中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教（2024）版
专题1.7角平分线的性质十一大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
2．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（ ）
A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．角平分线的定义
D．角平分线是对称轴
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的判定．根据角平分线的判定定理解答即可．
【详解】解：根据题意得：点P到的两边距离相等，
∴点P在的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
即平分．
故选：A
3．如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的判定定理，过点作，分别垂直于，，根据与的面积之比为，证的，可知平分，进而即可求解．
【详解】解：过点作，分别垂直于，，
∵与的面积之比为，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
故选：C．
4．如图，于于则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线判定定理的应用，注意：到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
根据角平分线判定定理得出P在的角平分线上，推出，求出即可．
【详解】解：∵于M，于N，，
∴P在的角平分线上，
∵
∴．
故选C．
5．如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识，先根据角平分线的判定得出，根据证明，得出，然后根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：∵点D 到边，的距离相等，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴的周长等于，
故选：B．
6．如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．
过点作于，于，于，由角平分线的性质得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，于，于，
点O是三条角平分线的交点，
，
∵，
，
，
．
故选：C
7．如图，已知平分，点在上，于点，点是上的动点，若，则的长不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，根据角平分线的性质解决即可．
【详解】解：∵平分，，，
∴当时，，即的长的最小值为4，
则四个选项中的长不可能是3，
故选：A．
8．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
∵是中的角平分线，，，
∴，
∵的面积是10，若，
∴，
∴，
∴，即点到的距离是4，
故选：C．
9．如图，已知，，给出下面结论：①，②，③，④平分，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．对各个选项进行验证从而得出最终答案，做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
即平分，
故④正确；
所以正确的有四个，
故选：D．
10．已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，则点到三边、和的距离分别等于（ ）
A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等面积法的应用，熟知角平分线的性质是解题的关键．
连接，，，由角平分线的性质得到，再根据等面积法进行作答，即可求解．
【详解】解：连接，，，如图：
，
∴，
即，
解得：，
即，
即点到三边、和的距离分别等于，，，
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图是某地区三个仓库的示意图，记为A，B，C三地，分别连接，形成一个三角形．若想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等，则中转仓的位置应选在 ．
【答案】的平分线的交点处（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，三角形两个角的平分线的交点到三角形的三边距离相等．
根据角平分线的性质进行分析，即可作答．
【详解】解：∵想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等，
∴中转仓的位置应选在的平分线的交点处．
故答案为：的平分线的交点处（答案不唯一）
12．如图，在中，平分交于点，若，则的面积为 ．
【答案】9
【分析】本题考查的是角平分线的性质定理，过点D作于点E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得，再根据三角形的面积计算公式得出的面积．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∵平分，
又∵，
∴，
∴的面积．
故答案为：9．
13．如图，是中的平分线，于点E，于点F，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到，根据即可求出的长．
【详解】解：∵是中的平分线，于点E，于点F，
∴．
∵
∴，
∴．
故答案为：．
14．在正方形网格中，的位置如图所示，点是四个格点，这四个格点中到的两边距离相等的点是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案．
【详解】解：由格点可知点在的平分线上，
点到的两边距离相等．
故答案为：．
15．如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
连接，作于点，作 于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点到的距离都相等（即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【详解】解：连接，作于点，作 于点，
∵分别平分和，，
∴，
∵的周长是于，且，
∴ ，
故答案为：．
16．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查角平分线的性质；垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出的长即可．
【详解】解：作于，
∵平分，
，
又 ∵点是射线上一个动点，
，
∴，最小值为3，
故答案为：3．
17．如图，的两个外角的平分线交于点P，于点E．若，则的周长是 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，正确表示出的面积是解题的关键．
如图：过点P作于F，作于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据三角形的面积求出，然后再根据求得，再根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：如图：过点P作于F，作于G，连接，
∵和的外角平分线交于点P，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，即，
∴，
∴的周长为．
故答案为：11．
18．如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的定义及性质得，，，，继而得到，，，进一步证明平分，得，最后根据三角形外角的性质得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，
∵平分，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴点在在的角平分线上，即平分，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题涉及三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．通过构造全等三角形，将转化为与和有关的角，从而证明结论．
