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专题1.7角平分线的性质十一大题型（一课一讲）
角平分线的性质
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
如图所示，AP是∠CAB的角平分线，所以PE=PD.
题型一：利用角平分线的性质求线段长度
【例题1】如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（ ）．
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练应用角平分线的性质定理是解题的关键．过D作于F，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可．
【详解】解：如图，过D作于F，
∵是中的角平分线，于点E，，
，
∵，
，
，
，
解得：．
故选：B．
【变式训练1-1】(24-25八上·四川资阳安岳县元坝初级中学·月考)如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的定义和性质，三角形内角和定理．
由已知可得，从而可得，由角平分线的性质可得，由线段之间的数量关系即可得的长．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∵，垂足为，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【变式训练1-2】(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，点在上，且于，，分别平分，，，若，则点到的距离是（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的定义，根据，，平分，得，故，再结合，，得，，在同一条直线上，则，即可作答．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，，平分，
∴，
同理，
∴
∵，
∴，，在同一条直线上
∴
故选：D．
【变式训练1-3】(24-25八·辽宁大连甘井子区·期末)在中，，平分交于点D，，的面积为，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点D作于E，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质得，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵，，
，
解得：，
∵平分，，，
∴，
故选：B．
【变式训练1-4】(24-25八上·四川眉山洪雅县·期末)如图，是中的平分线，于点E，，，，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解题的关键．作于点，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作于点，如图所示：
是中的平分线，于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【变式训练1-5】(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团·期末)如图，在中，，若平分，，，则点D到的距离为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出辅助线，找出点到的距离的线段是解题的关键．
过点作，垂足为，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，即可得解．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
即点到的距离为3．
故答案为：3．
题型二：根据角平分线的性质求面积
【例题2】如图，有三块菜地，，分别种植三种蔬菜，点为与的交点，平分，，，菜地的面积为96，则菜地的面积是 ．
【答案】32
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键．
由三角形中线的性质得到，过点作，交的延长线于，于，由角平分线的性质可得，由三角形的面积关系可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
过点作，交的延长线于，于，
∵平分，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练2-1】(24-25八下·广东清远清城区松岗中学·月考)如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【详解】解：如图，连接，过O作于E，于F，
、分别平分和，
，
的周长是20，于D，且，
，
，
．
故选：C．
【变式训练2-2】(24-25八下·内蒙古包头青山区·期末)如图，在中，，，O为的三条角平分线的交点，若的面积为8，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质.
过点作于，于，如图，根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，然后利用比例性质计算．
【详解】解：如图，过点作于，于，
为角平分线的交点，
，
，
．
故选：B．
【变式训练2-3】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期末)如图所示，的三边、、长分别为30、40、50，其三条角平分线交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键；过点O分别作，垂足分别为点D、E、F，由题意易得，然后根据三角形面积公式可进行求解．
【详解】解：过点O分别作，垂足分别为点D、E、F，如图所示：
∵分别平分，
∴，
∴，
∵的三边、、长分别为30、40、50，
∴；
故选：C．
【变式训练2-4】(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（ ）
A．9 B．15 C．12 D．30
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵平分，，，
，
的面积，
故选：B．
【变式训练2-5】如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，过点D作于点P，若，，则的面积为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．过点D作于点M，利用角平分线的性质定理得到，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于点M，
由题意可得：，
∴，
故选：B．
题型三：角平分线的性质综合（解答题）
【例题3】如图，在中，为的平分线，于点E，于点F．
(1)若的面积是，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，代数计算，即可作答．
（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，则，即可作答．
【详解】（1）解：∵为的平分线，于点E，于点F．
∴，
则，
∵的面积是，
∴，
解得；
（2）解： ∵为的平分线，于点E，于点F．
∴，
则，
∴，
故．
【变式训练3-1】(24-25八上·陕西西安陕西师范大学附中·月考)如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，
