浙教版（2024）八年级上册 第2章 特殊三角形 单元测试(含解析)

浙教版（2024）八年级上册 第2章 特殊三角形 单元测试
一、选择题
1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（　　）
A.9cm B.8cm C.7cm D.6cm
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝CD，BD＝6cm，则AC的长为（　　）
A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm
5.如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（　　）
A. B. C. D.
6.在如图的网格上，能找出几个格点，使每一个格点与A、B两点构成等腰三角形（　　）
A.5 B.6 C.3 D.4
7.如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠BAC＝30°．点P为直线BC上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　）
A.4个 B.6个 C.8个 D.9个
8.“直角都相等”与“相等的角是直角”是（　　）
A.互为逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题
9.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝10，BC＝6，则BD的长为（　　）
A.2.5 B.2 C.4 D.1
10.若实数m，n满足等式|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）
A.12 B.15 C.12或15 D.18
11.一个等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A.2 B.8 C.2或8 D.10
如图，在和中，，，，，相交于点，点，分别是线段，的中点以下结论：；；是等边三角形；连接，则平分其中正确的结论是 ．
12.
A. B. C. D.
二、填空题
13.如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 　 　．
14.如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起　　cm高．
15.如图，是两个完全相同且有一个角为60°的直角三角形所拼而成，则图中等腰三角形有　 　个．
16.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路CD与DF的夹角∠CDF＝54°．城市规划部门想新修一条道路BF，要求BE＝EF，则∠B的度数为 　 　．
17.如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是 　 　．
三、解答题
18.三个半圆的面积分别为，，，这三个半圆拼成如图所示的图形，一定是直角三角形吗？请说明理由．
19.如图，直线l表示草原上的一条河．小明家为B处，小红家为A处，小明从家出发到小红家取钓鱼工具再去河边钓鱼，问小明按怎样的路线走能使总路程最短？请作出这条路线．
20.上午时，一条船从海岛出发，以海里时，的速度向正北航行，时到达海岛处．从，望灯塔，测得，求从海岛到灯塔的距离．
21.如图，已知AB∥CD，AD是∠CAB的平分线且交CD于点D．
（1）若∠ACD＝130°，求∠DAB的度数；
（2）若CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝ED．
22.如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且EG＝FG，EF平分∠AEG．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．
（2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点O，设∠Q＝α，∠EHG＝β．
①若β＝92°，∠QGE＝20°，求α的值，
②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，写出α和β的数量关系并证明：若变化，请说明理由．
浙教版（2024）八年级上册 第2章 特殊三角形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】如图：分情况讨论
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个（不存在满足△ABC为面积为1的情况）；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：B．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠DCF，
∴△EBD、△DBC、△FDC是等腰三角形，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，且△ABC是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝∠ABC，
∴△AEF是等腰三角形．
所以共有△EBD、△DBC、△FDC、△ABC、△AEF5个等腰三角形．
故选：C．
3.如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（　　）
A.9cm B.8cm C.7cm D.6cm
【答案】D
【解析】由题意，可得这只烧杯的直径是： 6（cm）．
故选：D．
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝CD，BD＝6cm，则AC的长为（　　）
A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝CD，BD＝6cm，
则AC＝2BD＝2×6＝12（cm），
故选：D．
5.如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；
C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
故选：B．
6.在如图的网格上，能找出几个格点，使每一个格点与A、B两点构成等腰三角形（　　）
A.5 B.6 C.3 D.4
【答案】A
【解析】如图：
从图中第一列中，可知当格点在最下方时，△ABC为等腰三角形，
第二列中没有构成等腰三角形的格点；
第三列中第一个格点和第二个格点可以构成等腰三角形△ABD，△ABE；
第四列中第二个格点和第四个格点可以构成等腰三角形△ABF，△ABG；
第五列中没有构成等腰三角形的格点．
故选：A．
7.如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠BAC＝30°．点P为直线BC上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　）
A.4个 B.6个 C.8个 D.9个
【答案】C
【解析】如图：
∵在△ABC中，∠ABC＝75°，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
当∠CAP＝∠CPA时，△CAP为等腰三角形；
当∠BAP＝∠APB时，△BAP为等腰三角形；
当∠ABP＝∠BAP时，△BAP为等腰三角形；
当P与C重合时，△APB为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当∠ACP＝∠CAP时，△CAP为等腰三角形；
当∠PAC＝∠APC时，△CAP为等腰三角形；
当∠BAP＝∠BPA时，△BAP为等腰三角形；
综上，满足条件的点P的位置有8个．
故选：C．
8.“直角都相等”与“相等的角是直角”是（　　）
A.互为逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题
【答案】A
【解析】“直角都相等”与“相等的角是直角”是互为逆命题；
故选：A．
9.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝10，BC＝6，则BD的长为（　　）
A.2.5 B.2 C.4 D.1
【答案】B
【解析】∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△BDC≌△EDC（ASA），
∴BC＝CE＝6，BD＝DE，
