6.8余角和补角
【知识点1】方向角 1
【知识点2】七巧板 2
【知识点3】余角和补角 3
【题型1】求一个角的余角 4
【题型2】求一个角的补角 5
【题型3】与方位角有关的计算题 5
【题型4】方位角的表示 8
【题型5】与余角、补角有关的计算 10
【题型6】余角和补角的性质 10
【知识点1】方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
1.（2025 东莞市校级二模）同学们在操场上进行实地测量，如图，在A处测得建筑物C在南偏西60°的方向上，在B处测得建筑物C在南偏西20°的方向上．则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
2.（2025春 陈仓区期中）如图，A地在B地的北偏西30°方向，则B地在A地的（ ）方向．
A．北偏西30° B．北偏东60° C．南偏西30° D．南偏东30°
3.（2025春 武汉期中）如图是两艘舰艇的位置示意图，下列描述舰艇B相对舰艇A位置正确的是（ ）
A．北偏东40°，25海里 B．北偏东50°，25海里
C．南偏西40°，25海里 D．南偏东50°，25海里
【知识点2】七巧板
（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．
（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．
1.（2021秋 亭湖区期末）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是用如图所示的七巧板拼成的，则不能用七巧板拼成的那幅图是（ ）
A．金字塔 B．拱桥
C．
房屋 D．
金鱼
2.（2012秋 宿城区校级月考）在一副七巧板中有（ ）种不同形状的图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2021春 宁化县月考）如图，七巧板中小阴影的面积是大阴影面积的（ ）
A． B． C． D．
【知识点3】余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
1.（2025 裕华区校级三模）如图，在△ABC中，∠B为锐角，m⊥AB，n⊥BC，则下列角中，∠B的余角为（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠A D．∠C
2.（2025春 安国市期中）下列角中，可能与20°角互余的是（ ）
A． B． C． D．
【题型1】求一个角的余角
【典型例题】若∠A＝35°16′，则其余角的度数为( )
A. 54°44′ B. 54°84′ C. 55°44′ D. 144°44′
【举一反三1】将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于∠α与∠β之间的关系一定正确的是( )
A. ∠α＝∠β B. ∠α＝∠β C. ∠α+∠β＝90° D. ∠α+∠β＝180°
【举一反三2】一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为( )
A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 67.5°
【举一反三3】若∠α＝60°32'，则∠α的余角是( )
A. 29°68' B. 29°28' C. 119°68' D. 119°28'
【举一反三4】如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是( )
A. B. C. D.
【题型2】求一个角的补角
【典型例题】已知∠A＝39°43′27″，则∠A的补角等于( )
A. 39°43′27″ B. 150°16′33″ C. 140°16′33″ D. 60°16′33″
【举一反三1】若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为( )
A. 42° B. 52° C. 132° D. 142°
【举一反三2】下面角的图示中，能与30°角互补的是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】下面角的图示中，能与30°角互补的是( )
A. B. C. D.
【举一反三4】若∠A＝40°，则∠A的补角为( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 140°
【题型3】与方位角有关的计算题
【典型例题】如图，甲从点A出发向北偏东70°10'方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°10'方向走到点C，则∠BAC的度数是( )
A. 124°20' B. 124°40' C. 125° D. 125°20'
【举一反三1】如图，甲从点A出发向北偏东70°10'方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°10'方向走到点C，则∠BAC的度数是( )
A. 124°20' B. 124°40' C. 125° D. 125°20'
【举一反三2】如图，以点O为观测点，点A在点O北偏东20°30′的方向上，点B在点O南偏西50°的方向上，则∠AOB的度数是( )
A. 70°30′ B. 150° C. 150°30′ D. 160°30′
【举一反三3】北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A，B，C分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西77°方向，北京南站在天安门的南偏西18°方向．则∠BAC＝ °．
【举一反三4】如图①，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北(东偏北45°或北偏东45°)方向上．货轮B在码头O的西北方向上．
(1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；
(2)如图②，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北15°的OC的方向行驶，货轮D向北偏西15°的OD方向航行，求∠COD的度数．
【举一反三5】 如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2 cm，OB＝2.5 cm，OP＝4 cm，点C为OP的中点，回答下列问题：
(1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？
(2)学校、商场、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？
(3)若学校距离小明家400 m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
【题型4】方位角的表示
【典型例题】如图，辽宁省在河北省的( )
A. 西偏南方向 B. 东偏北方向 C. 西偏北方向 D. 东偏南方向
【举一反三1】如图，OA为北偏东35°方向，∠AOB＝90°，则OB的方向为( )
A. 南偏东35° B. 南偏东55° C. 南偏西55° D. 北偏东55°
【举一反三2】如图，OA是北偏东30°一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是( )
A. 北偏西 60° B. 北偏西 30° C. 东偏北 60° D. 东偏北 30°
【举一反三3】下列表述中，能确定小明家的位置的是( )
A. 距学校300 m处 B. 在学校的西边 C. 在西北方向300 m处 D. 在学校西北方向300 m处
【举一反三4】如图所示，给出下列说法：
①OA的方向是东北方向；②OB的方向是北偏西60°；
③OC的方向是南偏西60°；④OD的方向是南偏东60°.
