6.4线段的和差
【知识点1】线段的和差 1
【题型1】线段的和与差 1
【题型2】线段中点的有关计算 2
【题型3】与线段有关的综合问题 2
【知识点1】线段的和差
线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成
【题型1】线段的和与差
【典型例题】能断定A，B，C三点在一条直线上的是( )
A. AB＝2，BC＝3，AC＝4
B. AB＝6，BC＝6，AC＝6
C. AB＝8，BC＝6，AC＝2
D. AB＝12，BC＝13，AC＝15
【举一反三1】平面上有A、B、C三点，已知AB＝8 cm，BC＝5 cm，则AC的长是( )
A. 13 cm B. 3 cm C. 13 cm或3 cm D. 不能确定
【举一反三2】一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖正好对着直尺刻度约为5.6 cm处，另一端正好对着直尺刻度约为20.6 cm处，则水笔的中点位置对着的直尺刻度约为__________ cm．
【举一反三3】如图，将一根绳子对折后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为__________cm．
【举一反三4】已知B、C在线段AD上．
(1)如图，图中共有__________条线段，AD＝__________+__________﹣__________；
(2)如图，若AB：BD＝2：5．AC：CD＝4：1．且BC＝18，求AD的长度．
【举一反三5】已知线段AB＝12，在AB上有C、D、M、N四点，且AC：CD：DB＝1：2：3．AM＝AC，DN＝BD，求线段MN的长．
【题型2】线段中点的有关计算
【典型例题】已知点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若线段BA的长度为12 cm，则线段AD的长度为( )
A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 2 cm或4 cm
【举一反三1】如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝2AB；④AB＋BC＝AC，能表示B是AC中点的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【举一反三2】如图，点C，D是线段AB上的两点，CB＝9，DB＝15，点D为线段AC的中点，则线段AB的长为 ．
【举一反三3】已知一条直线上从左到右依次有A、B、C三个点．
(1)若BC＝10，AC＝3AB，直接写出AB的长度为 ．
(2)若D是射线BC上一点，M是BD的中点，N是CD的中点，求的值．
【举一反三4】如图，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．
(1)如果AC＝8 cm，BC＝6 cm，求MN的长．
(2)如果AM＝5 cm，CN＝2 cm，求线段AB的长．
【题型3】与线段有关的综合问题
【典型例题】下列说法中，正确的有( )个.
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；
③两点之间，线段最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点；
⑤射线AB和射线BA是同一条射线；⑥直线有无数个端点．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【举一反三1】线段AB被分为2：3：4三部分，已知第一部分和第三部分的中点间的距离是6.6 cm，则线段AB的长为( )
A. 8.9 cm B. 9.9 cm C. 10.8 cm D. 11.7 cm
【举一反三2】如图，C、D、E为线段AB上三点，且AC=12CD，E为BD的中点，DE=15AB=2 cm，则CE的长为 cm．
【举一反三3】数轴上A、B两点离开原点的距离分别为2和3，则AB两点间的距离为 ．
【举一反三4】如图所示，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
(1)求线段MN的长．
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=a cm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由．
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC-CB=b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【举一反三5】如图，点C是线段AB的中点．
(1)若点D在线段CB上，且DB=3.5 cm，AD=6.5 cm，求线段CD的长度；
(2)若将(1)中的点“D在线段CB上”改为“点D在直线CB上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度；
(3)若线段AB=12 cm，点C在AB上，点D、E分别是AC和BC的中点．
①当点C恰是AB中点时，则DE= cm．
②当AC=4 cm，时，求DE的长；
③当点C在线段AB上运动时(点C与A、B重合除外)，求DE的长．6.4线段的和差
【知识点1】线段的和差 1
【题型1】线段的和与差 1
【题型2】线段中点的有关计算 4
【题型3】与线段有关的综合问题 6
【知识点1】线段的和差
线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成
【题型1】线段的和与差
【典型例题】能断定A，B，C三点在一条直线上的是( )
A. AB＝2，BC＝3，AC＝4
B. AB＝6，BC＝6，AC＝6
C. AB＝8，BC＝6，AC＝2
D. AB＝12，BC＝13，AC＝15
【答案】C
【解析】A项，因为2＋3≠4，所以A，B，C三点不在一条直线上，错误；
B项，因为6＋6≠6，所以A，B，C三点不在一条直线上，错误；
C项，因为6＋2＝8，所以A，B，C三点在一条直线上，正确；
