ）
A.1的绝对值是1
B.若一个数的绝对值是1，则这个数是1
C.0的绝对值是0
D.若一个数的绝对值是0，则这个数是0
【答案】B
【解析】∵1的绝对值是1，
∴选项A不符合题意；
∵若一个数的绝对值是1，则这个数是1或﹣1，
∴选项B符合题意；
∵0的绝对值是0，
∴选项C不符合题意；
∵若一个数的绝对值是0，则这个数是0，
∴选项D不符合题意，故选：B．
【举一反三2】已知|2x﹣5|＝5﹣2x，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵|2x﹣5|＝5﹣2x，
∴2x﹣5≤0，
∴x．
故选：D．
【举一反三3】如果|m|＝4，且m＜0，那么m＝ ．
【答案】﹣4
【解析】∵|m|＝4，
∴m＝±4，
又∵m＜0，
∴m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【举一反三4】阅读下面的例题：
我们知道|x|＝2，则x＝±2
请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．
（1）|x+3|＝2，则x＝ ；
（2）5﹣|x﹣4|＝2，则x＝ ．
【答案】解 （1）因为）|x+3|＝2，则x＝﹣5或﹣1；
（2）因为5﹣|x﹣4|＝2，
可得：|x﹣4|＝3，
解得：x＝1或7；
故答案为：（1）﹣5或﹣1；（2）1或7.
【题型6】绝对值的化简
【典型例题】若2＜a＜3时，化简|2﹣a|+a﹣3＝（ ）
A.1 B.2a﹣5 C.﹣1 D.5﹣2a
【答案】B
【解析】∵2＜a＜3，
∴2﹣a＜0，
∴|2﹣a|＝﹣（2﹣a）＝a﹣2，
∴|2﹣a|+a﹣3
＝a﹣2+a﹣3
＝2a﹣5．
故答案为：B．
【举一反三1】若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（ ）
A.3 B.﹣3 C.1 D.﹣1
【答案】D
【解析】∵|a+2|＝﹣a﹣2，
∴a+2≤0，
即a≤﹣2，
∴a﹣1＜0，2﹣a＞0，
∴|a﹣1|﹣|2﹣a|
＝﹣a+1﹣2+a
＝﹣1，
故选：D．
【举一反三2】已知|3﹣a|＝3﹣a，则|a﹣3|＝ ．
【答案】3﹣a
【解析】∵|3﹣a|＝3﹣a，
∴3﹣a≥0，则a﹣3≤0，
∴|a﹣3|＝﹣（a﹣3）＝3﹣a，
故答案为：3﹣a．
【举一反三3】化简：
（1）﹣|﹣3|；
（2）﹣|﹣（﹣7.5）|；
（3）+|﹣（+7）|．
【答案】解 （1）﹣|﹣3|＝﹣3；
（2）﹣|﹣（﹣7.5）|
＝﹣|7.5|
＝﹣7.5；
（3）+|﹣（+7）|＝7．
【举一反三4】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．
【答案】解 ∵abc＞0，
∴a，b，c都是正数或两个为负数数，
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则：++＝1+1+1＝3；
②a，b，c有一个为正数数，另两个为负数时，设a＜0，b＜0，c＞0，
则++＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