（）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证；
（）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解；
【详解】（1）证明：，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
【变式训练3-2】如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：点到三边所在直线的距离相等．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（）利用角平分线的定义求出和，再根据三角形外角性质解答即可；
（）过作于，于，于，由角平分线的性质可得，，即得，进而即可求证；
本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴；
（2）证明：过作于，于，于，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴点到三边所在直线的距离相等．
【变式训练3-3】(24-25八下·广西南宁第三十七中学·开学考)如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】由于点E，于点F，相交于点D，得，，而，即可根据“”证明≌；
由，，求得，由于点F，于点E，且，证明平分，则
【详解】（1）证明：于点E，于点F，相交于点D，
，，
在和中，
，
≌
（2）解：，，
，
由得≌，
，
于点F，于点E，且，
点D在的平分线上，
平分，
，
的度数是
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键．
【变式训练3-4】如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证：
(1)点到三边，，所在直线的距离相等；
(2)点在的平分线上．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)证明过程见解析．
【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定．
（1）作，，，由角平分线的性质，即可证得结论；
（2）由（1）可知，由角平分线的判定即可证得结论．
【详解】（1）证明：作于点，于点，于点，如图所示：
∵是的平分线，是的平分线，，相交于点，
∴，，
∴，
∴点到三边，，所在直线的距离相等．
（2）证明：由（1）可知，，
又∵，，
∴点在的平分线上．
【变式训练3-5】如下图，四边形中，，对角线平分．
(1)求证：．
(2)过点作于点．若的面积为，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积公式；（1）过点C分别作交的延长线于点F，于点G，根据角平分线和等角对等边即可得到，根据四边形对角和为和为平角即可得到，即可推出则得证；（2）延长交于点H，推出根据角平分线得到进而推出得到边相等，进而根据面积公式即可求得.
【详解】（1）证明：如图，过点分别作交的延长线于点，于点．
对角线平分，
．
，
．
，
．
（2）解：如图，延长交于点，
则．
平分，
．
，
，即是的中点，
，
．
尺规作图作角平分线
作法：（如图所示）
1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。
2.分别以点 E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两条弧交于∠BAC内一点D。
3.作射线AD。
射线AD就是∠BAC的平分线。
题型四：尺规作图作角平分线
【例题4】如图，有一三角形，请按以下要求作图并回答问题．
(1)作平分交与．
(2)作的垂直平分线交于．
(3)连接，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查尺规基本作图：作角平分线和作线段的垂直平分线，利用角平分线、线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理求解角的度数，熟练掌握尺规基本作图的作法是解题的关键．
（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧相交于一点，过与这个交点作射线交于点，即为所求；
（2）分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于即可；
（3）根据角平分线的性质可得，，根据垂直平分线的性质可得，，则，再由三角形内角和定理求得的度数．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的角平分线；
（2）解：如图所示，的垂直平分线及交点即为所求；
（3）解：由（1）可知，平分，
，
，
由（2）可知，的垂直平分线交于，
，
，
在中，，即，
．
【变式训练4-1】已知：中，，
(1)请你用尺规作的垂直平分线，作的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)与、、分别交于点D、E、F，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题成为解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线、角平分线的作图方法作图即可．
（2）由题意得，结合线段垂直平分线的性质可得，则可得．
【详解】（1）解：如图，、即为所求．
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵垂直平分，，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
【变式训练4-2】(24-25上·广东东莞松山湖北区学校·期末)如图，地块中，边，．
(1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹；
(2)若地块的面积为，求地块的面积．
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出．
（1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可；
（2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：作，，垂足分别为，；
∵是的角平分线，
∴，
∵边，，地块的面积为，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积为．
【变式训练4-3】如图，四边形中，点E在边上，且．
(1)实践与操作：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)应用与计算：若（1）中所作的角平分线与边交于点F，连接．求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）由角平分线的性质得到，再证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：平分，
，
又，，
，
．
【变式训练4-4】(23-24八下·广东广州第一一三中学·期中)如图，中，，，．
(1)尺规作图：作的平分线，与交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求点到线段的距离．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理，熟练掌握尺规作图是解题关键．