其中不正确说法的序号有 ．
【举一反三5】如图所示，岛P位于岛Q的正西方，船R位于岛Q的西北方向上，船R位于岛P的 方向上(用方位角表示)．
【举一反三6】如图所示，岛P位于岛Q的正西方，船R位于岛Q的西北方向上，船R位于岛P的 方向上(用方位角表示)．
【举一反三7】如图所示，给出下列说法：
①OA的方向是东北方向；②OB的方向是北偏西60°；
③OC的方向是南偏西60°；④OD的方向是南偏东60°.
其中不正确说法的序号有 ．
【题型5】与余角、补角有关的计算
【典型例题】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是( )
A. ∠1与∠3互余 B. ∠2＝90° C. AE平分∠BEF D. ∠1与∠AEC互补
【举一反三1】若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【举一反三2】如图是一副三角板摆成的图形，如果∠AOC＝155°，则∠BOD等于( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【举一反三3】∠1=120°，∠1与∠2互补，∠3与∠2 互余，则∠3= ．
【举一反三4】已知∠A与∠B互余，若∠A=20°15′，则∠B的度数为 ．
【举一反三5】一个角的余角比它的补角的少40°，求这个角的度数．
【题型6】余角和补角的性质
【典型例题】下列关于余角和补角的说法正确的是( )
A. 若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余
B. 若∠α+∠β+∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补
C. 若∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则∠1与∠3互余
D. 若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3相等
【举一反三1】如果∠α+∠β＝180°，而∠β与∠γ互补，那么∠α与∠γ的关系为( )
A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不能确定
【举一反三2】若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α与∠γ的关系是( )
A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. ∠α=90°+∠γ
【举一反三3】已知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，如果∠1＝∠3，那么∠2＝∠4，依据是( )
A. 同角的余角相等
B. 同角的补角相等
C. 等角的余角相等
D. 等角的补角相等
【举一反三4】如图，如果∠AOB=∠COD=90°，那么∠1=∠2，这是根据( )
A. 直角都相等
B. 等角的余角相等
C. 同角的余角相等
D. 同角的补角相等
【举一反三5】如图，已知O为直线AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM和ON分别是∠AOC和∠AOB的平分线，∠MON＝40°．
(1)问∠COD与∠AOB相等吗？为什么？
(2)求∠AOB的度数．
【举一反三6】如图(甲)，∠AOC和∠BOD都是直角．
(1)如果∠DOC＝28°，那么∠AOB的度数是多少？
(2)找出图(甲)中相等的角．如果∠DOC≠28°，它们还会相等吗？请说明理由．
(3)若∠DOC变小，则∠AOB如何变化？请说明理由．
(4)在图(乙)中利用能够画直角的工具再画一个与∠COB相等的角．6.8余角和补角
【知识点1】方向角 1
【知识点2】七巧板 3
【知识点3】余角和补角 5
【题型1】求一个角的余角 6
【题型2】求一个角的补角 8
【题型3】与方位角有关的计算题 9
【题型4】方位角的表示 13
【题型5】与余角、补角有关的计算 17
【题型6】余角和补角的性质 18
【知识点1】方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
1.（2025 东莞市校级二模）同学们在操场上进行实地测量，如图，在A处测得建筑物C在南偏西60°的方向上，在B处测得建筑物C在南偏西20°的方向上．则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和方向角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠A=60°，
∴∠BDC=120°，
∴∠C=180°-∠B-∠BDC=40°．
故选：B．
2.（2025春 陈仓区期中）如图，A地在B地的北偏西30°方向，则B地在A地的（ ）方向．
A．北偏西30° B．北偏东60° C．南偏西30° D．南偏东30°
【答案】D
【分析】根据方向角的定义可得答案．
【解答】解：∵A地在B地的北偏西30°方向，
∴B地在A地的南偏东30°方向．
故选：D．
3.（2025春 武汉期中）如图是两艘舰艇的位置示意图，下列描述舰艇B相对舰艇A位置正确的是（ ）
A．北偏东40°，25海里 B．北偏东50°，25海里
