6.5角与角的度量
【知识点1】钟面角 1
【知识点2】角的概念 3
【知识点3】度分秒的换算 4
【知识点4】对顶角、邻补角 6
【题型1】确定角的个数 7
【题型2】时钟问题中的角的计算 11
【题型3】度、分、秒的转化与运算 12
【题型4】角的定义及分类 14
【题型5】角的度量 15
【题型6】角的表示方法 18
【知识点1】钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．
1.（2022秋 龙马潭区期末）钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15° B．30° C．75° D．60°
【答案】C
【分析】计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
【解答】解：∵8点30分，时针在8和9正中间，分针指向6，中间相差两个半大格，而钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分时，时针与分针的夹角的度数为：30°×2.5=75°．
故选：C．
2.（2023秋 深圳期末）下列说法错误的是（ ）
A．整数和分数统称有理数
B．a2b和-ba2是同类项
C．8 点30分时，时针和分针的夹角是75°
D．22a2b的次数是5
【答案】D
【分析】选项A根据有理数的定义判断即可；选项B根据同类型的定义判断即可；选项C根据钟面角的计算方法判断即可；选项D根据单项式的定义判断即可．
【解答】解：A．整数和分数统称有理数，说法正确，故本选项不符合题意；
B．a2b和-ba2是同类项，说法正确，故本选项不符合题意；
C．8 点30分时，时针和分针的夹角是75°，说法正确，故本选项不符合题意；
D．22a2b的次数是3，原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
3.（2024秋 石家庄期中）从如图所显示的时刻开始，经过30分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】D
【分析】分针每分钟转了6°，时针每分钟转了0.5°，可求得结果，得到时针与分针之间的夹角即可解答．
【解答】解：分针每分钟转了=6°，
时针每小时转了=30°，
时针每分钟转了=0.5°，
∴图上显示的时刻为2：00，当经过30分钟之后时间为2：30，
此时时针所形成的角度为：2×30°+30×0.5°=75°，
分针所形成的角度为：30×6°=180°，
则分针与时针所形成的角度为：180°-75°=105°，
故选：D．
【知识点2】角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
1.（2024秋 和平区校级期末）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可．
【解答】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故A选项错误；
B、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故B选项正确；
C、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项错误；
D、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项错误；
故选：B．
2.（2024秋 保定校级期末）如图，∠MON的边ON经过的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【分析】根据角的有关概念，一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边ON经过的点一定在射线ON上，据此作图求解即可．
【解答】解：如图，边ON经过的点是B，
故选：B．
【知识点3】度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
1.（2024秋 雷州市期末）下列说法正确的是（ ）
A．有理数包括正数、零和负数
B．-a2一定是负数
C．34.37°=34°22′12″
D．两个有理数的和一定大于每一个加数
【答案】C
【分析】根据有理数的分类，平方数非负数，度分秒的换算，以及有理数的加法运算法则对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、应为：有理数包括正有理数、零和负有理数，故本选项错误；
B、-a2一定是负数错误，a=0时，-a2=0，0既不是正数也不是负数，故本选项错误；
C、∵0.37×60=22.2，0.2×60=12，
∴34.37°=34°22′12″，故本选项正确；
D、两个有理数的和一定大于每一个加数，错误，故本选项错误．
故选：C．
2.（2024秋 辽中区期末）下列说法正确的是（ ）
A．角的度量中，1°=100′，1′=100″
B．射线AB的长度为3cm
C．经过两点可以画并且只能画一条直线
D．延长直线AB
【答案】C
【分析】直接利用直线的性质以及度分秒换算、射线的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、角的度量中，1°=60′，1′=60″，故此选项错误；
B、射线AB没有长度，故此选项错误；
C、经过两点可以画并且只能画一条直线，故此选项正确；
D、延长直线AB，直线无法延长，故此选项错误．
故选：C．
3.（2024秋 泸县校级期末）如图，某轮船在点O处测得灯塔A位于北偏东30°40'方向上，测得灯塔B位于南偏东75°方向上，则∠AOB的度数为（ ）
A．74°20' B．75°20' C．75°40' D．85°20′
【答案】A
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：∠AOB=180°-75°-30°40'=74°20′，