D项，因为12＋13≠15，所以A，B，C三点不在一条直线上，错误．
【举一反三1】平面上有A、B、C三点，已知AB＝8 cm，BC＝5 cm，则AC的长是( )
A. 13 cm B. 3 cm C. 13 cm或3 cm D. 不能确定
【答案】D
【解析】①三点在一条直线上时，
AC＝AB+BC＝8+5＝13(cm)或AC＝AB﹣BC＝8﹣5＝3(cm)；
②三点不在一条直线上时，
由三角形三边的关系可知：
AB﹣AC＜BC＜AB+AC，
即3＜BC＜13．
综合以上可知只要答案D符合要求．
故选：D．
【举一反三2】一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖正好对着直尺刻度约为5.6 cm处，另一端正好对着直尺刻度约为20.6 cm处，则水笔的中点位置对着的直尺刻度约为__________ cm．
【答案】13.1
【解析】∵这支水笔的长约是20.6﹣5.6＝15(cm)，
∴水笔的中点位置对着的直尺刻度约是5.6+×15＝13.1(cm)．
故答案为：13.1．
【举一反三3】如图，将一根绳子对折后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为__________cm．
【答案】100或150
【解析】①当PB的2倍最长时，得PB＝30，
∴AP＝PB＝20，
∴AB＝AP+PB＝50，
∴这条绳子的原长为2AB＝100 cm，
②当AP的2倍最长时，得AP＝30，
∵AP＝PB，
∴PB＝AP＝45，
∴AB＝AP+PB＝75，
∴这条绳子的原长为2AB＝150 cm．
故答案为：100 cm或150 cm．
【举一反三4】已知B、C在线段AD上．
(1)如图，图中共有__________条线段，AD＝__________+__________﹣__________；
(2)如图，若AB：BD＝2：5．AC：CD＝4：1．且BC＝18，求AD的长度．
【答案】解：(1)图中线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条；AD＝AC+BD﹣BC．
故答案为：6；AC，BD，BC(答案不唯一)．
(2)设AD＝x，
因为AB：BD＝2：5，AC：CD＝4：1，
所以，．
因为AC﹣AB＝BC，BC＝18，
所以，
解得x＝35，
所以AD＝35．
【举一反三5】已知线段AB＝12，在AB上有C、D、M、N四点，且AC：CD：DB＝1：2：3．AM＝AC，DN＝BD，求线段MN的长．
【答案】解：当C点在线段AB上：
∵AB＝12，AC：CD：DB＝1：2：3，
∴AC＝×12＝2，CD＝×12＝4，DB＝×12＝6，
∴AM＝AC＝1，DN＝BD＝，
①当点N在点D右侧时，如图1，MN＝MC+CD+DN＝2﹣1+4+＝；
②当点N在点D左侧时，如图2，MN＝MC+CD﹣DN＝2﹣1+4﹣＝．
综上所述，线段MN的长为或．
【题型2】线段中点的有关计算
【典型例题】已知点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若线段BA的长度为12 cm，则线段AD的长度为( )
A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 2 cm或4 cm
【答案】D
【解析】①如图1，
因为C是线段AB的三等分点，AB＝12 cm，
所以AC＝AB＝×12＝4(cm)，
因为D是线段AC的中点，
所以AD＝AC＝×4＝2(cm)；
②如图2，
因为C是线段AB的三等分点，AB＝12 cm，
所以AC＝AB＝×12＝8(cm)，
因为D是线段AC的中点，
所以AD＝AC＝×8＝4(cm)．
【举一反三1】如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝2AB；④AB＋BC＝AC，能表示B是AC中点的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】AB＝AC，AB＝BC，AC＝2AB能说明点B是AC中点，而AB＋BC＝AC不能说明．
【举一反三2】如图，点C，D是线段AB上的两点，CB＝9，DB＝15，点D为线段AC的中点，则线段AB的长为 ．
【答案】21
【解析】∵DB＝15，CB＝9，
∴DC＝DB﹣CB＝15﹣9＝6，
∵点D为线段AC的中点，
∴AD＝DC＝6，
∴AB＝AD+DB＝6+15＝21，
故答案为：21．
【举一反三3】已知一条直线上从左到右依次有A、B、C三个点．
(1)若BC＝10，AC＝3AB，直接写出AB的长度为 ．
(2)若D是射线BC上一点，M是BD的中点，N是CD的中点，求的值．
【答案】解： (1)如图：
∵AC＝AB+BC，AC＝3AB，
∴3AB＝AB+BC
∵BC＝10，
∴2AB＝10，
∴AB＝5，
故答案为：5；
(2)∵点M为BD的中点，点N为CD的中点，
∴BD＝2BM＝2DM，CD＝2DN＝2CN，
若点D在BC之间时，如图：
∴BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
∴＝2，
②若点D在AB之间时，如图：
∴BC＝DC﹣DB
＝2DN﹣2DM
＝2(DN﹣DM)
＝2MN，
∴＝2；
③若点D在A点左侧时，如图：
∴BC＝CD﹣BD
＝2DN﹣2DM
＝2(DN﹣DM)
＝2MN，
∴＝2，
综上所述，＝2．
【举一反三4】如图，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．
(1)如果AC＝8 cm，BC＝6 cm，求MN的长．
(2)如果AM＝5 cm，CN＝2 cm，求线段AB的长．
【答案】解：(1)∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴MN＝MC+CN＝AC+BC＝AB＝7 cm．
则MN＝7 cm．
(2)∵M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，
若AM＝5 cm，CN＝2 cm，
∴AB＝AC+BC＝10+4＝14 cm．
【题型3】与线段有关的综合问题
【典型例题】下列说法中，正确的有( )个.