（1）先以点为圆心、适当长为半径画弧，分别交于点；再分别以点为圆心、大于长为半径画弧，在内，两弧交于点；然后作射线，与交于点，由此即可得；
（2）先利用勾股定理可得，再根据角平分线的性质定理可得，然后根据求解即可得．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
．
（2）解：如图，过点作于点，
∵在中，，，，
∴，
∵是的平分线，，，
∴，
设，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
即点到线段的距离为．
【变式训练4-5】(24-25七下·江苏苏州常熟常熟伦华外国语学校·月考)如图，在中，，垂足为D．
(1)若的面积，求的值；
(2)点E在边上，与相交于点F，且．请你利用无刻度直尺和圆规作出点E；（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)6
(2)见详解
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，完全平方公式，三角形内角和定理，正确作出图形是解题的关键．
（1）根据三角形面积计算公式得到，则，再由完全平方公式的变形可得，则；
（2）作的角平分线分别交于、，点和点即为所求；
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
或（舍去）．
（2）解：如图所示，作的角平分线分别交于、，点和点即为所求，
根据作图可知，
∵，
∴，
又∵，
∴．
题型五：尺规作图与角平分线综合
【例题5】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
【答案】B
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握角平分线的性质定理的运用是关键．
过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练5-1】(25-26八上·吉林长春北湖学校·开学考)如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义．由作图过程可知，为的平分线，可得．根据，可得．由题意得，则．
【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
【变式训练5-2】(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)如图，，以点A为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线交于点H． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作已知角的角平分线．也考查了平行线的性质，三角形外角的性质．利用基本作图得平分，再利用平行线的性质得，所以，然后根据三角形外角性质可计算出的度数．
【详解】解：由作法得平分，则，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【变式训练5-3】(23-24七上·贵州六盘水·期末)在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
过点作于点，再利用角平分线的性质求解即可．
【详解】解：根据题意可得：为的角平分线，
过点作于点，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练5-4】(24-25八下·辽宁沈阳·月考)如图，中，，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，于H，，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于M，如图，先利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：作于M，如图，
由作法得平分，
而，，
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练5-5】如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图-复杂作图、平行线的判定与性质，由作图过程可知，，则，根据平行线的性质可得根据O是边AB的中点，，可得点M为AC的中点，即，进而可得答案．
【详解】解：由作图过程可知，，
故A选项正确，不符合题意；
，
，
，
故B选项正确，不符合题意；
是边的中点，
∴，
又，
∴，
，
故C选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能得出，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
题型六：角平分线中选址问题
【例题6】电信部门要在S区修建一座手机信号发射塔点P，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，请在图中用尺规作图作出手机信号发射塔点P（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P，则点P即为所求．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P，
则点P即为所求．
【变式训练6-1】(24-25八上·江苏徐州树德中学·月考)国庆期间小红外出游玩时看到了鲜花拼成的“7”字样以及“7”内部的两个花坛、，将其抽象为数学图形如图所示），请用尺规作图帮助小红找一处观赏位置，满足观赏点到和的距离相等，并且观赏点到点、的距离也相等．（保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查基本尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键．
根据线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，作的角平分线和线段垂直平分线，两线的交点即为所求的点P．
【详解】解：如图，点P即为所求：
【变式训练6-2】(24-25八下·陕西榆林第六中学·月考)如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，根据角平分线的作法作出的角平分线，交于，由角平分线的性质可知点到田埂和田埂的距离相等，故点即为所求，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，点即为所求．
【变式训练6-3】(24-25八下·陕西西安新城区汇知中学·期中)如图为一个三角形厂区，现欲在厂区外部确定一点D作为员工宿舍选址，点D需满足以下两个条件：①点D到边与边的距离相等；②点D到厂区的B大门与C大门的距离相等．请运用尺规作图的方法确定点D的位置保留作图痕迹，不写作法
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．作射线平分，作线段的垂直平分线交AT于点D，点D即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求．
作射线平分，作线段的垂直平分线交AT于点D，点D即为所求．
【变式训练6-4】如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．由题意分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求．