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE，
∵AC＝10，BC＝6，
∴AE＝AC﹣CE＝4，
∴BE＝AE＝4，
∴BDBE＝2，
故选：B．
10.若实数m，n满足等式|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）
A.12 B.15 C.12或15 D.18
【答案】B
【解析】∵|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，
∴m﹣3＝0，n﹣6＝0，
解得m＝3，n＝6，
当m＝3作腰时，三边为3，3，6，不符合三边关系定理；
当n＝6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6＝15．
故选：B．
11.一个等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A.2 B.8 C.2或8 D.10
【答案】B
【解析】设腰长为2x，一腰的中线为y，
则（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，
解得：x＝4，x＝1，
∴2x＝8或2，
①三角形ABC三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；
②三角形ABC三边是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理；
故选：B．
如图，在和中，，，，，相交于点，点，分别是线段，的中点以下结论：；；是等边三角形；连接，则平分其中正确的结论是 ．
12.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，，，，
在和中，故正确设与交于，
，，，，，故正确，，，
又点、分别是线段、的中点，，，，
在和中，，，
又，，，，不一定是等边三角形，故不符合题意过作于，于，
，，，，，平分，故正确，
故选A．
二、填空题
13.如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 　 　．
【答案】18米
【解析】大树折断后形成直角△ABC，且BC为斜边，
∴AB2+AC2＝BC2，
∵AB＝5米，AC＝12米，
∴BC13米，
大树折断前的高度为AB+BC＝5米+13米＝18米．
故答案为：18米．
14.如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起　　cm高．
【答案】82
【解析】设长方形的长为a，宽为b，对角线的长度为c，
∵a＝80cm，b＝18cm，
∴c82cm．
故最多可将这扇卷闸门撑起82cm．
15.如图，是两个完全相同且有一个角为60°的直角三角形所拼而成，则图中等腰三角形有　 　个．
【答案】3
【解析】如图所示，∵∠B＝∠C＝30°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠D＝∠AMD＝60°，∠F＝∠ANF＝60°，
∴AD＝AM，AF＝AN，
∴△ADM、△ANF是等腰三角形，
△ADM，△AFN，△ABC均为等腰三角形，共有三个．
故填3．
16.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路CD与DF的夹角∠CDF＝54°．城市规划部门想新修一条道路BF，要求BE＝EF，则∠B的度数为 　 　．
【答案】27°
【解析】∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CDF＝54°，
∵BE＝EF，
∴∠B＝∠F，
∵∠AEF＝∠B+∠F，
∴∠B∠AEF54°＝27°．
故答案为：27°．
17.如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是 　 　．
【答案】10°，80°，140°或20°
【解析】∵∠B＝130°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝20°，
分三种情况：
当AP＝AB时，点P在CA的延长线上，如图：
∵∠BAC是ABP的一个外角，
∴∠BAC＝∠APB+∠ABP＝20°，
∵AB＝AP，
∴∠APB＝∠ABP＝10°；
当AP＝AB时，点P在AC上，如图：
∵AB＝AP，∠BAP＝20°，
∴∠ABP＝∠APB80°；
当BA＝BP时，如图：
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝20°，
∴∠ABP＝180°﹣∠BAP﹣∠BPA＝140°；
当PA＝PB时，如图：
∵PA＝PB，
∴∠BAP＝∠ABP＝20°；
综上所述：当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是10°，80°，140°或20°，
故答案为：10°，80°，140°或20°．
三、解答题
18.三个半圆的面积分别为，，，这三个半圆拼成如图所示的图形，一定是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】解：一定是直角三角形，理由如下：，，，，，，，一定是直角三角形．
【解析】
19.如图，直线l表示草原上的一条河．小明家为B处，小红家为A处，小明从家出发到小红家取钓鱼工具再去河边钓鱼，问小明按怎样的路线走能使总路程最短？请作出这条路线．
【答案】解；如图所示：
连接AB，是两点之间线段最短；
作AC垂直于河岸，是垂线段最短．
【解析】
20.上午时，一条船从海岛出发，以海里时，的速度向正北航行，时到达海岛处．从，望灯塔，测得，求从海岛到灯塔的距离．
【答案】解：
．
，．，． 答：从海岛到灯塔的距离为．
【解析】
21.如图，已知AB∥CD，AD是∠CAB的平分线且交CD于点D．
（1）若∠ACD＝130°，求∠DAB的度数；
（2）若CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝ED．
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠D＝∠BAD，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACD＝130°，
∴∠D25°，
∴∠DAB＝25°；
（2）证明：∠CAD＝∠BAD，
∴CA＝CD，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE．
【解析】
22.如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且EG＝FG，EF平分∠AEG．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．
（2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点O，设∠Q＝α，∠EHG＝β．
①若β＝92°，∠QGE＝20°，求α的值，
②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，写出α和β的数量关系并证明：若变化，请说明理由．
【答案】解：（1）直线AB与直线CD平行，理由：
∵EF平分∠AEG，
∴∠AEF＝∠GEF，
又∵∠EFG＝∠FEG，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴AB∥CD；
（2）①∵∠QGE＝20°，GQ是∠EGH的平分线，
∴∠QGH＝∠QGE＝20°．
∵β＝92°，
∴∠HMG＝180°﹣92°﹣20°＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠QGF＝∠HMG＝68°，
∴∠EGF＝∠QGF﹣∠QGE＝68°﹣20°＝48°，
∵EG＝FG，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴∠GEF66°，
∴∠Q＝∠GEF﹣∠QGE＝66°﹣20°＝46°；
②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化，
∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH，
又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，
∴∠FEG∠AEG，∠EGQ∠EGH，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ
（∠AEG﹣∠EGH）
∠EHG，
即αβ．
【解析】