故选：A．
【知识点4】对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
1.（2025春 西藏期末）下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断；
【解答】解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误；
B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；
C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选：B．
2.（2025春 惠城区校级月考）下列选项中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：选项A中∠1与∠2的顶点不重合，
故选项A中∠1与∠2不符合对顶角的定义，∠1与∠2不是对顶角；
选项B中∠1与∠2的一边在一条直线上，另一边不在一条直线上，
故选项B中∠1与∠2不符合对顶角的定义，∠1与∠2不是对顶角；
选项C中∠1与∠2的两边都不在同一条直线上，
故选项C中∠1与∠2不符合对顶角的定义，∠1与∠2不是对顶角；
选项D中∠1与∠2符合对顶角的定义，
故选项D中∠1与∠2不是对顶角．
故选：D．
【题型1】确定角的个数
【典型例题】如图，在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图(2)顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有( )个角．
A. 465 B. 450 C. 425 D. 300
【答案】A
【解析】在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有1+2＝3个角；
从图(2)顶点O画2条射线，图中共有1+2+3＝6个角；
……
若从角的顶点画n条射线，图中共有1+2+3+……+(n+1)＝(n+2)(n+1)个角；
∴从角的顶点画29条射线，图中共有＝(29+2)(29+1)＝465个角；
故选：A．
【举一反三1】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为( )
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【答案】D
【解析】∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；
在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；
在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；
…
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+(n+1)＝×(n+1)×(n+2)，
∴画19条不同射线，可得锐角×(19+1)×(19+2)＝210．
故选：D．
【举一反三2】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为( )
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【答案】D
【解析】∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；
在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；
在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；
…
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+(n+1)＝×(n+1)×(n+2)，
∴画19条不同射线，可得锐角×(19+1)×(19+2)＝210．
故选：D．
【举一反三3】如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有( )
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个
【答案】C
【解析】先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD为一边的角，把它们加起来．
也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．
∵图中共有四条射线，
∴图中小于平角的角共有 ＝6个．
故选：C．
【举一反三4】如图，以O为顶点的角共有 个．
【答案】10
【解析】以O为顶点的角的射线一共有5条射线，所以角的个数为5×(5-1)÷2=10个角．
【举一反三5】(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；
(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；
(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；
(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角；
(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角．
【答案】(1)3
(2)6
(3)10
(4)66
(5)(n+1)(n+2)
【举一反三6】如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共有 个角；如果引出5条射线，有 个角；如果引出n条射线，有 个角．
【答案】10；21；(n+1)(n+2)