【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点．
【变式训练6-5】(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)如图，有一四边形模具，现要在模具内部镶嵌一物件P，使得物件P到模具边、边的距离相等，且物件P到点D的距离与物件P到点C的距离相等，请你找出点P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作角平分线和垂直平分线，理解题意是解题关键．
根据到角两边相等的点在角的平分线上，到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到点P为的角平分线和线段的中垂线的交点，利用尺规作角平分线和垂线的方法，作图即可．
【详解】解：如图所示，点P即为所求．
题型七：角平分线的性质综合之最值问题
【例题7】如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、垂线段最短，解题关键是恰当的作出辅助线，找到最短线段，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
过点E作于P，此时的值最小，得出，根据角平分线的性质求出，求出的长即可．
【详解】解：过点E作于P，此时的值最小，
∵，，
∴，
∵和分别平分和，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是4，
故选：C．
【变式训练7-1】(23-24八下·山西运城河津·期末)如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．1
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，找到取最小值的情况，进而求解．本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，
∴当时，的值最小，此时．
∵，
∴的最小值为．
故选：．
【变式训练7-2】(24-25八上·湖北武汉汉南区武汉经开外国语学校·月考)如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当A点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键．延长，交于点G，过G点作，交的延长线于点H，证明，即有，进而有，根据，有△AGC的面积为，当A点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求．
【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交的延长线于点H，如图，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴的面积，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，是直角三角形，斜边为，
∴，
∵，
∴，
当A点与H点重合时，即时，可得，
此时达到最大，
∴则的最大值为3，
∴的最大面积为：，
∵，
∴D点为中点，
∴，
∴的最大面积为：，
故选：C．
【变式训练7-3】(24-25七下·河南驻马店实验中学·期末)如图，在中，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
作点Q关于的对称点E，连接， ，过点C作于点H，结合角平分线的性质以及轴对称的性质可得点E在上，，根据题意可得， 进而可得答案．
【详解】解：作点Q关于的对称点E，连接， ，过点C作于点H，
∵是的角平分线，Q与E关于对称，
点E在上，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为4.8，
故选：B．
【变式训练7-4】如图，在四边形中，，连接．若平分，P是边上一动点，则长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查角平分线，熟练掌握角平分线性质是解题关键．
过D作于E，即为 长的最小值，由平分，即得到的长度．
【详解】解：如图，过D作于E，
则长即为 长的最小值，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：A．
【变式训练7-5】(24-25七下·河南郑州外国语集团校·期末)如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值．
过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【详解】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：
∵平分于点于，
∴，
∴是最小值，此时与重合与重合，
∵三角形的面积为，
∴，
∴，
即的最小值为6．
故选：B．
题型八：角平分线的判定之角度问题
【例题8】如图，，是的中点，平分，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，作于，由角平分线的性质定理可得，结合题意可得，从而可得平分，再由平行线的性质求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
∵，平分，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练8-1】(24-25八下·贵州毕节大方县·期末)如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的角平分线上是解题的关键，利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解．
【详解】解：∵为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，
∴平分，
∵，
∴，
故选：D．
【变式训练8-2】如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论．
【详解】解：设D到和的距离分别为和，
∵，
∴，
∴，
即点D到和的距离相等，
∴平分，
∴，
故选：B．
【变式训练8-3】(24-25八下·贵州毕节赫章县第八中学·月考)如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的判定定理，过点D作于H，则，由角平分线的判定定理可得平分，则．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
∵中边上的高为3，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴平分，
∵，
∴，
故选：D．
【变式训练8-4】(24-25八下·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了角平分线的判定定理，根据题意得到平分，进而求解即可．
【详解】∵，，且
∴平分
∴．
故选：A．
【变式训练8-5】如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出、分别平分和，再根据三角形的内角和定理求出，然后求出，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵O到三边的距离，
∴、分别平分和，
∴，
∴.
故选D.
