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专题1.5.3全等三角形的判定十一大题型（一课一讲）
（第3课时 全等三角形的判定“AAS”或“ASA”）
“AAS”或“ASA”判定定理
1.“AAS”指两个三角形的两个角及其中一角的对边对应相等，则这两个三角形全等。
数学表达：
在△ABC和△DEF中，若满足：，则△ABC≌ △DEF（AAS）。
2.“ASA”指两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
数学表达：
在△ABC和△DEF中，若满足：，则△ABC≌ △DEF（ASA）。
题型一：利用“AAS”或“ASA”作为判断依据
【例题1】如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，为了测量B点与河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A、B两点间的距离，这里判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】(24-25七上·广西南宁兴宁区兴园路初级中学·月考)如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】．(24-25八上·山西大同·期末)在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ．
【变式训练1-5】(24-25七上·山东东营利津县·月考)如图，测量水池的宽，可过点A作直线，再由点C观测，在延长线上找A一点，使，这时只要量出的长，就知道的长．这个测量用到判定三角形全等的方法是 ．
题型二：破碎玻璃修复问题
【例题2】小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（ ）去玻璃商店．
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
【变式训练2-1】(24-25八上·北京第十二中学·月考)如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃．
【变式训练2-2】(24-25八上·江苏宜兴树人中学·调研)如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃．
【变式训练2-3】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)小明不慎将一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块（图中所标1，2，3，4）．他需要带其中的一块碎玻璃到玻璃店去配一块与原来形状，大小完全一样的玻璃，则他需要带第 块玻璃碎片．（只填图中所标的数字即可）
【变式训练2-4】(23-24七下·福建平和广兆中学·月考)一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ．
【变式训练2-5】(24-25八上·吉林长春九台区第三十一中学·月考)如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）．
题型三：添加一个条件使得三角形全等（“AAS”或“ASA”）
【例题3】如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是 ．
【变式训练3-1】如图，已知，，要利用“”判定，应添加的条件是 ．
【变式训练3-2】(24-25八上·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·期末)如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ．
【变式训练3-3】如图，D在上，E在上，且，要说明．
（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ；
（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ．
【变式训练3-4】(24-25八上·福建漳州东山县·期中)如图，，再添加条件 可以用定理判定；
【变式训练3-5】(24-25八上·北京师范大学附属实验中学·期中)如图，、交于点O，且，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是： ．
题型四：利用“AAS”或“ASA”证明三角形全等
【例题4】如图，，平分，证明．
【变式训练4-1】如图，经过点于点于点E．求证：．
【变式训练4-2】(24-25七下·广东佛山南海区桂江第二初级中学·月考)如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：．
【变式训练4-3】(24-25八上·广西桂林宝贤中学·期中)如图，点在一条直线上，，，，求证：．
【变式训练4-4】如图，在中，，垂足为，为上的一点，，分别交和的延长线于点，，．试说明．
【变式训练4-5】(24-25七下·广东梅州梅县区·期末)如图，点在线段上，，，．求证：．
题型五：利用“AAS”或“ASA”证明三角形全等求角度
【例题5】如图，在中，点D，E，F分别是上的点．若，则 °．
【变式训练5-1】(24-25八下·陕西西安铁一中学·期中)如图，在中，，平分，过点B作于点D，若，，则的度数为 ．
【变式训练5-2】(24-25八上·吉林长春五十二中学赫行实验学校·期中)如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 ．
【变式训练5-3】(24-25八下·陕西西安铁一中学·月考)如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ．
【变式训练5-4】如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，．若，，则度数为 ．
【变式训练5-5】如图，若是的高线，，，，则 ．
题型六：利用“AAS”或“ASA”证明三角形全等求线段长度
【例题6】如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则 ．
【变式训练6-1】(25-26八上·山东潍坊诸城繁华初级中学·开学考)如图，在中，于点D，点E是上一点，连接，，，若，，则的长为 ．
【变式训练6-2】(24-25七下·北京海淀区清华大学附属中学·期末)如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 ．
【变式训练6-3】如图，，E为的中点．若，，则 ．
【变式训练6-4】如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则的长为 ．
【变式训练6-5】(24-25八上·河南洛阳东升第二初级中学·月考)如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长是 ．
题型七：利用“AAS”或“ASA”证明三角形全等求面积
【例题7】如图，在中，点为边的中点，过点作，过点作直线交于点，交直线于点，若，，的面积为30，则的面积为 ．
【变式训练7-1】(24-25八上·江苏如皋经济技术开发区实验初中·期末)如图，，是的高，与相交于点F，若，且，则的面积为 ．
【变式训练7-2】如图，和均为直角三角形，，，连接，与交于点，且恰好为的中点，若，，则的面积为 ．
【变式训练7-3】(24-25八上·湖南永州冷水滩区京华中学·期末)如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ．
【变式训练7-4】(24-25七下·广东深圳龙华·期末)如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ．
【变式训练7-5】(24-25七下·广东佛山南海区·期中)如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为 ．
题型八：全等三角形的综合判定
【例题8】如图，在四边形中，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式训练8-1】(2025·江苏省镇江市丹阳市·二模)如图，，点D在边上， 和相交于点O．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
【变式训练8-2】(24-25七下·甘肃兰州第十一中学·期末)如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连结，当，，时，求的长．
