1.1二次函数
【知识点1】二次函数的定义 1
【题型1】二次函数的识别 2
【题型2】二次函数的二次项，一次项，常数项 3
【题型3】利用自变量与函数值建立二次函数解析式 3
【题型4】利用几何图形建立二次函数解析式 4
【题型5】利用二次函数的定义求待定字母的值 5
【知识点1】二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
1.（2024秋 沭阳县期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．s=2t2-2t+1
C．y=ax2+bx+c D．y=（x-1）2-x2
2.（2024秋 濉溪县期末）若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（ ）
A．-2 B．4 C．4或-2 D．4或3
【题型1】二次函数的识别
【典型例题】下列函数中是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如果是一个有理数，那么在下列关于的代数式中，一定是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列函数不属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ．
【举一反三4】下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y＝3x-1；
（2）；
（3） ；
（4）；
（5）；
（6）.
【举一反三5】判断下列函数是否是二次函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【题型2】二次函数的二次项，一次项，常数项
【典型例题】函数的一次项系数是（ ）
A. B.1 C.3 D.6
【举一反三1】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A.1，， B.1，6，1 C.0，，1 D.0，6，
【举一反三2】关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A.二次项系数是1
B.一次项系数是9
C.常数项是
D.是关于的一次函数
【举一反三3】已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
【举一反三4】二次函数的一次项系数是 ．
【举一反三5】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【举一反三6】把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）y＝x2＋（x＋1）2；
（2）y＝（2x＋3）（x－1）＋5；
（3）y＝4x2－12x（1＋x）；
（4）y＝（x＋1）（x－1）.
【题型3】利用自变量与函数值建立二次函数解析式
【典型例题】已知二次函数的与的部分对应值如下表：
当时，的值是（ ）
A. B. C.2 D.6
【举一反三1】已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（ ）
A.a＝1，b＝2 B.a＝1，b＝﹣2 C.a＝﹣1，b＝2 D.a＝﹣1，b＝﹣2
【举一反三2】一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A.y＝4x2+3x﹣5 B.y＝2x2+x+5 C.y＝2x2﹣x+5 D.y＝2x2+x﹣5
【举一反三3】已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A.y＝2x2＋4x﹣1 B.y＝x2＋4x﹣2 C.y＝-2x2＋4x+1 D.y＝2x2＋4x+1
【举一反三4】如表所示，则与的关系式为（ ）
A. B. C. D.非以上结论
【题型4】利用几何图形建立二次函数解析式
【典型例题】用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是 ．
【举一反三6】用长为30米的栅栏围成一个矩形花圃，其中一边长为x米，面积为y平方米，则y与x的函数关系为 ．
【举一反三7】长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ．
【举一反三8】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ．
【题型5】利用二次函数的定义求待定字母的值
【典型例题】关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A. B.或 C. D.不存在
【举一反三2】若表示是的二次函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若是二次函数，则 ．
【举一反三4】若函数是二次函数，则 ．
【举一反三5】如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值．
【举一反三6】已知函数是二次函数，求m的值．1.1二次函数
【知识点1】二次函数的定义 1
【题型1】二次函数的识别 2
【题型2】二次函数的二次项，一次项，常数项 4
【题型3】利用自变量与函数值建立二次函数解析式 6
【题型4】利用几何图形建立二次函数解析式 9
【题型5】利用二次函数的定义求待定字母的值 11
【知识点1】二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
1.（2024秋 沭阳县期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．s=2t2-2t+1
C．y=ax2+bx+c D．y=（x-1）2-x2
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且a≠0），逐一判断即可解答．
【解答】解：A、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、s=2t2-2t+1，是二次函数，故此选项符合题意；
C、y=ax2+bx+c,当a=0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、化简后为y=-2x+1，是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
2.（2024秋 濉溪县期末）若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（ ）
A．-2 B．4 C．4或-2 D．4或3
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义得到a2-2a-6=2，由抛物线的开口方向得到a＞0，由此可以求得a的值．
【解答】解：∵函数y=a是二次函数且图象开口向上，
∴a2-2a-6=2，且a＞0，
解得 a=4．
故选：B．
【题型1】二次函数的识别
【典型例题】下列函数中是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.是一次函数，不是二次函数，故选项A不符合题意；
B.是正比例函数，不是二次函数，故选项B不符合题意；
C.的自变量次数是3，不是二次函数，故选项C不符合题意；
D.是二次函数，故选项D符合题意；
故选：D.