【解析】引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出5条射线，有21个角；如果引出n条射线，有 (n+1)(n+2)个角．
【举一反三7】如图，已知D、E是线段BC上的一点，连接AB、AD、AE、AC．下列说法：①∠DAE可记作∠1；②∠2可记作∠E；③图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示；④图中共有10条线段；⑤图中共有10个小于平角的角．其中正确的是 ；(填序号)
【答案】①③④
【解析】角可以用阿拉伯数字(∠1，∠2…)表示，故说法①正确；
唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角，图中以E为顶点的角不只1个，故说法②错误；
图中A、B、C、D、E五个点中，以B、C为顶点的角均只有1个，所以图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示，即∠B，∠C，故说法③正确；
图中共有10条线段，即线段AB、AD、AE、AC、BD、BE、BC、DE、DC、EC，故说法④正确；
图中共有12个小于平角的角，即∠BAD、∠BAE、∠BAC、∠DAE、∠DAC、∠EAC、∠B、∠C、∠ADB、∠ADE、∠AEB、∠AEC，故说法⑤错误．
故答案为①③④．
【题型2】时钟问题中的角的计算
【典型例题】甲、乙、丙、丁四个学生在判断时钟的分针和时针互相垂直的时刻，每个人说两个时刻，说对的是( )
A. 甲说3点和3点半
B. 乙说6点1刻和6点3刻
C. 丙说9点和12点1刻
D. 丁说3点和9点
【答案】D
【解析】A.3点时，时针指向3，分针指向12，其夹角为30°×3=90°，3点半时不互相垂直，错误；
B.6点1刻和6点3刻，分针和时针都不互相垂直，错误；
C.9点时，时针指向9，分针指向12，其夹角为30°×3=90度，12点1刻不互相垂直，错误；
D.3点时，时针指向3，分针指向12，其夹角为30°×3=90°；9点时，时针指向9，分针指向12，其夹角为30°×3=90度．正确．故选D．
【举一反三1】12点15分，时针与分针所夹的小于平角的角为( )
A. 90° B. 67.5° C. 82.5° D. 60°
【答案】C
【解析】12点15分，时针与分针相距2+＝份，
12点15分，时针与分针夹角是30°×＝82.5°，
故选：C．
【举一反三2】聪明一休在9点到10点之间开始解一道数学题，当时的钟面时针与分针正好成一直线，当他解完这道题时，时针与分针又恰好重合，一休解这道题用了 分钟．
【答案】36011
【解析】时针每小时转动360÷12=30°，每分钟转动30÷60=0.5°；分针每分钟转动360÷60=6°；设一休解这道题用了x分钟，则有：6x-0.5x=180°，解得：x=36011分钟；即一休解这道题用了36011分钟．
【举一反三3】观察常用时钟，回答下列问题：
(1)早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？
(2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？
(3)从7：00到7：40，分针转动了多少度？
【答案】解 (1)7时，时针和分针中间相差5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴7时，分针与时针的夹角是5×30°=150°，
答：早晨7时整，时针和分针构成150度的角；
(2)由时钟可知时针12个小时转一圈，360°÷12=30°，
答：时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30度；
分针转过的角度：(360°÷60)×40=240°，答：分针转动了240度．
【题型3】度、分、秒的转化与运算
【典型例题】把15°48′36″化成以度为单位是( )
A. 15.8° B. 15.4836° C. 15.81° D. 15.36°
【答案】C
【解析】15°48′36″，=15°+48′+(36÷60)′，=15°+(48.6÷60)°，=15.81°．故选C．
【举一反三1】1°等于( )
A. 10′ B. 12′ C. 60′ D. 100′
【答案】C
【解析】1°等于60′．故选C．
【举一反三2】杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是30°15′，我应该最大！”∠B说：“我是30.3°，我应该最大！”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大！”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，杨老师评判的结果是( )
A. ∠A最大 B. ∠B最大 C. ∠C最大 D. ∠A＝∠C
【答案】B
【解析】∵∠A＝30°15′＝30°+()°＝30.25°，∠B＝30.3°，∠C＝30.15°，
∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大，
故选：B．
【举一反三3】120.76°＝ 度 分 秒．
【答案】120；45；36
【解析】(120.76﹣120)×60'＝45.6'，(45.6﹣45)×60''＝36''，
即：120.76°＝120°45'36''，
故答案为：120，45，36．
【举一反三4】(1)30.12°＝____°____′____″；
(2) 100°12′36″＝______°.
【答案】(1)30；7；12
(2)100.21
【解析】(1)因为1°＝60′，所以0.12°＝7.2′，
因为1′＝60″，所以0.2′＝12″，
所以30.12°＝30°7′12″，
(2)因为1′＝60″，所以36″＝0.6′，
所以12′＋0.6′＝12.6′，
因为1°＝60′，所以12.6′＝0.21°，
所以100°12′36″＝100.21°.