【变式训练8-3】(24-25八上·四川成都温江区·期末)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点，F分别在直线AB的两侧，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式训练8-4】(24-25八上·四川广安友谊实验学校·期中)如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式训练8-5】(23-24八上·湖北武汉武昌区拼搏联盟·期中)如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，当时，，，求的长．
题型九：全等三角形的判断实际应用
【例题9】如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-1】(24-25七下·陕西宝鸡第一中学·期末)如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．30米
【变式训练9-2】课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．若柱子上每块砖的厚度，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-3】(24-25七下·四川巴中·期末)如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（ ）
A．12米 B．16米 C．28米 D．40米
【变式训练9-4】(24-25七下·陕西西安交通大学附属中学·月考)如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置CD垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-5】(24-25七下·四川成都青羊区教育科学研究院附属实验学校·期中)如图，为了测量B点到目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，的长是30米，的长是25米，则A，B两点间的距离为（ ）
A．10米 B．25米 C．15米 D．30米
题型十：全等三角形中最值问题
【例题10】如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为 ．
【变式训练10-1】(24-25八上·湖北武汉华宜寄宿学校·月考)如图，中，，，垂直于的角平分线于点，为的中点，连接交于，则、的面积之差的最大值为 ．
【变式训练10-2】(23-24八上·江苏苏州中学校园区校·月考)如图，中，，．过作的角平分线的垂线，垂足为，点为边的中点，连接，，则的最大值为 ．
【变式训练10-3】(23-24七下·山东济南长清区·期末)如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为 ．
题型十一：全等三角形解答题压轴
【例题11】已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．
(1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接，求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：；
(3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请直接写出的值．
【变式训练11-1】(24-25八上·湖南邵阳武冈·期中)【初步探索】
（1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________；
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【变式训练11-2】如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若点为的中点，的面积为8．
①求证：点是的中点．
②求的面积．
知识拓展
（3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积．
【变式训练11-3】新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．
解决问题：
(1)①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是__________；
②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则__________（填“是”或“不是”）的一条二分线．
(2)如图2，四边形中，平行于，点是的中点，射线交射线于点，取的中点，连接．求证：是四边形的二分线．
(3)如图3，在中，，，，，分别是线段，上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长．
【变式训练11-4】(24-25七下·山西晋中祁县·期末)综合与实践
数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，．
(1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______．
(2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为 ，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果）
【变式训练11-5】(24-25七下·贵州毕节织金县·期末)如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点
(1)若，线段与相等吗？请说明理由．
(2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长．
(3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.5.3全等三角形的判定十一大题型（一课一讲）
（第3课时 全等三角形的判定“AAS”或“ASA”）
“AAS”或“ASA”判定定理
1.“AAS”指两个三角形的两个角及其中一角的对边对应相等，则这两个三角形全等。
数学表达：
在△ABC和△DEF中，若满足：，则△ABC≌ △DEF（AAS）。
2.“ASA”指两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
数学表达：
在△ABC和△DEF中，若满足：，则△ABC≌ △DEF（ASA）。
题型一：利用“AAS”或“ASA”作为判断依据
【例题1】如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察作图痕迹，确定两个三角形的对应角和对应边，依据全等三角形判定定理来判断．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的“ASA”判定定理是解题的关键．
【详解】解：由作图痕迹可知，，，，
，，，
．
故选：B．
【变式训练1-1】为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
由全等三角形的判定定理或，均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：，，
∵，
，
，
∴
∴，
∴，
∴淇淇证明全等用到的依据可能是，
故选：B．
【变式训练1-2】如图，为了测量B点与河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A、B两点间的距离，这里判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据已知条件推出全等三角形的判定方法即可．
【详解】解：∵，，且，
∴；
故选C．
【变式训练1-3】(24-25七上·广西南宁兴宁区兴园路初级中学·月考)如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴；
故选C．
【变式训练1-4】．(24-25八上·山西大同·期末)在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据图形可知图中三角形纸片两角及其夹边已知，则可根据解答．
【详解】解：∵图中三角形纸片两角及其夹边已知，
∴可以根据画出了一个与原三角形完全重合的三角形，
故答案为：．
【变式训练1-5】(24-25七上·山东东营利津县·月考)如图，测量水池的宽，可过点A作直线，再由点C观测，在延长线上找A一点，使，这时只要量出的长，就知道的长．这个测量用到判定三角形全等的方法是 ．
【答案】
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：．
题型二：破碎玻璃修复问题
【例题2】小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（ ）去玻璃商店．