【详解】证明：如图，延长交于点．
，
．
∵是角平分线，
，
在和中，
，
，
．
又，
．
20．如图所示，在中，，为延长线上一点，，的角平分线与交于点，连接．求证：点到、的距离相等．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是本题的关键．
根据角平分线的性质和逆定理可得：，进而解答即可．
【详解】证明：过作交的延长线于点，作，，垂足为，．
，，
，，
，
平分，，，
，
，
点到，的距离相等．
21．如图，在中，AD是角平分线，，，．
(1)求的度数．
(2)若，求点D到AB的距离．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的内角和．
（1）由已知和三角形的内角和求出，再根据角平分线以及直角三角形两锐角互余的关系，即可求出的度数；
（2）过点D作于点F，根据角平分线的性质定理即可得出．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵AD是的角平分线，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：过点D作于点F，如图所示，
∵AD是的角平分线，且，，
∴，
即点D到AB的距离为3．
22．已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接．
(1)如图①，当，时，与的数量关系是______；
(2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键；
（1）根据角平分线的性质定理即可作出判断；
（2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论．
【详解】（1）解：是的平分线，
；
故答案为：；
（2）解：成立，理由如下：
如图，过点P作于E，于F，
，
∵是的平分线，
，
，，
，
在和中
，
．
23．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求的值；
(2)求证：平分；
(3)若，，，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)9
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理．
（1）由直角三角形的性质求出，由平角定义即可求出的度数；
（2）过E作于M，于N，由角平分线的性质推出，，得到，于是推出平分；
（3）由的面积的面积的面积，得到，即可求出，得到，由三角形面积公式即可求出的面积．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过E作于M，于N，
∵平分，，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∴，
∵，，
∴平分；
（3）解：∵的面积的面积的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积 ．
24．我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【定理证明】
已知：如图①，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点．
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，便可证得．
（1）结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程．
【定理应用】
（2）如图②，在中，，的角平分线交于点．若过点作，垂足为，点在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，灵活运用角平分线性质定理是解答本题的关键．
（1）证明即可；
（2）证明得，证明得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴
∵，，
∴
又
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵的角平分线交于点，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴
∴．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教（2024）版
专题1.7角平分线的性质十一大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
2．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（ ）
A．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．角平分线的定义
D．角平分线是对称轴
3．如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，于于则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
6．如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知平分，点在上，于点，点是上的动点，若，则的长不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，已知，，给出下面结论：①，②，③，④平分，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
10．已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，则点到三边、和的距离分别等于（ ）
A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图是某地区三个仓库的示意图，记为A，B，C三地，分别连接，形成一个三角形．若想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等，则中转仓的位置应选在 ．
12．如图，在中，平分交于点，若，则的面积为 ．
13．如图，是中的平分线，于点E，于点F，，，，则的长为 ．
14．在正方形网格中，的位置如图所示，点是四个格点，这四个格点中到的两边距离相等的点是 ．
15．如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为 ．
16．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ．
17．如图，的两个外角的平分线交于点P，于点E．若，则的周长是 ．
18．如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：．
20．如图所示，在中，，为延长线上一点，，的角平分线与交于点，连接．求证：点到、的距离相等．
21．如图，在中，AD是角平分线，，，．
(1)求的度数．
(2)若，求点D到AB的距离．
22．已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接．
(1)如图①，当，时，与的数量关系是______；
(2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由．
23．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求的值；
(2)求证：平分；
(3)若，，，且，求的面积．
24．我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【定理证明】
已知：如图①，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点．
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，便可证得．
（1）结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程．
【定理应用】
（2）如图②，在中，，的角平分线交于点．若过点作，垂足为，点在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
