4.5相似三角形的性质及其应用
【知识点1】相似三角形的应用 1
【知识点2】作图-相似变换 1
【题型1】三角形的重心 2
【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比 3
【题型3】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比 3
【题型4】相似三角形的对应高线长之比等于相似比 4
【题型5】相似三角形中的动点问题 5
【题型6】相似三角形判定与性质的综合 7
【题型7】相似三角形的面积之比等于相似比的平方 8
【题型8】相似三角形性质的应用 9
【知识点1】相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【知识点2】作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
【题型1】三角形的重心
【典型例题】三角形的重心是（ ）
A.三角形三边上高线的交点
B.三角形三边上垂直平分线的交点
C.三角形三边上角平分线的交点
D.三角形三边上中线的交点
【举一反三1】用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，而支起三角形卡片的点就是三角形的重心，那么重心是三角形（ ）
A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D.三边垂直平分线的交点
【举一反三2】三角形的重心是（ ）
A.三角形三边上高线的交点
B.三角形三边上垂直平分线的交点
C.三角形三边上角平分线的交点
D.三角形三边上中线的交点
【举一反三3】一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（ ）
A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三条高线的交点
C.三角形的三条中线的交点
D.三角形的三条边的垂直平分线的交点
【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比
【典型例题】△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( )
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶16
【举一反三1】如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值( )
A. 只有一个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 无数个
【举一反三2】两个相似三角形的对应边分别是15 cm和23 cm，它们的周长相差40 cm，则这两个三角形的周长分别是( )
A. 75 cm，115 cm B. 60 cm，100 cm C. 85 cm，125 cm D. 45 cm，85 cm
【举一反三3】已知△ABC的三边之比为2∶3∶4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF的最大边长为20，则△DEF的周长为__________．
【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：△A′B′C′的周长.
【题型3】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比
【典型例题】如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的一组对应边上的中线之比是( )
A. 9∶16 B. 3∶7 C. 3∶4 D. 4∶3
【举一反三1】如果两个相似三角形相似比是1∶4，那么它们的对应角平分线之比是( )
A. 1∶4 B. 1∶8 C. 1∶16 D. 1∶2
【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为__________．
【举一反三4】如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为____________．
【举一反三5】如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
【题型4】相似三角形的对应高线长之比等于相似比
【典型例题】已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF的高的比为( )
A. 1∶3 B. 1∶9 C. 1∶18 D. 1∶81
【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的对应高之比为( )
A. 2∶3 B. 3∶2 C. 4∶9 D. 9∶4
【举一反三2】若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A. 3∶2 B. 3∶5 C. 9∶4 D. 4∶9
【举一反三3】已知两个三角形相似，它们的一组对应边分别是3和4，那么它们对应高的比等于__________．
【举一反三4】已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为__________．
【举一反三5】如图，△ABC∽△A′BC′，AD、A′D′分别是这两个三角形的高，EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线，与相等吗？为什么？
【举一反三6】等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，已知斜边AB＝12 cm.
（1）求△A′B′C′斜边A′B′的长；
（2）求△A′B′C′斜边A′B′上的高．
【题型5】相似三角形中的动点问题
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：△ABD∽△DCE；
乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE；
丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A.只有甲同学正确 B.乙和丙同学都正确 C.甲和丙同学正确 D.三个同学都正确
【举一反三2】如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（ ）
A. B. C.3或5 D.或
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为 ．
【举一反三4】如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在DB上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则DP＝ ．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？
【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【题型6】相似三角形判定与性质的综合
【典型例题】如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ）
A. 1：3 B. 2：3 C. ：2 D. ：3
【举一反三1】如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于F，则等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH PC.