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
【变式训练2-1】(24-25八上·北京第十二中学·月考)如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃．
【答案】②
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，灵活运用常见的全等三角形的判定方法成为解题的关键．根据图形信息结合三角形全等的判定方法即可解答．
【详解】解：第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带②去．
故答案为：②．
【变式训练2-2】(24-25八上·江苏宜兴树人中学·调研)如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃．
【答案】③
【分析】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法，灵活运用常见的全等三角形的判定方法成为解题的关键．
根据三角形全等的判定方法即可解答．
【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
【变式训练2-3】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)小明不慎将一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块（图中所标1，2，3，4）．他需要带其中的一块碎玻璃到玻璃店去配一块与原来形状，大小完全一样的玻璃，则他需要带第 块玻璃碎片．（只填图中所标的数字即可）
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
根据全等三角形的判定方法判断即可
【详解】解：2可以根据证明全等
∴他需要带第2块玻璃碎片
故答案为：2
【变式训练2-4】(23-24七下·福建平和广兆中学·月考)一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ．
【答案】③
【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键．
显然第③中有完整的三个条件，用可得到现要的三角形与原三角形全等．
【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用可得三角形全等，故应带第③块．
故答案为：③．
【变式训练2-5】(24-25八上·吉林长春九台区第三十一中学·月考)如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是 （填序号）．
【答案】①②
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，．根据三角形全等的判定方法进行解答即可．
【详解】解：①中有两个完整的角和一条完整的边，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形；
②中有两条完整的边和一个完整的角，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形；
③中只有一个完整的角，因此不能画出和原来完全一样的三角形；
综上分析可知，①和②可以，
故答案为：①②．
题型三：添加一个条件使得三角形全等（“AAS”或“ASA”）
【例题3】如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的判定（），解题关键是掌握全等三角形的判定（）．
根据全等三角形的判定（），添加条件即可．
【详解】解：，，
添加或，
可根据“”， 判断，
故答案为：或．
【变式训练3-1】如图，已知，，要利用“”判定，应添加的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【详解】解：在和中
∴．
故答案为：．
【变式训练3-2】(24-25八上·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·期末)如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
利用“”判定定理添加条件即可．
【详解】解：当，，添加后，可用“”判定，
故答案为：．（答案不唯一）
【变式训练3-3】如图，D在上，E在上，且，要说明．
（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ；
（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．
（1）根据全等三角形的判定定理得出即可；
（2）根据全等三角形的判定定理得出即可．
【详解】解：（1）条件是，
理由是：在和中，
，
∴，
故答案为：；
（2）条件是，
理由是：在和中，
，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-4】(24-25八上·福建漳州东山县·期中)如图，，再添加条件 可以用定理判定；
【答案】或
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，添加条件即可．
【详解】解：由图可知：，
∵，
∴当添加或时，由可得：；
故答案为：或
【变式训练3-5】(24-25八上·北京师范大学附属实验中学·期中)如图，、交于点O，且，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法．添加条件：，再由已知条件和公共角可利用定理证明．
【详解】解：添加条件：，
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
题型四：利用“AAS”或“ASA”证明三角形全等
【例题4】如图，，平分，证明．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上定理和定义．
利用角平分线的定义得出，再利用角角边进行证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵平分，
∴，
在与中，
∴．
【变式训练4-1】如图，经过点于点于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，利用证明即可．熟练掌握一线三直角的全等模型，是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【变式训练4-2】(24-25七下·广东佛山南海区桂江第二初级中学·月考)如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据，得，根据得，进而可依据“”判定和全等．
【详解】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
．
【变式训练4-3】(24-25八上·广西桂林宝贤中学·期中)如图，点在一条直线上，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．由，可得，，可证得，由此得证．
【详解】证明：，，
，，
在和中，
，
，
．
【变式训练4-4】如图，在中，，垂足为，为上的一点，，分别交和的延长线于点，，．试说明．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的证明，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定定理．根据题意利用角边角判定定理，证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
【变式训练4-5】(24-25七下·广东梅州梅县区·期末)如图，点在线段上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定，根据“两直线平行，同位角相等”，得出，结合已知，，利用证明即可，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明：∵点在线段上，，
∴（两直线平行，同位角相等），
在和中，
，
∴．
题型五：利用“AAS”或“ASA”证明三角形全等求角度
【例题5】如图，在中，点D，E，F分别是上的点．若，则 °．
【答案】92
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，先通过已知条件证明，得到，再利用三角形内角和定理求出，最后求出．
【详解】解：在和中，
，
，
∴，
∵，且 ，
∴，
又，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：92．
