1.2二次函数的图象
【知识点1】二次函数的图象 1
【知识点2】二次函数图象与几何变换 2
【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征 2
【知识点4】二次函数图象与系数的关系 3
【题型1】二次函数y=a(x-m) ＋k与y=ax ，y=a(x-m) 的图象之间的平移 4
【题型2】二次函数y=a(x-m) 的图象的相关特征 5
【题型3】二次函数y=ax ＋bx＋c与y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的图象之间的平移 6
【题型4】二次函数y=a(x-m) 与y=ax 图象之间的平移 6
【题型5】二次函数y=ax 的图象的相关特征 7
【题型6】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象的相关特征 8
【题型7】二次函数y=a(x-m) ＋k的图象的相关特征 9
【知识点1】二次函数的图象
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
1.（2024秋 蚌山区月考）已知实数a,b,c满足a+b+2c=-4，2a-b-3c=8，a+b+c＜0，则（ ）
A．a＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b2-4ac＜0
C．a＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b2-4ac＜0
2.（2024秋 龙岩期末）二次函数y=x2的图象与反比例函数的图象的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点2】二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
1.（2024秋 右江区期末）把抛物线y=2x2向左平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=2x2+5 B．y=2x2-5 C．y=2（x+5）2 D．y=2（x-5）2
2.（2024秋 秦皇岛校级期末）将抛物线y=x2+2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2+2x+2 B．y=x2+2x-2 C．y=x2-2x D．y=x2+6x+8
3.（2025 武威一模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线y=（x-n）2+m-n,则符合条件的m,n的值为（ ）
A．，n=-6 B．m=2，n=-4 C．m=-1，n=6 D．m=1，n=3
【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）．
①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=．
1.（2024秋 秦皇岛期末）下列各点，在抛物线y=3（x-1）2-1的图象上的是（ ）
A．（1，1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（-1，-1）
2.（2024秋 长宁区期末）已知二次函数y=-x2+2x+2的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2＜0，那么y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．无法确定
【知识点4】二次函数图象与系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
1.（2024秋 迁安市期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x=1时函数有最大值2，下面的结论不正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2-4ac＞0 C．2a+b=0 D．ac＞0
2.（2025 望花区二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=ax2+b1x+c1，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0
C．a-b+c＜0 D．阴影部分的面积为4
【题型1】二次函数y=a(x-m) ＋k与y=ax ，y=a(x-m) 的图象之间的平移
【典型例题】二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是（ ）
A.先向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
【举一反三1】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】将二次函数向左平移4个单位，向下平移2个单位，所得到的新函数关系式为 ．
【举一反三3】将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．
(1)写出平移后的二次函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出平移后的二次函数的图象；
【举一反三4】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定h，k的值；
(2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【题型2】二次函数y=a(x-m) 的图象的相关特征
【典型例题】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】对于函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A.开口向下 B.对称轴是 C.最高点为 D.交y轴于点
【举一反三2】与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】二次函数的图象的顶点坐标是 ．
【举一反三4】二次函数的图象不经过第 象限．
【举一反三5】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
【举一反三6】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x ，y=(x+2) ，y=(x-2) 的图象，并写出对称轴及顶点坐标.
【题型3】二次函数y=ax ＋bx＋c与y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的图象之间的平移
【典型例题】抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（ ）
A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【举一反三1】将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】把二次函数y＝x +bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为 ．
【举一反三3】已知二次函数图象的对称轴为直线．
(1)求a的值；
(2)将该二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式．
【题型4】二次函数y=a(x-m) 与y=ax 图象之间的平移
【典型例题】二次函数向右平移1个单位后的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】二次函数的图象向右平移个单位后的函数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，则所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】二次函数向右平移1个单位得到的函数解析式为 ．
【举一反三4】已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象.
【举一反三5】请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．
【题型5】二次函数y=ax 的图象的相关特征
【典型例题】抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）
A.向上，轴 B.向上，轴 C.向下，轴 D.向下，轴
【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知二次函数开口向上，且，则 ．
【举一反三3】抛物线的开口方向是 ．
【举一反三4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【题型6】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象的相关特征
【典型例题】若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知二次函数图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④点都在抛物线上，则有．其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【举一反三2】已知抛物线（，）的对称轴为直线．若当时，，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
【举一反三3】如图，这是二次函数的图象，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】二次函数，经过点，对称轴l如图所示，若，，，则M，N，P中，值小于0的数有 ．
【举一反三5】抛物线经过点，则的值为 ．
【举一反三6】二次函数的图象的开口方向为 ．
【题型7】二次函数y=a(x-m) ＋k的图象的相关特征
【典型例题】根据如图所示的二次函数的图象，可以判断坐标系原点可能是（ ）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】抛物线的对称轴是直线 ．
【举一反三3】二次函数的开口 ，对称轴 ，顶点坐标是 ．
【举一反三4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【举一反三5】．已知抛物线.
