6.7角的和差
【知识点1】角的计算 1
【题型1】角的和、差、倍、分关系运算 2
【题型2】角的平分线有关的运算 3
【题型3】角的和差及其表示 4
【知识点1】角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
1.（2024秋 冠县期末）根据如图所示，下列式子错误的是（ ）
A．∠AOB=∠AOC+∠COB B．∠BOC=∠AOB-∠AOC
C． D．∠AOC=∠BOA-∠COB
2.（2025春 淄博期中）已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定射线OC平分∠AOB的是（ ）
A． B．∠AOB=2∠AOC
C．∠AOC=∠BOC D．∠AOB=∠AOC+∠BOC
3.（2024秋 雁塔区校级期末）如图，O为直线AC上一点，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC的内部，．∠DOE=72°，则∠EOC的度数为（ ）
A．70° B．72° C．75° D．80°
【题型1】角的和、差、倍、分关系运算
【典型例题】如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOD：∠AOB=3：1，则∠BOC的度数是( )
A. 22.5° B. 45° C. 90° D. 135°
【举一反三1】在15°、65°、75°、135°的角中，能用一副三角尺画出来的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【举一反三2】如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC=28°，那么∠AOB= ．
【举一反三3】如图，小明把两块完全相同的三角板如图放置，使两个60°角的顶点在A处重合，若∠CAE=100°，则∠DAB= °．
【举一反三4】如图，OC为∠AOB内部的一条射线，若∠AOB＝100°，∠BOC＝25°36′，求∠AOC的度数．
【题型2】角的平分线有关的运算
【典型例题】如图，已知O为直线AB上一点，将30°的直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是( )
A. ∠AOM＝3∠NOC
B. ∠AOM＝2∠NOC
C. 2∠AOM＝3∠NOC
D. 3∠AOM＝5∠NOC
【举一反三1】如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是( )
A. β B. (α﹣β) C. α﹣β D. α
【举一反三2】已知平面内∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，则∠EOF＝ ．
【举一反三3】如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．
【题型3】角的和差及其表示
【典型例题】如图，利用量角器测量角的度数，根据结果，以下结论错误的是（ ）
A.∠AOB+∠BOC＝90°
B.∠BOC+∠COD＝90°
C.∠AOD﹣∠COD＝90°
D.∠AOD﹣∠BOC＝90°
【举一反三1】把一副三角尺的两个锐角的一条边和顶点重合（如图），这两个角的差是（ ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【举一反三2】如图所示，∠AOD﹣∠AOC等于（ ）
A.∠AOC B.∠BOC C.∠BOD D.∠COD
【举一反三3】按图填空：
（1）∠AOB+∠BOC＝ ；
（2）∠AOC+∠COD＝ ；
（3）∠BOD﹣∠COD＝ ；
（4）∠AOD﹣ ＝∠AOB．
【举一反三4】（1）图中共有多少个角？请分别表示这些角；
（2）根据图形填空：
∠AOB+∠BOC＝ ；∠BOD﹣∠BOC＝ ；∠AOD﹣∠DOB＝ ．6.7角的和差
【知识点1】角的计算 1
【题型1】角的和、差、倍、分关系运算 3
【题型2】角的平分线有关的运算 5
【题型3】角的和差及其表示 7
【知识点1】角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
1.（2024秋 冠县期末）根据如图所示，下列式子错误的是（ ）
A．∠AOB=∠AOC+∠COB B．∠BOC=∠AOB-∠AOC
C． D．∠AOC=∠BOA-∠COB
【答案】C
【分析】根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项．
【解答】解：A、∠AOB=∠AOC+∠COB，故本选项正确，不符合题意；
B、∠BOC=∠AOB-∠AOC，故本选项正确，不符合题意；
C、∠AOC=∠AOC+∠COB，故∠AOC=∠BOC错误，符合题意；
D、∠AOC=∠BOA-∠COB，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
2.（2025春 淄博期中）已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定射线OC平分∠AOB的是（ ）
A． B．∠AOB=2∠AOC
C．∠AOC=∠BOC D．∠AOB=∠AOC+∠BOC
【答案】D
【分析】根据角的和差关系，判断∠AOC和∠BOC是否相等，即可得出结论．
【解答】解：如图，
A、∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∠BOC=∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴射线OC平分∠AOB，
故A选项不合题意；
B、∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∠AOB=2∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC，
∴射线OC平分∠AOB，
故B选项不合题意；
C、∵∠AOC=∠BOC，
∴射线OC平分∠AOB，
故C选项不合题意；
D、∠AOB=∠AOC+∠BOC，
不能证明∠AOC=∠BOC，
射线OC不一定平分∠AOB，
故D选项符合题意．
故选：D．
3.（2024秋 雁塔区校级期末）如图，O为直线AC上一点，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC的内部，．∠DOE=72°，则∠EOC的度数为（ ）
A．70° B．72° C．75° D．80°
【答案】B
【分析】由角平分线定义及题中条件，设∠AOD=∠BOD=α，∠BOE=β，则∠EOC=2β，数形结合，根据角度之间的关系列方程求解即可得到答案．
【解答】解：∵OD是∠AOB的平分线，
∴，
∵，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=，
设∠AOD=∠BOD=α，∠BOE=β，则∠EOC=2β，
∴α+β=72°，2α+3β=180°①，则2α+2β=144°②，
∴由①-②得β=36°，即∠EOC=72°，
故选：B．
【题型1】角的和、差、倍、分关系运算
【典型例题】如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOD：∠AOB=3：1，则∠BOC的度数是( )
A. 22.5° B. 45° C. 90° D. 135°
【答案】B
【解析】设∠AOB和∠AOD分别为x、3x，由题意得，x+90°=3x，解得x=45°，则∠AOB=45°，
故∠BOC=∠AOC-∠AOB=45°．故选B．
【举一反三1】在15°、65°、75°、135°的角中，能用一副三角尺画出来的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】15°=45°-30°，65°不能画出，75°=30°+45°，135°=45°+90°，所以能用一副三角尺画出来的有15°、75°，135°共3个，故选C．
【举一反三2】如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC=28°，那么∠AOB= ．
【答案】152°
【解析】∵∠AOC=∠DOB=90°，∠DOC=28°，∴∠AOB=∠AOC+∠DOB-∠DOC，=90°+90°-28°，=152°．故答案为：152°.