【变式训练5-1】(24-25八下·陕西西安铁一中学·期中)如图，在中，，平分，过点B作于点D，若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，延长交于，证明，得，再结合三角形的外角的性质即可求解，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
【详解】解：延长交于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-2】(24-25八上·吉林长春五十二中学赫行实验学校·期中)如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 ．
【答案】61
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解．
【详解】解：延长交于点，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：61．
【变式训练5-3】(24-25八下·陕西西安铁一中学·月考)如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ．
【答案】/31度
【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出 ，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．
本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用．
【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点，
是的平分线，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
为的平分线，
过点作于点，
∵，
．
∴，
为的平分线，
∵，
，
在中，，，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练5-4】如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，．若，，则度数为 ．
【答案】125
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．先根据平行线的性质得到，然后证明得到，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：125．
【变式训练5-5】如图，若是的高线，，，，则 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．先求出，再证明，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的高线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：
题型六：利用“AAS”或“ASA”证明三角形全等求线段长度
【例题6】如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则 ．
【答案】7
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：7
【变式训练6-1】(25-26八上·山东潍坊诸城繁华初级中学·开学考)如图，在中，于点D，点E是上一点，连接，，，若，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键．
证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，，
，，
，
故答案为：6．
【变式训练6-2】(24-25七下·北京海淀区清华大学附属中学·期末)如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线定义，证明是解题的关键．证明，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵在中，是中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12．
【变式训练6-3】如图，，E为的中点．若，，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，由题意可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-4】如图，，且，E，F是上两点，，．若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，只要证明，可得，，推出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-5】(24-25八上·河南洛阳东升第二初级中学·月考)如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长是 ．
【答案】1
【分析】先根据证明，则可得，，求出的长，则可知的长．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：1．
题型七：利用“AAS”或“ASA”证明三角形全等求面积
【例题7】如图，在中，点为边的中点，过点作，过点作直线交于点，交直线于点，若，，的面积为30，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、平行线的性质．本题可先证明三角形全等，得出线段关系，再通过中点与三角形面积公式求解．
【详解】解：点为边的中点，，
，，，
，
，
，；
点为边的中点，
，
的高为2，
，
的面积为6．
【变式训练7-1】(24-25八上·江苏如皋经济技术开发区实验初中·期末)如图，，是的高，与相交于点F，若，且，则的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
，是的高线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴
故答案为：
【变式训练7-2】如图，和均为直角三角形，，，连接，与交于点，且恰好为的中点，若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】证明得，，，求出，再推出，可得结论．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴
，
即的面积为．
故答案为：．
【变式训练7-3】(24-25八上·湖南永州冷水滩区京华中学·期末)如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点，根据题意，证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出．
【详解】解：如图所示，延长，交于点，
，
，
∵是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
∵和同底等高，
，
，
，
故答案为： ．
【变式训练7-4】(24-25七下·广东深圳龙华·期末)如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
过点作于点，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的面积为：．
故答案为：．
【变式训练7-5】(24-25七下·广东佛山南海区·期中)如图，在中，是的平分线，，垂足为点是的边上的中线，，的面积为6，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，关键是由角平分线的性质推出，判定， 推出．
由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到的面积，求出，判定，推出，求出，得到，即可求出的面积．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
题型八：全等三角形的综合判定
【例题8】如图，在四边形中，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
（1）由“”即可证；
（2）由可得，可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，，
∴．
【变式训练8-1】(2025·江苏省镇江市丹阳市·二模)如图，，点D在边上， 和相交于点O．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据，可得；