C．南偏西40°，25海里 D．南偏东50°，25海里
【答案】B
【分析】根据方位角的概念，可得答案．
【解答】解：由图可知，舰艇B相对舰艇A位置是北偏东50°，25海里．
故选：B．
【知识点2】七巧板
（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．
（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．
1.（2021秋 亭湖区期末）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是用如图所示的七巧板拼成的，则不能用七巧板拼成的那幅图是（ ）
A．金字塔 B．拱桥
C．
房屋 D．
金鱼
【答案】C
【分析】利用七巧板拼图片，需要考虑到重合边的长度是否相等
【解答】设七巧板中最小的边长为1，则七巧板中的边长有1，2，，2这四种，其中图C中最大的三角形的直角边长为2，而平行四边形的较长边为，两边不能完全重合，因此图C是错的．
故选：C．
2.（2012秋 宿城区校级月考）在一副七巧板中有（ ）种不同形状的图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据七巧板的特点来回答即可．
【解答】解：有3种，平行四边形、等腰直角三角形、正方形．
故选：C．
3.（2021春 宁化县月考）如图，七巧板中小阴影的面积是大阴影面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据所学七巧板相关知识，设大正方形的面积为4S，则大阴影部分即大等腰直角三角形的面积为S，小阴影部分的面积为S，作商可得结论．
【解答】解：设大正方形的面积为4S，
由图可知，大阴影部分即大等腰直角三角形的面积为S，小阴影部分的面积为S，
∴小阴影部分：大阴影部分=．
故选：B．
【知识点3】余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
1.（2025 裕华区校级三模）如图，在△ABC中，∠B为锐角，m⊥AB，n⊥BC，则下列角中，∠B的余角为（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠A D．∠C
【答案】A
【分析】根据垂直的性质得出∠B+∠BDE=90°，再根据对顶角相等得出∠1=∠BDE，即可得出∠B的余角．
【解答】解：如图，
∵n⊥BC，
∴∠B+∠BDE=90°，
∵∠1=∠BDE，
∴∠B+∠1=90°，
即∠B的余角为∠1，
故选：A．
2.（2025春 安国市期中）下列角中，可能与20°角互余的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据互余的两个角的和是90°判断即可．
【解答】解：可能与20°角互余的是选项B中的角，
故选：B．
【题型1】求一个角的余角
【典型例题】若∠A＝35°16′，则其余角的度数为( )
A. 54°44′ B. 54°84′ C. 55°44′ D. 144°44′
【答案】A
【解析】∠A的余角为：90°﹣∠A＝90°﹣35°16′＝54°44′；
故选：A．
【举一反三1】将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于∠α与∠β之间的关系一定正确的是( )
A. ∠α＝∠β B. ∠α＝∠β C. ∠α+∠β＝90° D. ∠α+∠β＝180°
【答案】C
【解析】∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，
故选：C．
【举一反三2】一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为( )
A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 67.5°
【答案】B
【解析】根据图形得出：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1的度数是∠2的3倍，
∴4∠2＝90°，
∴∠2＝22.5°，
故选：B．
【举一反三3】若∠α＝60°32'，则∠α的余角是( )
A. 29°68' B. 29°28' C. 119°68' D. 119°28'
【答案】B
【解析】若∠α＝60°32'，则∠α的余角是90°﹣60°32'＝29°28'．
故选：B．
【举一反三4】如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A．∠α与∠β互余，故本选项正确；
B．∠α＝∠β，故本选项错误；
C．∠α＝∠β，故本选项错误；
D．∠α与∠β互补，故本选项错误，
故选：A．
【题型2】求一个角的补角
【典型例题】已知∠A＝39°43′27″，则∠A的补角等于( )
A. 39°43′27″ B. 150°16′33″ C. 140°16′33″ D. 60°16′33″
【答案】C
【解析】∵∠A＝39°43′27″，
∴它的补角＝180°﹣39°43′27″＝140°16′33″．
故选：C．
【举一反三1】若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为( )
A. 42° B. 52° C. 132° D. 142°