【举一反三3】如图，小明把两块完全相同的三角板如图放置，使两个60°角的顶点在A处重合，若∠CAE=100°，则∠DAB= °．
【答案】20
【解析】∵∠CAE=100°，∠CAB=60°，∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=40°，∵∠DAE=60°，∴∠DAB=∠DAE-∠BAE=20°，故答案为：20．
【举一反三4】如图，OC为∠AOB内部的一条射线，若∠AOB＝100°，∠BOC＝25°36′，求∠AOC的度数．
【答案】解 因为∠AOB＝100°，∠BOC＝25°36′，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝100°－25°36′＝74°24′.
【题型2】角的平分线有关的运算
【典型例题】如图，已知O为直线AB上一点，将30°的直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是( )
A. ∠AOM＝3∠NOC
B. ∠AOM＝2∠NOC
C. 2∠AOM＝3∠NOC
D. 3∠AOM＝5∠NOC
【答案】B
【解析】因为∠MON＝90°，
所以∠AOM＋∠BON＝90°，
所以∠BON＝90°－∠AOM，
因为OC是∠MOB的平分线，
所以∠MOB＝2∠BOC＝2∠MOC，
所以∠AOM＝180°－∠MOB＝180°－2∠BOC＝180°－2∠BON－2∠NOC，
所以∠AOM＝180°－2(90°－∠AOM)－2∠NOC，
所以∠AOM＝2∠NOC.
【举一反三1】如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是( )
A. β B. (α﹣β) C. α﹣β D. α
【答案】D
【解析】∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝α+β，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC＝∠BOC＝，∠MOC＝∠AOC＝，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝﹣＝．
故选：D．
【举一反三2】已知平面内∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，则∠EOF＝ ．
【答案】30°或20°
【解析】①当OC在∠AOB外部时，如图所示：
∵∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，
∴∠EOB＝＝，
，
∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF＝25°+5°＝30°；
②当OC在∠AOB内部时，如图所示：
∵∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，
∴，
，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠FOC＝25°﹣5°＝20°，
故答案为：30°或20°．
【举一反三3】如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．
【答案】解 由题意，可设∠AOC＝x，∠BOC＝5x．
∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝5x+x＝6x．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝＝3x．
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝3x﹣x＝2x＝36°．
∴x＝18°．
∴∠AOB＝6x＝108°．
【题型3】角的和差及其表示
【典型例题】如图，利用量角器测量角的度数，根据结果，以下结论错误的是（ ）
A.∠AOB+∠BOC＝90°
B.∠BOC+∠COD＝90°
C.∠AOD﹣∠COD＝90°
D.∠AOD﹣∠BOC＝90°
【答案】B
【解析】依题意得：∠AOB＝50°，∠BOC＝40°，∠COD＝40°，∠AOD＝130°，
则∠AOB+∠BOC＝50°+40°＝90°，
故选项A正确，不符合题意；
∵∠BOC+∠COD＝40°+40°＝80°，
故选项B正确，符合题意；
∵∠AOD﹣∠COD＝130°﹣40°＝90°，
故选项C正确，不符合题意；
∵∠AOD﹣∠BOC＝130°﹣40°＝90°，
故选项D正确，不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】把一副三角尺的两个锐角的一条边和顶点重合（如图），这两个角的差是（ ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
【答案】C
【解析】如图所示：
由题可知：∠ABE＝60°，∠CBD＝45°，
∴∠1＝∠ABE﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
故选：C．
【举一反三2】如图所示，∠AOD﹣∠AOC等于（ ）
A.∠AOC B.∠BOC C.∠BOD D.∠COD
【答案】D
【解析】结合图形，显然∠AOD﹣∠AOC＝∠COD．
故选：D．
【举一反三3】按图填空：
（1）∠AOB+∠BOC＝ ；
（2）∠AOC+∠COD＝ ；
（3）∠BOD﹣∠COD＝ ；
（4）∠AOD﹣ ＝∠AOB．
【答案】（1）AOC
（2）AOD
（3）BOC
（4）BOD
【解析】（1）由图可得，∠AOB+∠BOC＝∠AOC；
故答案为：∠AOC．
（2）∠AOC+∠COD＝∠AOD；
故答案为：∠AOD．
（3）∠BOD﹣∠COD＝∠BOC；
故答案为：∠BOC．
（4）∠AOD﹣∠BOD＝∠AOB．
故答案为：∠BOD．
【举一反三4】（1）图中共有多少个角？请分别表示这些角；
（2）根据图形填空：
∠AOB+∠BOC＝ ；∠BOD﹣∠BOC＝ ；∠AOD﹣∠DOB＝ ．
【答案】解：（1）图中共有6个角，分别是：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD．
（2）∠AOB+∠BOC＝∠AOC；∠BOD﹣∠BOC＝∠COD；∠AOD﹣∠DOB＝∠AOB．
故答案为：∠AOC；∠COD；∠AOB．