（2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）证明：由（1）可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式训练8-2】(24-25七下·甘肃兰州第十一中学·期末)如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连结，当，，时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，，则可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据线段和差求出的长，由此即可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：由（1）已证：，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式训练8-3】(24-25八上·四川成都温江区·期末)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点，F分别在直线AB的两侧，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质，是解题的关键：
（1）根据平行线的性质，角的等量代换，证明，即可得证；
（2）由①知，根据线段的和差关系即可解答；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，即：，
又∵，，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∵，
∴，
∴．
【变式训练8-4】(24-25八上·四川广安友谊实验学校·期中)如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质可得，再证明出，最后利用证明即可得证；
（2）先求出，再由计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练8-5】(23-24八上·湖北武汉武昌区拼搏联盟·期中)如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，当时，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定（）与性质以及垂直平分线的性质，熟练掌握这些知识（全等三角形的判定条件；垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等）是解题的关键．
（1）要证明，根据，从而得到一组角相等，再结合是中点及对顶角相等，利用“”（角边角）判定全等．
（2）先由（1）中的全等三角形得出相关线段相等，再根据垂直条件得出是的垂直平分线，进而得到，最后结合已知线段长度计算．
【详解】（1）证明： ，
（两直线平行，内错角相等），
为的中点，
，
又（对顶角相等），
；
（2）解：由（1）知，
，，
，
，
，
，
，，
是的垂直平分线，
．
题型九：全等三角形的判断实际应用
【例题9】如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“角边角”证明 ，可得．
【详解】解：在和中，
，
，
，
故选：B．
【变式训练9-1】(24-25七下·陕西宝鸡第一中学·期末)如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．30米
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据已知得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
米，
∴A，B两点间的距离为米，
故选：C．
【变式训练9-2】课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．若柱子上每块砖的厚度，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的应用，理解题意并证明三角形全等是解题的关键．
证明≌，得到，，进而求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
在与中，
，∴≌，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C ．
【变式训练9-3】(24-25七下·四川巴中·期末)如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（ ）
A．12米 B．16米 C．28米 D．40米
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：米，米，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
故选：C．
【变式训练9-4】(24-25七下·陕西西安交通大学附属中学·月考)如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置CD垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据证明，得出，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意，得，，
又，
∴，
∴，
∴嘉嘉离地面的高度是，
故选：D．
【变式训练9-5】(24-25七下·四川成都青羊区教育科学研究院附属实验学校·期中)如图，为了测量B点到目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，的长是30米，的长是25米，则A，B两点间的距离为（ ）
A．10米 B．25米 C．15米 D．30米
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知易得：，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：，
，
在和中，
，
米，
∴A，B两点间的距离为15米，
故选：C．
题型十：全等三角形中最值问题
【例题10】如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求．
【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴的面积，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，是直角三角形，斜边为，
∴，
∵，
∴，
当G点与H点重合时，即时，可得，
此时达到最大，
∴则的最大值为2，
∴的最大面积为：，
∵，
∴D点为中点，
∴，
∴的最大面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键．
【变式训练10-1】(24-25八上·湖北武汉华宜寄宿学校·月考)如图，中，，，垂直于的角平分线于点，为的中点，连接交于，则、的面积之差的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点，容易证明，可得，，从而得到，再根据，可得，，从而证明，根据的面积最大即可得出答案．
【详解】解：延长交于点H．
，
，
又，
，
，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
，
∴
∵当时，的面积最大，最大面积为．
图中两个阴影部分面积之差的最大值为，
故答案为：7．
【变式训练10-2】(23-24八上·江苏苏州中学校园区校·月考)如图，中，，．过作的角平分线的垂线，垂足为，点为边的中点，连接，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线定义、三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；延长，交点于，可证，得出，，则，当时，最大面积为30，即最大面积为7.5．
【详解】解：如图：延长，交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，；
，
，即；
，
是的中点，
，
当时，面积最大，
即最大面积．
故选：．
【变式训练10-3】(23-24七下·山东济南长清区·期末)如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为 ．
【答案】7.5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长与交于点，作交延长线于点，可证明，得到，求面积最大值转化成求线段的最大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形．
【详解】分别延长与 交于点， 作交 延长线于点 ，
∵平分， ，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点重合时，最大，最大值为3，
∴，
故答案为：7.5．
题型十一：全等三角形解答题压轴
【例题11】已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．