【答案】C
【解析】180°﹣48°＝132°．
故选：C．
【举一反三2】下面角的图示中，能与30°角互补的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】30°角的补角=180°-30°=150°，是钝角，结合各图形，只有选项C是钝角，所以，能与30°角互补的是选项C．故选C．
【举一反三3】下面角的图示中，能与30°角互补的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】30°角的补角=180°-30°=150°，是钝角，结合各图形，只有选项C是钝角，所以，能与30°角互补的是选项C．故选C．
【举一反三4】若∠A＝40°，则∠A的补角为( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 140°
【答案】D
【解析】因为∠A＝40°，
所以∠A的补角为：180°﹣∠A＝140°．
故选：D．
【题型3】与方位角有关的计算题
【典型例题】如图，甲从点A出发向北偏东70°10'方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°10'方向走到点C，则∠BAC的度数是( )
A. 124°20' B. 124°40' C. 125° D. 125°20'
【答案】C
【解析】AB与正东方向的夹角的度数是：90°﹣70°10'＝19°50'，
则∠BAC＝19°50'+90°+15°10'＝125°．
故选：C．
【举一反三1】如图，甲从点A出发向北偏东70°10'方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°10'方向走到点C，则∠BAC的度数是( )
A. 124°20' B. 124°40' C. 125° D. 125°20'
【答案】C
【解析】AB与正东方向的夹角的度数是：90°﹣70°10'＝19°50'，
则∠BAC＝19°50'+90°+15°10'＝125°．
故选：C．
【举一反三2】如图，以点O为观测点，点A在点O北偏东20°30′的方向上，点B在点O南偏西50°的方向上，则∠AOB的度数是( )
A. 70°30′ B. 150° C. 150°30′ D. 160°30′
【答案】C
【解析】如图：
由题意得：
∠AOC＝20°30′，∠BOD＝40°，∠COD＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD
＝20°30′+90°+40°
＝150°30′，
故选：C．
【举一反三3】北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A，B，C分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西77°方向，北京南站在天安门的南偏西18°方向．则∠BAC＝ °．
【答案】59
【解析】∠BAC＝77°﹣18°＝59°，
故答案为：59．
【举一反三4】如图①，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北(东偏北45°或北偏东45°)方向上．货轮B在码头O的西北方向上．
(1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；
(2)如图②，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北15°的OC的方向行驶，货轮D向北偏西15°的OD方向航行，求∠COD的度数．
【答案】解 (1)如图，射线OB即为所求．
(2)由题意，∠COQ＝∠DOM＝15°，
∴∠COD＝∠MOQ＝90°．
【举一反三5】 如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2 cm，OB＝2.5 cm，OP＝4 cm，点C为OP的中点，回答下列问题：
(1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？
(2)学校、商场、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？
(3)若学校距离小明家400 m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
【答案】解 (1)∵点C为OP的中点，
∴OC＝OP＝×4＝2 cm，
∵OA＝2 cm，
∴距小明家距离相同的是学校和公园；
(2)学校北偏东45°，商场北偏西30°，公园南偏东60°，停车场南偏东60°；
公园和停车场的方位相同；
(3)图上1 cm表示：400÷2＝200 m，
商场距离小明家：2.5×200＝500 m，
停车场距离小明家：4×200＝800 m．
【题型4】方位角的表示
【典型例题】如图，辽宁省在河北省的( )
A. 西偏南方向 B. 东偏北方向 C. 西偏北方向 D. 东偏南方向
【答案】B
【解析】由图可知辽宁省在河北省的东偏北方向，
故选：B．
【举一反三1】如图，OA为北偏东35°方向，∠AOB＝90°，则OB的方向为( )
A. 南偏东35° B. 南偏东55° C. 南偏西55° D. 北偏东55°
【答案】B