题型九：角平分线的性质和判定之多结论问题
【例题9】如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，已知点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰是、、三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证．
利用角平分线的判定定理分析．由已知点P到、、的距离恰好相等进行思考，首先到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得．
【详解】解：∵点P到、的距离相等，
∴点P在的平分线上，
故①正确；
∵点P到、的距离相等，
∴点P在的平分线上，
故②正确；
∵点P到、的距离相等，
∴点P在的平分线上，故③正确；
∵点P到、、的距离都相等，
∴恰好是、、三条平分线的交点，故④正确；
综上可得①②③④都正确．
故选：A．
【变式训练9-1】(24-25八上·贵州黔东南苗族侗族从江县贯洞中学·月考)如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据，，分别平分，，，可以分别设，，，利用三角形内角和定理与外角定理以及平行线的性质分别求出：，，可判断①错误，③正确；利用三角形内角和定理可得出，从而得到，故②正确；然后利用角平分线的性质和判定证明是角平分线，继而可求出，进而求出，从而得到④正确．
【详解】解：如图所示：
∵平分，平分，
∴令，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
故①错误；③正确；
∵平分，
∴令，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
过点D作分别交、、于点G、M、N，
∵平分，平分，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
综上可知，正确的有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形外角定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及角平分线的性质与判定等知识．解题的关键是熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，以及角平分线的性质与判定快速得到也是角平分线．
【变式训练9-2】(23-24八下·四川巴中巴中龙泉外国语学校·期中)如图，在和中，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定.
由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，故①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，故②正确；
作于，于，如图所示，
则，
，
，
平分，故④正确；
假设平分，则，
在与中，
，
，
，
，
，
而，故③错误；
所以其中正确的结论是①②④．
故选：D．
【变式训练9-3】(24-25八上·江苏无锡经开区·期中)如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键．
【详解】解：①∵和的平分线相交于点，
，，
∴，故①符合题意；
②过作于点，于点，如图：
和的平分线相交于点，
∴点在的平分线上，
，
，故②符合题意；
③∵，
∴，
∵分别是与的平分线，
，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取一点，使，连接，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③符合题意；
故选：D．
【变式训练9-4】(23-24七上·山东济南钢城区钢城区艾山第一初级中学·期中)如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
∴，
，①正确；
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
∴平分，④正确；
∵，
∴当时，才平分，
假设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴③错误；
正确的①②④；
故选：B．
【变式训练9-5】(24-25八上·山东德州第五中学·期中)如图，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D，的外角平分线与的延长线交于点F，延长至点G，连接，若，给出以下结论：①；②；③；④平分；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①已知，平分，平分，根据角平分线的定义得到的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可判断本问结论；②根据两直线平行，内错角相等，可得，即可得到的度数，从而求出的度数；已知、分别为、的角平分线，根据角平分线的定义可得的度数，结合三角形内角和即可得到的度数；④过点作的垂线，垂足分别为，根据角平分线的性质定理和判定定理证明即可；③同理可证明：，则，，而，故，因此与不可能相等．
【详解】解：∵，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴．
∵、分别为、的角平分线，
∴，
∴，故②正确；
过点作的垂线，垂足分别为，
∵平分，平分，，
∴，
∴，
∵
∴平分，故④正确；
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与不可能相等，故③错误，
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的判定与性质定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
题型十：角平分线的性质和判定综合（解答题）
【例题10】如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键．
先证明，得到，再根据角平分线的判定即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴平分．
【变式训练10-1】(24-25八上·安徽亳州谯城区·期末)如图，在和中，，连接交于点F，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键．
（1）设交于点I，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，则；
（2）作于点H，于点J，由，，且，，得，则，所以点A在的平分线上，则平分．
【详解】（1）解：设交于点I，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是．
（2）证明：作于点H，于点J，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点A在的平分线上，
∴平分．
【变式训练10-2】(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且．
(1)证明：平分；
(2)若，，，且，求的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)32
【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键．
（1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答；
（2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答．
【详解】（1）解：证明：过点作于于，
平分，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，且，
，
，
，
，
的面积为32．
【变式训练10-3】(24-25八上·江西赣州信丰县第四中学·期末)课本再现
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
(1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等；
(2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质定理：
（1）过点G作，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得，即可求证；
（2）过点P作，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得，再由角平分线的判定定理可得平分，即可求解．
【详解】（1）解：如图， 过点G作，垂足分别为H，M，N，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即点G到三边的距离相等；
（2）解：如图，过点P作，垂足分别为点E，F，