【举一反三5】计算：
(1)131°28′﹣51°32′15″；
(2)58°38′27″+47°42′40″；
(3)34°25′×3+35°42′.
【答案】解 (1)131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″；
(2)58°38′27″+47°42′40″＝106°21′7″；
(3)34°25′×3+35°42′
＝103°15′+35°42′
＝138°57′.
【举一反三6】计算：85°16′-18°47′-(35°22′-26°52′)．
【答案】解 85°16′-18°47′-(35°22′-26°52′)=85°16′-18°47′-8°30′=66°29′-8°30′=57°59′．
【题型4】角的定义及分类
【典型例题】下列说法错误的是( )
A. 两点确定一条直线
B. 连接两点的线段叫做两点之间的距离
C. 两点之间线段最短
D. 角的大小与所画的角的边的长短无关
【答案】B
【解析】A.两点确定一条直线，故不符合题意；
B.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故符合题意；
C.两点之间的所有连线中，线段最短，故不符合题意；
D.角的大小与所画的角的边的长短无关，故不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】下列说法：
①连接两点的线段叫做这两点之间的距离；
②两条射线所组成的图形叫做角；
③经过两点有且只有一条直线；
④若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点．
其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故①不符合题意；
有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故②不符合题意；
经过两点有且只有一条直线，正确，故③符合题意；
线段AM等于线段BM，若点M在线段AB外，则点M不是线段AB的中点，故④不符合题意，
因此正确的有一个．
故选：A．
【举一反三2】下列说法正确的是( )
A. 平角是一条直线
B. 角的边越长，角越大
C. 大于直角的角叫做钝角
D. 两个锐角的和不一定是钝角
【答案】D
【解析】A.平角是两条射线组成的一条直线，故此选项错误；
B.角的边越长，与角的大小无关，故此选项错误；
C.大于直角且小于180°的角叫做钝角，故此选项错误；
D.两个锐角的和不一定是钝角，正确．故选D．
【举一反三3】下列语句：①由两条射线组成的图形叫做角；
②角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
③因为平角的两边成一条直线，所以一条直线可以看作是平角；
④一个角至少可以用两种方法表示．
其中不正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】①角是由公共端点的两条射线组成的图形，故①错误；②角是由一条射线绕端点旋转形成的图形，故②正确；③平角的两边成一条直线，但一条直线不可以看作是平角，故③错误；④角可以表示成∠1，∠B，∠ABC，故④正确；故选B．
【题型5】角的度量
【典型例题】如图，∠AOB的大小为( )
A. 100° B. 80° C. 50° D. 30°
【答案】C
【解析】∵OA边对应刻度是80°，OB边对应的刻度是30°，
∴∠AOB＝80°﹣30°＝50°．
故选：C．
【举一反三1】如图，已知∠AOB＝80°，借助量角器判断，射线OA可能经过的点是( )
A. P点 B. Q点 C. M点 D. N点
【答案】B
【解析】如图，画出射线OM，ON，OQ，OP，
利用量角器量出∠AOB＝80°，则射线OA经过的点是Q点．
故选：B．
【举一反三2】如图中用量角器测得∠ABC的度数是( )
A. 50° B. 80° C. 130° D. 150°
【答案】C
【解析】根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．
故选：C．
【举一反三3】已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( )
A. ∠NOQ=42°
B. ∠NOP=132°
C. ∠PON比∠MOQ大
D. ∠MOQ与∠MOP互补
【答案】C
【解析】如图所示：∠NOQ=138°，故选项A错误；∠NOP=48°，故选项B错误；如图可得：∠PON=48°，∠MOQ=42°，故∠PON比∠MOQ大，故选项C正确；由以上可得，∠MOQ与∠MOP不互补，故选项D错误．故选C．
【举一反三4】如图，∠AOB的大小为( )
A. 100° B. 80° C. 50° D. 30°
【答案】C
【解析】∵OA边对应刻度是80°，OB边对应的刻度是30°，
∴∠AOB＝80°﹣30°＝50°．
故选：C．
【题型6】角的表示方法
【典型例题】如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项错误；
B.以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项错误；
C.以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项错误；
D.能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项正确．
故选：D．
【举一反三1】如图，下列对图中各个角的表示方法不正确的是( )
A. ∠A B. ∠1 C. ∠C D. ∠ABC
【答案】C
【解析】图中的角有∠A、∠1、∠ABC、∠ACB，