【解析】∵OA为北偏东35°方向，∠AOB＝90°，
∴OB的方向为南偏东180°﹣35°﹣90°＝55°．
故选：B．
【举一反三2】如图，OA是北偏东30°一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是( )
A. 北偏西 60° B. 北偏西 30° C. 东偏北 60° D. 东偏北 30°
【答案】A
【解析】如图，∵射线OB与射线OA垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∴射线OB的方向角是北偏西60°，
故选：A．
【举一反三3】下列表述中，能确定小明家的位置的是( )
A. 距学校300 m处 B. 在学校的西边 C. 在西北方向300 m处 D. 在学校西北方向300 m处
【答案】D
【解析】能确定小明家的位置的是在学校西北方向300 m处．
故选：D．
【举一反三4】如图所示，给出下列说法：
①OA的方向是东北方向；②OB的方向是北偏西60°；
③OC的方向是南偏西60°；④OD的方向是南偏东60°.
其中不正确说法的序号有 ．
【答案】④
【解析】①OA的方向是东北方向，正确；
②OB的方向是北偏西60°，正确；
③OC的方向是南偏西60°，正确；
④OD的方向是南偏东30°，命题错误．
故答案为：④．
【举一反三5】如图所示，岛P位于岛Q的正西方，船R位于岛Q的西北方向上，船R位于岛P的 方向上(用方位角表示)．
【答案】北偏东60°
【解析】如图：
由题意得：∠APQ＝90°，∠RPQ＝30°，
∴∠APR＝∠APQ﹣∠RPQ＝60°，
∴船R位于岛P的北偏东60°方向上，
答案为：北偏东60°．
【举一反三6】如图所示，岛P位于岛Q的正西方，船R位于岛Q的西北方向上，船R位于岛P的 方向上(用方位角表示)．
【答案】北偏东60°
【解析】如图：
由题意得：∠APQ＝90°，∠RPQ＝30°，
∴∠APR＝∠APQ﹣∠RPQ＝60°，
∴船R位于岛P的北偏东60°方向上，
答案为：北偏东60°．
【举一反三7】如图所示，给出下列说法：
①OA的方向是东北方向；②OB的方向是北偏西60°；
③OC的方向是南偏西60°；④OD的方向是南偏东60°.
其中不正确说法的序号有 ．
【答案】④
【解析】①OA的方向是东北方向，正确；
②OB的方向是北偏西60°，正确；
③OC的方向是南偏西60°，正确；
④OD的方向是南偏东30°，命题错误．
故答案为：④．
【题型5】与余角、补角有关的计算
【典型例题】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是( )
A. ∠1与∠3互余 B. ∠2＝90° C. AE平分∠BEF D. ∠1与∠AEC互补
【答案】C
【解析】根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC，
∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°，
∴2(∠1+∠3)＝180°，即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意；
∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意；
∵∠1+∠AEC＝180°，故D不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】A
【解析】设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．
由题意得，90°﹣α＝(180°﹣α)，
解得：α＝30°．
故这个角的度数为30°．
故选：A．
【举一反三2】如图是一副三角板摆成的图形，如果∠AOC＝155°，则∠BOD等于( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【答案】B
【解析】由题意得，∠AOB＝90°，∠COD＝90°．
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝155°﹣90°＝65°．
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
【举一反三3】∠1=120°，∠1与∠2互补，∠3与∠2 互余，则∠3= ．
【答案】30°
【解析】∵∠1=120°，∠1与∠2互补，∴∠2=60°，∵∠3与∠2 互余，∴∠3=30°．故答案为：30°．
【举一反三4】已知∠A与∠B互余，若∠A=20°15′，则∠B的度数为 ．
【答案】69.75°
【解析】∵∠A与∠B互余，∠A=20°15′，∴∠B=90°-20°15′=69°45′=69.75°．故答案为：69.75°．
【举一反三5】一个角的余角比它的补角的少40°，求这个角的度数．
【答案】解 设这个角为x，则
90°﹣x+40°＝(180°﹣x)，
解得x＝30°．
答：这个角的度数为30°．
【题型6】余角和补角的性质
【典型例题】下列关于余角和补角的说法正确的是( )
A. 若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余
B. 若∠α+∠β+∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补