（1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，
（2）在直角坐标系中画出的图象．
解：①列表：
②描点、连线：1.2二次函数的图象
【知识点1】二次函数的图象 1
【知识点2】二次函数图象与几何变换 3
【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征 4
【知识点4】二次函数图象与系数的关系 5
【题型1】二次函数y=a(x-m) ＋k与y=ax ，y=a(x-m) 的图象之间的平移 8
【题型2】二次函数y=a(x-m) 的图象的相关特征 10
【题型3】二次函数y=ax ＋bx＋c与y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的图象之间的平移 12
【题型4】二次函数y=a(x-m) 与y=ax 图象之间的平移 14
【题型5】二次函数y=ax 的图象的相关特征 16
【题型6】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象的相关特征 18
【题型7】二次函数y=a(x-m) ＋k的图象的相关特征 23
【知识点1】二次函数的图象
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
1.（2024秋 蚌山区月考）已知实数a,b,c满足a+b+2c=-4，2a-b-3c=8，a+b+c＜0，则（ ）
A．a＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b2-4ac＜0
C．a＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b2-4ac＜0
【答案】A
【分析】由题意得，可求，则a+b+c=a+4-7a+3a-4=-3a＜0，可求a＞0，设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），则图象开口向上，由a+b+c＜0，可知当x=1时，y=a+b+c＜0，则图象与x轴有两个交点，进而可得b2-4ac＞0．
【解答】解：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），
由题意得，
解得，，
∴a+b+c=a+4-7a+3a-4=-3a＜0，
∴a＞0，
∴则图象开口向上，
∵a+b+c＜0，
∴当x=1时，y=a+b+c＜0，
∴图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
故选：A．
2.（2024秋 龙岩期末）二次函数y=x2的图象与反比例函数的图象的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数．
【解答】解：根据二次函数和反比例函数的图象位置如图：
∵二次函数y=x2的图象在一、二象限，开口向上，顶点在原点，y轴是对称轴，
反比例函数的图象在一、三象限，故两个函数的交点只有一个，在第一象限．
故选：A．
【知识点2】二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
1.（2024秋 右江区期末）把抛物线y=2x2向左平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=2x2+5 B．y=2x2-5 C．y=2（x+5）2 D．y=2（x-5）2
【答案】C
【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移5个单位得到对应点的坐标为（-5，0），然后根据顶点式写出平移后得抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移5个单位得到对应点的坐标为（-5，0），所以平移后的抛物线的解析式为y=2（x+5）2．
故选：C．
2.（2024秋 秦皇岛校级期末）将抛物线y=x2+2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2+2x+2 B．y=x2+2x-2 C．y=x2-2x D．y=x2+6x+8
【答案】A
【分析】根据上加下减的原则得出解析式即可．
【解答】解：由“上加下减“平移规律知：将抛物线y=x2+2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y=x2+2x+2，
故选：A．
3.（2025 武威一模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线y=（x-n）2+m-n,则符合条件的m,n的值为（ ）
A．，n=-6 B．m=2，n=-4 C．m=-1，n=6 D．m=1，n=3
【答案】D
【分析】先把抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则求出右平移2个单位后所得抛物线的解析式，写出对应系数的值即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4化为y=（x-m）2+2m-4，
∴抛物线y=x2-2mx+m2+2m-4向右平移2个单位后得抛物线，所得抛物线的解析式为：y=（x-m-2）2+2m-4，即y=（x-n）2+m-n,
∴，
解得，
故选：D．
【知识点3】二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-，）．
①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=．
1.（2024秋 秦皇岛期末）下列各点，在抛物线y=3（x-1）2-1的图象上的是（ ）
A．（1，1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（-1，-1）
【答案】B
【分析】可将四个选项中的坐标代入抛物线方程中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
【解答】解：A、将（1，1）代入y=3（x-1）2-1得，1≠3×02-1=-1，所以（1，1）不在y=3（x-1）2-1上，故本选项错误；
B、将（1，-1）代入y=3（x-1）2-1得，-1=3×02-1，所以（1，-1）在y=3（x-1）2-1上，故本选项正确；
C、将（-1，1）代入代入y=3（x-1）2-1得，1≠3×（-2）2-1=11，所以（-1，1）不在y=3（x-1）2-1上，故本选项错误；
D、将（-1，-1）代入y=3（x-1）2-1得，-1≠3×（-2）2-1=11，所以（-1，-1）不在y=3（x-1）2-1上，故本选项错误．
故选：B．
2.（2024秋 长宁区期末）已知二次函数y=-x2+2x+2的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2＜0，那么y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：二次函数y=-x2+2x+2的图象开口向下，对称轴为直线x=1，
x＜1时，y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
故选：A．
【知识点4】二次函数图象与系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
1.（2024秋 迁安市期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x=1时函数有最大值2，下面的结论不正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2-4ac＞0 C．2a+b=0 D．ac＞0
【答案】D
【分析】由抛物线开口向下，可得a＜0，即可判定A；根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得Δ=b2-4ac＞0，即可判定B；由对称轴为直线x=1，可判定C；根据抛物线经过原点，即可判定D，据此即可求解．
【解答】解：A、∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
故该选项正确，不合题意；
B、由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4ac＞0，故该选项正确，不合题意；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴b=-2a,
∴2a+b=0，故该选项正确，不符合题意；
D、∵抛物线经过原点，
∴c=0，
∴ac=0，
故该选项错误，符合题意；
故选：D．