即表示方法不正确的有∠C，
故选：C．
【举一反三2】如图，下列表示角的方法中，不正确的是( )
A. ∠A B. ∠E C. ∠α D. ∠1
【答案】B
【解析】图中的角有∠A、∠1、∠α、∠AEC，即表示方法不正确的有∠E，故选B．
【举一反三3】如图，用三种不同的方法表示该角为 、 、 ．
【答案】∠1；∠AOB；∠O
【举一反三4】根据给出图回答下列问题：
(1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．
【答案】解 (1)不正确，以A为顶点的角有3个，故不能用∠A表示，可表示为∠DAC；
(2)图中∠B可以用一个字母表示；
(3)以A为顶点的角有3个，分别是∠BAC、∠BAD、∠DAC；
(4)不是同一个角，因为这两个角的顶点不同．6.5角与角的度量
【知识点1】钟面角 1
【知识点2】角的概念 2
【知识点3】度分秒的换算 3
【知识点4】对顶角、邻补角 4
【题型1】确定角的个数 5
【题型2】时钟问题中的角的计算 7
【题型3】度、分、秒的转化与运算 7
【题型4】角的定义及分类 8
【题型5】角的度量 9
【题型6】角的表示方法 10
【知识点1】钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．
（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
（3）钟面上的路程问题
分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°
时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．
1.（2022秋 龙马潭区期末）钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15° B．30° C．75° D．60°
2.（2023秋 深圳期末）下列说法错误的是（ ）
A．整数和分数统称有理数
B．a2b和-ba2是同类项
C．8 点30分时，时针和分针的夹角是75°
D．22a2b的次数是5
3.（2024秋 石家庄期中）从如图所显示的时刻开始，经过30分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【知识点2】角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
1.（2024秋 和平区校级期末）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024秋 保定校级期末）如图，∠MON的边ON经过的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【知识点3】度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
1.（2024秋 雷州市期末）下列说法正确的是（ ）
A．有理数包括正数、零和负数
B．-a2一定是负数
C．34.37°=34°22′12″
D．两个有理数的和一定大于每一个加数
2.（2024秋 辽中区期末）下列说法正确的是（ ）
A．角的度量中，1°=100′，1′=100″
B．射线AB的长度为3cm
C．经过两点可以画并且只能画一条直线
D．延长直线AB
3.（2024秋 泸县校级期末）如图，某轮船在点O处测得灯塔A位于北偏东30°40'方向上，测得灯塔B位于南偏东75°方向上，则∠AOB的度数为（ ）
A．74°20' B．75°20' C．75°40' D．85°20′
【知识点4】对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
1.（2025春 西藏期末）下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025春 惠城区校级月考）下列选项中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【题型1】确定角的个数
【典型例题】如图，在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图(2)顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有( )个角．
A. 465 B. 450 C. 425 D. 300
【举一反三1】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为( )
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【举一反三2】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为( )
A. 165 B. 186 C. 199 D. 210
【举一反三3】如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有( )
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个
【举一反三4】如图，以O为顶点的角共有 个．
【举一反三5】(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；
(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；
(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；