C. 若∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则∠1与∠3互余
D. 若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3相等
【答案】D
【解析】A.是3个角，不符合互余的定义，故A选项不符合题意；
B.是3个角，不符合互补的定义，故B选项不符合题意；
C.若∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则∠1＝∠3，∠1与∠3不一定互余，故C选项不符合题意；
D.若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3相等，故D符合题意．
故选：D．
【举一反三1】如果∠α+∠β＝180°，而∠β与∠γ互补，那么∠α与∠γ的关系为( )
A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不能确定
【答案】C
【解析】∵∠β与∠γ互补，
∴∠β+∠γ＝180°，
又∵∠α+∠β＝180°，
∴∠α＝∠γ．
故选：C．
【举一反三2】若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α与∠γ的关系是( )
A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. ∠α=90°+∠γ
【答案】C
【解析】由题意得，∠α=180°-∠β，∠γ=180°-∠β，∴∠α=∠γ．故选C．
【举一反三3】已知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，如果∠1＝∠3，那么∠2＝∠4，依据是( )
A. 同角的余角相等
B. 同角的补角相等
C. 等角的余角相等
D. 等角的补角相等
【答案】D
【解析】∵∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，且∠1＝∠3，
∴∠2＝∠4(等角的补角相等)．
故选：D．
【举一反三4】如图，如果∠AOB=∠COD=90°，那么∠1=∠2，这是根据( )
A. 直角都相等
B. 等角的余角相等
C. 同角的余角相等
D. 同角的补角相等
【答案】C
【解析】∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠1+∠BOC=90°，∠2+∠BOC=90°，∴∠1=∠2，依据是同角的余角相等，故选C．
【举一反三5】如图，已知O为直线AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM和ON分别是∠AOC和∠AOB的平分线，∠MON＝40°．
(1)问∠COD与∠AOB相等吗？为什么？
(2)求∠AOB的度数．
【答案】解 (1)∵∠AOC与∠AOB互补，
∴∠AOC+∠AOB＝180°，
∵∠AOC+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝∠AOB；
(2)∵OM和ON分别是∠AOC和∠AOB的平分线，
∴∠AOM＝∠AOC，∠AON＝，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝∠AOC﹣∠AOB＝(∠AOC﹣∠AOB)＝∠BOC，
∵∠MON＝40°，
∴∠BOC＝80°，
∴∠DOC+∠AOB＝180°﹣80°＝100°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＝50°．
【举一反三6】如图(甲)，∠AOC和∠BOD都是直角．
(1)如果∠DOC＝28°，那么∠AOB的度数是多少？
(2)找出图(甲)中相等的角．如果∠DOC≠28°，它们还会相等吗？请说明理由．
(3)若∠DOC变小，则∠AOB如何变化？请说明理由．
(4)在图(乙)中利用能够画直角的工具再画一个与∠COB相等的角．
【答案】解 (1)∵∠BOD＝90°，∠DOC＝28°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC＝90°﹣28°＝62°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝152°；
(2)图(甲)中相等的角：∠AOD＝∠BOC，
如果∠DOC≠28°，它们还会相等；
∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOD+∠DOC＝90，∠BOC+∠DOC＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC；
(3)若∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大；
∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOD﹣∠DOC＝180°﹣∠DOC，
∴∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大；
(4)过点O在OE的同侧作∠EOM＝∠FON＝90°，则∠FOE＝∠MON．