∵分别是的一个内角及一个外角的平分线，，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练10-4】(24-25八上·河北石家庄新乐新乐中山中学·月考)如图，，，于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）通过证明，再根据其性质得出，再根据角平分线的判定进行证明即可；
（2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
在与中，，
，
，
平分；
（2）由（1）知平分，
，
在和中，
，
，
，
由（1）知，
，
．
【变式训练10-5】如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P．
(1)试探索与的关系；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是关键，
（1）先得出，根据角平分线定义得出，进而证明结论；
（2）过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，证明，得出平分，即可求出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，
∵分别是的平分线，
∴，
∴，
∴点P在的平分线上，
即平分，
由（1）得，
∴，
∴．
题型十一：角平分线的性质和判定压轴题
【例题11】如图1，在和中，．连接．
(1)求证：；
(2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F．
①若，求的度数；
②连接，求证：平分；
③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析；③
【分析】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论；
（2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案；
②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论；
③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果．
【详解】（1）证明：，
，
即：，
在和中，
，
，
；
（2）①解：根据解析（1）可知，，
，
，
又，
；
②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示：
，
，
∴，
，
平分；
③解：；理由如下：
连接，如图3所示：
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题的关键．
【变式训练11-1】(24-25八上·广东汕头龙湖区嘉晋学校·)如图，在和中，，，若，连接交于点；
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)连接，求证：平分．
(4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
(4)或或
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理．
（1）利用即可证明出；
（2）先得到是等边三角形，利用全等性质可得，后利用即可计算出；
（3）过点作于点，于点，利用全等性质可得
再证明出，继而得到；
（4）分三种情况讨论：当在线段上，点在的右侧或左侧时，证明，继而得到，当在的延长线上时，证明，继而得到，后即可得到本题答案．
【详解】（1）解：证明：，
，
又，，
在和中，
，
；
（2）解：，，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作于点，于点，
，
，
，
，
，
，
，
又，
平分．
（4）解：如图所示，当在线段上，点在的右侧时，
，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
又，，
，
，
，
，，
，
如图所示，当在线段上，点在的左侧时，连接，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴,，
又∵,,
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴,，
∴，
∵,，
∴;
在直角三角形中，根据勾股定理可得，即
解得，
如图所示，当在的延长线上时，
，
同理，
，
，，
，
综上所述，或或．
【变式训练11-2】(24-25八上·河北邯郸武安贺进镇沙洺中学·期末)【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角．
【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理；
【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由；
【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长．
【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键．
[初步思考]根据证明即可；
[变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理；
[拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故．
【详解】[初步思考]，解：在和中
，
，
即平分；
[变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下，
过点作于点，作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴,
∵，，
∴平分，
∴张明的观点正确；
[拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图
∵，平分，
∴，，
同上可得，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图
∵，平分，
∴，，
同上可得，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上：长为5或7．
【变式训练11-3】(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E．
(1)若是的角平分线，求证：；
(2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
【答案】(1)见解析
(2)的大小不变，为定值
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）延长，相交于点F，先证明得到，再证明得到，进而可证得结论；
（2）过点C作于点M，于点N，证明得到，根据角平分线的判定定理证得是的角平分线，进而可得，即可得结论．
【详解】（1）证明：如图，延长，相交于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：的大小不变，为定值，理由如下：
如图，过点C作于点M，于点N，
则，
∵，
∴，
由①可知，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴,
即的大小不变，为定值．
【变式训练11-4】(24-25八上·江西赣州经开区·期末)课本再现
（1）如图（1），，是的中点，平分．求证：是的平分线．
变式探究
（2）如图（2）所示，，是的平分线，是的平分线．
①求证：；
②求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
（1）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证；
（2）①先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得证；
②在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证．
【详解】证明：（1）如图，过点作于点，
∵平分，，即，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
又∵，，点在的内部，
∴平分．
（2）①∵，
∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
∴．
②如图，在上截取，连接，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
由（2）①已证：，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.7角平分线的性质十一大题型（一课一讲）
角平分线的性质
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
如图所示，AP是∠CAB的角平分线，所以PE=PD.