2.（2025 望花区二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=ax2+b1x+c1，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0
C．a-b+c＜0 D．阴影部分的面积为4
【答案】D
【分析】根据抛物线开口向上，可得a＞0，据此判断A；抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在x轴的下方，据此判断B；根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，据此判断C；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可判断D．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，故A不正确；
由图象可知c＜0，故B不正确；
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，
故C不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=-2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2=4，故D正确．
故选：D．
【题型1】二次函数y=a(x-m) ＋k与y=ax ，y=a(x-m) 的图象之间的平移
【典型例题】二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是（ ）
A.先向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
【答案】C
【解析】将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，
得到抛物线，即，
故选：C．
【举一反三1】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将二次函数的图象向下平移1个单位长度，得：，
故选：．
【举一反三2】将二次函数向左平移4个单位，向下平移2个单位，所得到的新函数关系式为 ．
【答案】
【解析】抛物线向左平移4个单位可得，再向下平移2个单位可得，
故答案为：.
【举一反三3】将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．
(1)写出平移后的二次函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出平移后的二次函数的图象；
【答案】解：（1）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得的抛物线解析式为；
（2）列表如下：
函数图象如下所示：
【举一反三4】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定h，k的值；
(2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】解：（1）∵把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为，
∴；
（2）二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【题型2】二次函数y=a(x-m) 的图象的相关特征
【典型例题】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，
故选：C．
【举一反三1】对于函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A.开口向下 B.对称轴是 C.最高点为 D.交y轴于点
【答案】B
【解析】对于函数的图象，
∵，
∴开口向下，对称轴，最高点的坐标是顶点坐标，
时，，
交y轴于点，
故A、C、D正确，
故选：B．
【举一反三2】与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线的顶点坐标为，
关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，
与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是．
故选：C．
【举一反三3】二次函数的图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【解析】∵二次函数的解析式的顶点式为，
∴二次函数的图象的顶点坐标是，
故答案为：.
【举一反三4】二次函数的图象不经过第 象限．
【答案】三、四
【解析】∵二次函数顶点，开口向上，
∴图象不经过第三、四象限，
故答案为：三、四．
【举一反三5】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
【答案】解：（1）∵抛物线，
∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为；
（2）∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为；
（3）∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为．
【举一反三6】在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x ，y=(x+2) ，y=(x-2) 的图象，并写出对称轴及顶点坐标.
【答案】解：函数图象如图所示：
抛物线y=x 的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0).
抛物线y=(x+2) 的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).
抛物线y=(x-2) 的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0).
【题型3】二次函数y=ax ＋bx＋c与y=ax ，y=a(x-m) ，y=a(x-m) ＋k的图象之间的平移
【典型例题】抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（ ）
A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【答案】D
【解析】，
抛物线可以由抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，
故选：D．
【举一反三1】将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为，
故选：C．
【举一反三2】把二次函数y＝x +bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为 ．
【答案】﹣2
【解析】∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），
∴﹣﹣1＝﹣2，c﹣﹣2＝1，
解得：b＝2，c＝4，
∴b﹣c＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【举一反三3】已知二次函数图象的对称轴为直线．
(1)求a的值；
(2)将该二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式．
【答案】解：（1）∵二次函数图象的对称轴为直线,
∴，解得．
（2）∵，
∴，
∴平移后为：．
∴新二次函数的解析式为．
【题型4】二次函数y=a(x-m) 与y=ax 图象之间的平移
【典型例题】二次函数向右平移1个单位后的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将二次函数向右平移1个单位后的解析式是，
故选：A．
【举一反三1】二次函数的图象向右平移个单位后的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二次函数的图象向右平移个单位后的函数为．
故选：A．
【举一反三2】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，则所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，则所得抛物线的解析式是，
故选：B．
【举一反三3】二次函数向右平移1个单位得到的函数解析式为 ．
【答案】
【解析】∵抛物线顶点坐标为，
∴向右平移1个单位后，顶点坐标为，
∴平移后抛物线解析式为：．
故答案为．
【举一反三4】已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象.