【举一反三1】如果是一个有理数，那么在下列关于的代数式中，一定是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A．y=x2+k是二次函数，故A正确；
B．当k=0时，y=kx2不是二次函数，故B错误；
C．y=，未知数的次数为﹣2，不是二次函数，故C错误；
D．y=k2x中，未知数的次数为1，不是二次函数，故D错误．
故选A．
【举一反三2】下列函数不属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．，是二次函数，不符合题意；
B．，是二次函数，不符合题意；
C．，是二次函数，不符合题意；
D．，不是二次函数，符合题意；
故选D．
【举一反三3】下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ．
【答案】②④
【解析】①为一次函数；
②为二次函数；
③自变量次数为3，不是二次函数；
④为二次函数；
⑤函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
【举一反三4】下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y＝3x-1；
（2）；
（3） ；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】解：（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1．
（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念．
（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3．
（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念．
（5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x．
（6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式．
故（2）（4）是二次函数．
【举一反三5】判断下列函数是否是二次函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】解：（1），没有二次项，故不是二次函数；
（2），符合，故是二次函数；
（3），右边不是整式，故不是二次函数；
（4），符合，故是二次函数；
（5），符合，故是二次函数；
（6），没有二次项，故不是二次函数．
【题型2】二次函数的二次项，一次项，常数项
【典型例题】函数的一次项系数是（ ）
A. B.1 C.3 D.6
【答案】A
【解析】函数的一次项系数是．
故选：A．
【举一反三1】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A.1，， B.1，6，1 C.0，，1 D.0，6，
【答案】A
【解析】二次函数，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，．
故选：A．
【举一反三2】关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A.二次项系数是1
B.一次项系数是9
C.常数项是
D.是关于的一次函数
【答案】B
【解析】，
∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10，
则A、C、D说法错误，B说法正确，
故选：B．
【举一反三3】已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
【答案】3；﹣5；1
【解析】二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【举一反三4】二次函数的一次项系数是 ．
【答案】
【解析】∵二次函数的一次项为，
∴二次函数的一次项系数是．
故答案为：．
【举一反三5】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】解：(1)是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；
(2)不是二次函数；
(3)是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；
(4)不是二次函数.
【举一反三6】把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）y＝x2＋（x＋1）2；
（2）y＝（2x＋3）（x－1）＋5；
（3）y＝4x2－12x（1＋x）；
（4）y＝（x＋1）（x－1）.
【答案】解：（1）∵y＝x2＋（x＋1）2＝x2＋x2＋2x＋1＝2x2＋2x＋1，
∴一般形式为y＝2x2＋2x＋1，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1.
（2）∵y＝（2x＋3）（x－1）＋5＝2x2－2x＋3x－3＋5＝2x2＋x＋2，
∴一般形式为y＝2x2＋x＋2，二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为2.
（3）∵y＝4x2－12x（1＋x）＝4x2－12x－12x2＝－8x2－12x，
∴一般形式为y＝－8x2－12x，二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0.
（4）∵y＝（x＋1）（x－1）＝x2－1，
∴一般形式为y＝x2－1，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为－1.
【题型3】利用自变量与函数值建立二次函数解析式
【典型例题】已知二次函数的与的部分对应值如下表：
当时，的值是（ ）
A. B. C.2 D.6
【答案】A
【解析】把（-2，-6），（0，2），（2，6）三点坐标代入，得
,
解得，,
∴二次函数解析式为,
∴当时，,
故选：A.
【举一反三1】已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（ ）
A.a＝1，b＝2 B.a＝1，b＝﹣2 C.a＝﹣1，b＝2 D.a＝﹣1，b＝﹣2
【答案】B
【解析】根据题意得，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：B．
【举一反三2】一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A.y＝4x2+3x﹣5 B.y＝2x2+x+5 C.y＝2x2﹣x+5 D.y＝2x2+x﹣5
【答案】A
【解析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【举一反三3】已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A.y＝2x2＋4x﹣1 B.y＝x2＋4x﹣2 C.y＝-2x2＋4x+1 D.y＝2x2＋4x+1
【答案】A
【解析】根据题意得，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
【举一反三4】如表所示，则与的关系式为（ ）
A. B. C. D.非以上结论
【答案】B
【解析】设二次函数的解析式为，
∵点满足关系式，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，，
当时，，
∴与的关系式为．
故选B．
【题型4】利用几何图形建立二次函数解析式
【典型例题】用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，
∴矩形另一边长为米，
∴矩形的面积，
故选：B.
【举一反三1】如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，
∴表面积．
故选：C．
【举一反三2】正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
故选：C．
【举一反三3】长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可得：
∵长方形的周长为，其中一边为，
∴长方形的另一边长为，
∴，
故选：D．
【举一反三4】用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，
∴矩形另一边长为米，
∴矩形的面积，
故选：B.
【举一反三5】正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是 ．
【答案】
【解析】由题意得：．
故答案为：．
【举一反三6】用长为30米的栅栏围成一个矩形花圃，其中一边长为x米，面积为y平方米，则y与x的函数关系为 ．
【答案】
【解析】篱笆的总长为30米，花圃一边长为米，
花圃另一边长为米．
根据题意得：．
故答案为：．
【举一反三7】长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ．
【答案】
【解析】长方形的周长为，其中一边，
另一边长为，
，
故答案为：．
【举一反三8】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ．
【答案】
【解析】由题意可得：．
故答案为：．
【题型5】利用二次函数的定义求待定字母的值
【典型例题】关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当，即，则是二次函数．
故选：B．
【举一反三1】函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A. B.或 C. D.不存在
【答案】C
【解析】由题意得，解得：，
故选：．
【举一反三2】若表示是的二次函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】表示是的二次函数，
，
解得．
故选：D．
【举一反三3】若是二次函数，则 ．
【答案】4
【解析】∵函数是二次函数，
∴，
∴．
故答案为4．
【举一反三4】若函数是二次函数，则 ．
【答案】
【解析】∵是二次函数，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：.
【举一反三5】如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值．
【答案】解：根据二次函数的定义：m2﹣3m+2=2，且m﹣3≠0，
解得：m=0．
【举一反三6】已知函数是二次函数，求m的值．
【答案】解：由是二次函数，得，
解得：．