题型一：利用角平分线的性质求线段长度
【例题1】如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（ ）．
A．3 B．4 C．6 D．5
【变式训练1-1】(24-25八上·四川资阳安岳县元坝初级中学·月考)如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，点在上，且于，，分别平分，，，若，则点到的距离是（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【变式训练1-3】(24-25八·辽宁大连甘井子区·期末)在中，，平分交于点D，，的面积为，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练1-4】(24-25八上·四川眉山洪雅县·期末)如图，是中的平分线，于点E，，，，则 ．
【变式训练1-5】(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团·期末)如图，在中，，若平分，，，则点D到的距离为 ．
题型二：根据角平分线的性质求面积
【例题2】如图，有三块菜地，，分别种植三种蔬菜，点为与的交点，平分，，，菜地的面积为96，则菜地的面积是 ．
【变式训练2-1】(24-25八下·广东清远清城区松岗中学·月考)如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是
A．20 B．25 C．30 D．35
【变式训练2-2】(24-25八下·内蒙古包头青山区·期末)如图，在中，，，O为的三条角平分线的交点，若的面积为8，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式训练2-3】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期末)如图所示，的三边、、长分别为30、40、50，其三条角平分线交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（ ）
A．9 B．15 C．12 D．30
【变式训练2-5】如图，射线平分，点D，Q分别在射线，上，过点D作于点P，若，，则的面积为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．3
题型三：角平分线的性质综合（解答题）
【例题3】如图，在中，为的平分线，于点E，于点F．
(1)若的面积是，求的长；
(2)求证：．
【变式训练3-1】(24-25八上·陕西西安陕西师范大学附中·月考)如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式训练3-2】如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：点到三边所在直线的距离相等．
【变式训练3-3】(24-25八下·广西南宁第三十七中学·开学考)如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【变式训练3-4】如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证：
(1)点到三边，，所在直线的距离相等；
(2)点在的平分线上．
【变式训练3-5】如下图，四边形中，，对角线平分．
(1)求证：．
(2)过点作于点．若的面积为，求的面积．
尺规作图作角平分线
作法：（如图所示）
1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。
2.分别以点 E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两条弧交于∠BAC内一点D。
3.作射线AD。
射线AD就是∠BAC的平分线。
题型四：尺规作图作角平分线
【例题4】如图，有一三角形，请按以下要求作图并回答问题．
(1)作平分交与．
(2)作的垂直平分线交于．
(3)连接，若，，求的度数．
【变式训练4-1】已知：中，，
(1)请你用尺规作的垂直平分线，作的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)与、、分别交于点D、E、F，求的度数．
【变式训练4-2】(24-25上·广东东莞松山湖北区学校·期末)如图，地块中，边，．
(1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹；
(2)若地块的面积为，求地块的面积．
【变式训练4-3】如图，四边形中，点E在边上，且．
(1)实践与操作：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)应用与计算：若（1）中所作的角平分线与边交于点F，连接．求证：．
【变式训练4-4】(23-24八下·广东广州第一一三中学·期中)如图，中，，，．
(1)尺规作图：作的平分线，与交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求点到线段的距离．
【变式训练4-5】(24-25七下·江苏苏州常熟常熟伦华外国语学校·月考)如图，在中，，垂足为D．
(1)若的面积，求的值；
(2)点E在边上，与相交于点F，且．请你利用无刻度直尺和圆规作出点E；（不写作法，保留作图痕迹）
题型五：尺规作图与角平分线综合
【例题5】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
【变式训练5-1】(25-26八上·吉林长春北湖学校·开学考)如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)如图，，以点A为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线交于点H． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】(23-24七上·贵州六盘水·期末)在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】(24-25八下·辽宁沈阳·月考)如图，中，，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，于H，，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．10
【变式训练5-5】如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：角平分线中选址问题
【例题6】电信部门要在S区修建一座手机信号发射塔点P，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，请在图中用尺规作图作出手机信号发射塔点P（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式训练6-1】(24-25八上·江苏徐州树德中学·月考)国庆期间小红外出游玩时看到了鲜花拼成的“7”字样以及“7”内部的两个花坛、，将其抽象为数学图形如图所示），请用尺规作图帮助小红找一处观赏位置，满足观赏点到和的距离相等，并且观赏点到点、的距离也相等．（保留作图痕迹）
【变式训练6-2】(24-25八下·陕西榆林第六中学·月考)如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式训练6-3】(24-25八下·陕西西安新城区汇知中学·期中)如图为一个三角形厂区，现欲在厂区外部确定一点D作为员工宿舍选址，点D需满足以下两个条件：①点D到边与边的距离相等；②点D到厂区的B大门与C大门的距离相等．请运用尺规作图的方法确定点D的位置保留作图痕迹，不写作法