【答案】解：（1）如图所示：
（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为；
（3）由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位.
【举一反三5】请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．
【答案】解：列表：
描点：
连线，如图．
由图象可知，①向左平移两个单位得到②，
∴②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为（2，0）．
【题型5】二次函数y=ax 的图象的相关特征
【典型例题】抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）
A.向上，轴 B.向上，轴 C.向下，轴 D.向下，轴
【答案】B
【解析】，
抛物线开口向上，
，
对称轴为轴．
故选：B．
【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】二次函数的图象的顶点坐标为．
故选：C．
【举一反三2】已知二次函数开口向上，且，则 ．
【答案】5
【解析】∵二次函数开口向上，
∴，
∵,
∴或,
∴或,
又∵,
∴．
故答案为：5．
【举一反三3】抛物线的开口方向是 ．
【答案】向上
【解析】∵在中，，
∴抛物线的开口方向是向上．
故答案为：向上．
【举一反三4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】解：（1）∵抛物线解析式为,
∴a＝3＞0，
∴抛物线y＝3x 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（2）∵抛物线解析式为：，
∴a＝-3＜0，
∴抛物线y＝-3x 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（3）∵抛物线解析式为：，
∴a＝,
∴抛物线y＝x 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（4）∵抛物线解析式为：，
∴a＝，
∴抛物线y＝x 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）．
【题型6】二次函数y=ax ＋bx＋c的图象的相关特征
【典型例题】若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得同号，故，
所以的图象大致是：抛物线开口向上，图象与轴的负半轴相交，对称轴在轴右边，故选项B符合题意．
故选：B．
【举一反三1】已知二次函数图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④点都在抛物线上，则有．其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向上，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵，，
∴，
∴，故②正确，
∵时，，
∴，
∵时，，
∴，
∴，
∴，故③正确，
∵点都在抛物线上，
观察图象可知，故④错误．
综上，正确的结论是①②③，
故选：B．
【举一反三2】已知抛物线（，）的对称轴为直线．若当时，，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
【答案】A
【解析】∵（，）的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【举一反三3】如图，这是二次函数的图象，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵二次函数开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标在直线和直线之间，
∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，
∴
，
故选：A．
【举一反三4】二次函数，经过点，对称轴l如图所示，若，，，则M，N，P中，值小于0的数有 ．
【答案】M，N
【解析】∵二次函数，经过点，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于正半轴，开口向下，
∴，，
∴；
∵对称轴与x轴的交点的横坐标在到0之间，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：M，N．
【举一反三5】抛物线经过点，则的值为 ．
【答案】
【解析】把点代入,
得：，
化简得：，
,
故答案为：．
【举一反三6】二次函数的图象的开口方向为 ．
【答案】向上
【解析】在中，
，
二次函数的图象的开口方向向上，
故答案为：向上．
【题型7】二次函数y=a(x-m) ＋k的图象的相关特征
【典型例题】根据如图所示的二次函数的图象，可以判断坐标系原点可能是（ ）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】A
【解析】由题意得：二次函数的顶点坐标为，
∴在点的左下方位置的点A可能是坐标系原点.
故选：A．
【举一反三1】抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标是．
故选：A．
【举一反三2】抛物线的对称轴是直线 ．
【答案】7
【解析】抛物线的对称轴是直线，
故答案为：7．
【举一反三3】二次函数的开口 ，对称轴 ，顶点坐标是 ．
【答案】向上；直线；
【解析】，
该函数的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为，
故答案为：向上，直线，．
【举一反三4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】解：（1），开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）；
（2），开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）；
（3），开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）；
（4），开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）．
【举一反三5】．已知抛物线.
（1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，
（2）在直角坐标系中画出的图象．
解：①列表：
②描点、连线：
【答案】解：（1）因为抛物线为，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,3)；
（2）①列表：
② 描点、连线：