(1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接，求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：；
(3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请直接写出的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)或．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度关系找到全等的条件，利用全等三角形的性质进行证明和计算．
（1）通过角度互余关系找到相等角，结合已知的边和角，证明，从而得出对应边相等．
（2）如图2，过点作，交的延长线于，证明，得到对应边相等，再证明，从而证明；
（3）设，证明，利用线段比例关系求解面积比．
【详解】（1）（1）证明：∵，
，
，
又，
，
；
（2）（2）证明：如图2，过点作，交的延长线于，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
；
（3）当点在线段上时，如图，
，
设，
由（1）得：，
，
，
，
又，
，
，
，
（2）当点在延长线上时，如图，过点作，交的延长线于，
，
设，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
综上，的值为或．
【变式训练11-1】(24-25八上·湖南邵阳武冈·期中)【初步探索】
（1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________；
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析；（3），证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
（1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）仍成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3），证明如下：
如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【变式训练11-2】如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若点为的中点，的面积为8．
①求证：点是的中点．
②求的面积．
知识拓展
（3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积．
【答案】（1）；（2）①见解析；②2；（3）28
【分析】本题主要考查图形平移的性质，三角形中线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握图形平移的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）①由平移可知，根据题意可证，可得，由此即可求证；②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，，由此即可求解；
（3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得,，根据，可得，由即可求解．
【详解】解：（1）由平移可得，，，
．
（2）①证明：连结，由平移可知，，
，
∵点为的中点，
∴，
，
，
，
，即点是中点；
②连结，
是中点，
，
是中点，
，
；
（3）连结，
∵为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练11-3】新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．
解决问题：
(1)①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是__________；
②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则__________（填“是”或“不是”）的一条二分线．
(2)如图2，四边形中，平行于，点是的中点，射线交射线于点，取的中点，连接．求证：是四边形的二分线．
(3)如图3，在中，，，，，分别是线段，上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长．
【答案】(1)①三角形的中线；②是；
(2)见解析；
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．
（1）①由平面图形的二分线定义可求解；
②由面积的和差关系可得，可得是的一条二分线；
（2）根据的中点，所以，由，是的中点，证明，所以，所以，可得是四边形的二分线；
（3）延长使，连接，通过全等三角形的判定可得，可得，即可得．
【详解】（1）解：①∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
∴三角形的中线是三角形的二分线，
故答案为：三角形的中线；
②∵是边上的中线
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的一条二分线
故答案为：是．
（2）证明：∵的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是四边形的二分线．
（3）解：延长使，连接，
∵
∴
∴
∵，
∴，且，
∴
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，
∴，
又 ，，
∴，
∵是四边形的一条二分线，
∴，
∴．
【变式训练11-4】(24-25七下·山西晋中祁县·期末)综合与实践
数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，．
(1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______．
(2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为 ，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)，理由如下：
(3)或
【来源】山西省晋中市祁县2024-2025学年七年级下学期期末测试数学试卷
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。
（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得；
（2）同（1）可证明，得，可得答案；
（3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可。
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：，理由如下：
同理可得，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点A作于F，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵E是中点，
∴；
当时，则，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点Q的运动速度为或。
【变式训练11-5】(24-25七下·贵州毕节织金县·期末)如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点
(1)若，线段与相等吗？请说明理由．
(2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长．
(3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)线段与相等，详见解析
(2)8
(3)，详见解析
【分析】先证明，进而可依据判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
过点D作于点H，根据角平分线性质得，依据判定和全等得，则，再证明和全等得，则，由此即可得出的长；
在的延长线上截取，连接，证明和全等得，，由此根据已知条件得，进而依据判定和全等得，然后根据即可得出这三者之间的数量关系．
【详解】（1）解：线段与相等，理由如下：
，
，
在中，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）过点D作于点H，如图2所示：
，，
，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3），，这三者之间的数量关系是：，理由如下：
在的延长线上截取，连接，如图3所示：
平分，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