【变式训练6-4】如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法）
【变式训练6-5】(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)如图，有一四边形模具，现要在模具内部镶嵌一物件P，使得物件P到模具边、边的距离相等，且物件P到点D的距离与物件P到点C的距离相等，请你找出点P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
题型七：角平分线的性质综合之最值问题
【例题7】如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】(23-24八下·山西运城河津·期末)如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．1
【变式训练7-2】(24-25八上·湖北武汉汉南区武汉经开外国语学校·月考)如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．10
【变式训练7-3】(24-25七下·河南驻马店实验中学·期末)如图，在中，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【变式训练7-4】如图，在四边形中，，连接．若平分，P是边上一动点，则长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练7-5】(24-25七下·河南郑州外国语集团校·期末)如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
题型八：角平分线的判定之角度问题
【例题8】如图，，是的中点，平分，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】(24-25八下·贵州毕节大方县·期末)如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-3】(24-25八下·贵州毕节赫章县第八中学·月考)如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-4】(24-25八下·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-5】如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型九：角平分线的性质和判定之多结论问题
【例题9】如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，已知点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰是、、三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练9-1】(24-25八上·贵州黔东南苗族侗族从江县贯洞中学·月考)如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练9-2】(23-24八下·四川巴中巴中龙泉外国语学校·期中)如图，在和中，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
【变式训练9-3】(24-25八上·江苏无锡经开区·期中)如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【变式训练9-4】(23-24七上·山东济南钢城区钢城区艾山第一初级中学·期中)如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练9-5】(24-25八上·山东德州第五中学·期中)如图，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D，的外角平分线与的延长线交于点F，延长至点G，连接，若，给出以下结论：①；②；③；④平分；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型十：角平分线的性质和判定综合（解答题）
【例题10】如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分．
【变式训练10-1】(24-25八上·安徽亳州谯城区·期末)如图，在和中，，连接交于点F，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
【变式训练10-2】(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且．
(1)证明：平分；
(2)若，，，且，求的面积．
【变式训练10-3】(24-25八上·江西赣州信丰县第四中学·期末)课本再现
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
(1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等；
(2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数．
【变式训练10-4】(24-25八上·河北石家庄新乐新乐中山中学·月考)如图，，，于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
【变式训练10-5】如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P．
(1)试探索与的关系；
(2)若，求的度数．
题型十一：角平分线的性质和判定压轴题
【例题11】如图1，在和中，．连接．
(1)求证：；
(2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F．
①若，求的度数；
②连接，求证：平分；
③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系．
【变式训练11-1】(24-25八上·广东汕头龙湖区嘉晋学校·)如图，在和中，，，若，连接交于点；
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)连接，求证：平分．
(4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值．
【变式训练11-2】(24-25八上·河北邯郸武安贺进镇沙洺中学·期末)【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角．
【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理；
【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由；
【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长．
【变式训练11-3】(24-25八上·内蒙古准格尔旗民族中学教育集团·期中)如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E．
(1)若是的角平分线，求证：；
(2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
【变式训练11-4】(24-25八上·江西赣州经开区·期末)课本再现
（1）如图（1），，是的中点，平分．求证：是的平分线．
变式探究
（2）如图（2）所示，，是的平分线，是的平分线．
①求证：；
②求证：．