(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角；
(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角．
【举一反三6】如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共有 个角；如果引出5条射线，有 个角；如果引出n条射线，有 个角．
【举一反三7】如图，已知D、E是线段BC上的一点，连接AB、AD、AE、AC．下列说法：①∠DAE可记作∠1；②∠2可记作∠E；③图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示；④图中共有10条线段；⑤图中共有10个小于平角的角．其中正确的是 ；(填序号)
【题型2】时钟问题中的角的计算
【典型例题】甲、乙、丙、丁四个学生在判断时钟的分针和时针互相垂直的时刻，每个人说两个时刻，说对的是( )
A. 甲说3点和3点半
B. 乙说6点1刻和6点3刻
C. 丙说9点和12点1刻
D. 丁说3点和9点
【举一反三1】12点15分，时针与分针所夹的小于平角的角为( )
A. 90° B. 67.5° C. 82.5° D. 60°
【举一反三2】聪明一休在9点到10点之间开始解一道数学题，当时的钟面时针与分针正好成一直线，当他解完这道题时，时针与分针又恰好重合，一休解这道题用了 分钟．
【举一反三3】观察常用时钟，回答下列问题：
(1)早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？
(2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？
(3)从7：00到7：40，分针转动了多少度？
【题型3】度、分、秒的转化与运算
【典型例题】把15°48′36″化成以度为单位是( )
A. 15.8° B. 15.4836° C. 15.81° D. 15.36°
【举一反三1】1°等于( )
A. 10′ B. 12′ C. 60′ D. 100′
【举一反三2】杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是30°15′，我应该最大！”∠B说：“我是30.3°，我应该最大！”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大！”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，杨老师评判的结果是( )
A. ∠A最大 B. ∠B最大 C. ∠C最大 D. ∠A＝∠C
【举一反三3】120.76°＝ 度 分 秒．
【举一反三4】(1)30.12°＝____°____′____″；
(2) 100°12′36″＝______°.
【举一反三5】计算：
(1)131°28′﹣51°32′15″；
(2)58°38′27″+47°42′40″；
(3)34°25′×3+35°42′.
【举一反三6】计算：85°16′-18°47′-(35°22′-26°52′)．
【题型4】角的定义及分类
【典型例题】下列说法错误的是( )
A. 两点确定一条直线
B. 连接两点的线段叫做两点之间的距离
C. 两点之间线段最短
D. 角的大小与所画的角的边的长短无关
【举一反三1】下列说法：
①连接两点的线段叫做这两点之间的距离；
②两条射线所组成的图形叫做角；
③经过两点有且只有一条直线；
④若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点．
其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【举一反三2】下列说法正确的是( )
A. 平角是一条直线
B. 角的边越长，角越大
C. 大于直角的角叫做钝角
D. 两个锐角的和不一定是钝角
【举一反三3】下列语句：①由两条射线组成的图形叫做角；
②角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
③因为平角的两边成一条直线，所以一条直线可以看作是平角；
④一个角至少可以用两种方法表示．
其中不正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【题型5】角的度量
【典型例题】如图，∠AOB的大小为( )
A. 100° B. 80° C. 50° D. 30°
【举一反三1】如图，已知∠AOB＝80°，借助量角器判断，射线OA可能经过的点是( )
A. P点 B. Q点 C. M点 D. N点
【举一反三2】如图中用量角器测得∠ABC的度数是( )
A. 50° B. 80° C. 130° D. 150°
【举一反三3】已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( )
A. ∠NOQ=42°
B. ∠NOP=132°
C. ∠PON比∠MOQ大
D. ∠MOQ与∠MOP互补
【举一反三4】如图，∠AOB的大小为( )
A. 100° B. 80° C. 50° D. 30°
【题型6】角的表示方法
【典型例题】如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，下列对图中各个角的表示方法不正确的是( )
A. ∠A B. ∠1 C. ∠C D. ∠ABC
【举一反三2】如图，下列表示角的方法中，不正确的是( )
A. ∠A B. ∠E C. ∠α D. ∠1
【举一反三3】如图，用三种不同的方法表示该角为 、 、 ．
【举一反三4】根据给出图回答下列问题：
(1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．