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；
③两点之间，线段最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点；
⑤射线AB和射线BA是同一条射线；⑥直线有无数个端点．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】A
【解析】①过两点有且只有一条直线，正确，②连接两点的线段叫做两点间的距离，不正确，应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，③两点之间，线段最短，正确，④若AB=BC，则点B是线段AC的中点，不正确，只有点B在AC上时才成立，⑤射线AB和射线BA是同一条射线，不正确，端点不同，⑥直线有无数个端点．不正确，直线无端点．共2个正确，故选A．
【举一反三1】线段AB被分为2：3：4三部分，已知第一部分和第三部分的中点间的距离是6.6 cm，则线段AB的长为( )
A. 8.9 cm B. 9.9 cm C. 10.8 cm D. 11.7 cm
【答案】B
【解析】如图：
设AC=2x，CD=3x，DB=4x，由线段中点的性质，得EC=x，DF=2x，
由线段的和差，得EF=EC+CD+DF=x+3x+2x=6.6 cm，解得x=1.1 cm．
由线段的和差，得AB=AC+CD+DB=2x+3x+4x=9x=9×1.1=9.9 cm．故选B．
【举一反三2】如图，C、D、E为线段AB上三点，且AC=12CD，E为BD的中点，DE=15AB=2 cm，则CE的长为 cm．
【答案】6
【解析】∵DE=15AB=2 cm，∴AB=2×5=10，∵E为BD的中点，∴BD=2DE=2×2=4 cm，∴AD=AB-BD=10-4=6 cm，
∵AC= CD，∴CD= AD=×6=4 cm，∴CE=CD+DE=4+2=6 cm．故答案为：6．
【举一反三3】数轴上A、B两点离开原点的距离分别为2和3，则AB两点间的距离为 ．
【答案】5或1
【解析】∵数轴上A、B两点离开原点的距离分别为2和3可得出点A表示±2，点B表示±3，∴当点A、B在原点的同侧时，AB=|3-2|=1；当点A、B在原点的异侧时，AB=|-2-3|=5．故答案为：5或1．
【举一反三4】如图所示，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
(1)求线段MN的长．
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=a cm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由．
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC-CB=b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】解 (1)∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC=×8 cm=4 cm，NC=BC=×6 cm=3 cm，∴MN=MC+NC=4 cm+3 cm=7 cm；
(2)MN=a cm．理由如下：∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，NC=BC，∴MN=MC+NC=AC+BC=AB=a cm；
(3)如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC-NC=AC-BC=(AC-BC)=b cm．
【举一反三5】如图，点C是线段AB的中点．
(1)若点D在线段CB上，且DB=3.5 cm，AD=6.5 cm，求线段CD的长度；
(2)若将(1)中的点“D在线段CB上”改为“点D在直线CB上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度；
(3)若线段AB=12 cm，点C在AB上，点D、E分别是AC和BC的中点．
①当点C恰是AB中点时，则DE= cm．
②当AC=4 cm，时，求DE的长；
③当点C在线段AB上运动时(点C与A、B重合除外)，求DE的长．
【答案】解 (1)∵DB=3.5 cm，AD=6.5 cm，∴AB=10 cm．
∵C为AB中点，∴CB=5 cm，
∴CD=5-3.5=1.5 cm；
(2)①点D在线段BC上，则CD=1.5 cm，
②点D在CB的延长线上：
则AB=AD-DB=3．∴BC=1.5，∴CD=1.5+3.5=5；
(3)①6；
②DE=6 cm，
③设AC=x cm，
则BC=(12-x) cm，又D、E分别为AC、BC中点，CD=，CE=12-，DE=CD+CE=+12-=6 cm．