其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
【举一反三3】如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝ ，则CE＝ ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，D是BC边的中点．
（1）尺规作图：在AB上找一点E，使得△BDE∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求DE的长．
【举一反三5】如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．
【题型7】相似三角形的面积之比等于相似比的平方
【典型例题】已知△ABC∽△DEF，AB＝4，DE＝8，若△ABC面积是6，则△DEF面积是( )
A. 12 B. 16 C. 24 D. 32
【举一反三1】若两个相似三角形的面积之比为2∶3，则它们对应角的平分线之比为( )
A. 2：3 B. 3：2 C. 6：3 D. 6：2
【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，且△ABC的面积与△DEF的面积之比为4∶9，则AB∶DE等于( )
A. 4∶9 B. 2∶3 C. 16∶81 D. 9∶4
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.
【举一反三4】已知△ABC的三边长之比是3∶4∶5，与其相似的△DEF的周长为18，则△DEF的面积为____________．
【举一反三5】已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4：1，求△ABC和△A′B′C′的周长．
【题型8】相似三角形性质的应用
【典型例题】如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（ ）
A.1米 B.2.25米 C.2米 D.3米
【举一反三1】如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段AE和BD相交于点C，点F在AE的延长线上，测得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，则∠DEF的度数为（ ）
A.120° B.125° C.130° D.135°
【举一反三2】如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（ ）
A.15cm B.14.4cm C.13.5cm D.9cm
【举一反三3】在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体，如图，有一圆形石块，要使其滚动，杠杆的端点C必须向上翘起5cm，若杠杆AC的长度为120cm，其中BC段的长度为20cm，则要使该石块滚动，杠杆的另一端点A必须向下压 cm．
【举一反三4】如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度AB＝ ．
【举一反三5】小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图），当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m，求旗杆的高度．4.5相似三角形的性质及其应用
【知识点1】相似三角形的应用 1
【知识点2】作图-相似变换 1
【题型1】三角形的重心 2
【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比 3
【题型3】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比 4
【题型4】相似三角形的对应高线长之比等于相似比 6
【题型5】相似三角形中的动点问题 7
【题型6】相似三角形判定与性质的综合 12
【题型7】相似三角形的面积之比等于相似比的平方 16
【题型8】相似三角形性质的应用 17
【知识点1】相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【知识点2】作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
【题型1】三角形的重心
【典型例题】三角形的重心是（ ）
A.三角形三边上高线的交点
B.三角形三边上垂直平分线的交点
C.三角形三边上角平分线的交点
D.三角形三边上中线的交点
【答案】D
【解析】三角形的重心是三角形三边中线的交点．
故选：D．
【举一反三1】用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，而支起三角形卡片的点就是三角形的重心，那么重心是三角形（ ）
A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D.三边垂直平分线的交点
【答案】A
【解析】重心是三角形三条中线的交点．
故选：A．
【举一反三2】三角形的重心是（ ）
A.三角形三边上高线的交点
B.三角形三边上垂直平分线的交点
C.三角形三边上角平分线的交点
D.三角形三边上中线的交点
【答案】D
【解析】三角形的重心是三角形三边中线的交点．
故选：D．
【举一反三3】一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（ ）
A.三角形的三条角平分线的交点
B.三角形的三条高线的交点
C.三角形的三条中线的交点
D.三角形的三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在三角形的三条中线的交点处．
故选：C．
【题型2】相似三角形的周长之比等于相似比
【典型例题】△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( )
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶16
【答案】C
【解析】∵△ABC与△DEF的相似比为1∶4，∴△ABC与△DEF的周长比为1∶4.
故选：C.
【举一反三1】如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值( )
A. 只有一个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 无数个
【答案】B
【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，
∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或7，∴x的值可以有2个．
故选：B.
【举一反三2】两个相似三角形的对应边分别是15 cm和23 cm，它们的周长相差40 cm，则这两个三角形的周长分别是( )
A. 75 cm，115 cm B. 60 cm，100 cm C. 85 cm，125 cm D. 45 cm，85 cm
【答案】A
【解析】根据题意，两个三角形的相似比是15∶23，周长比就是15∶23，大小周长相差8份，
所以每份的周长是40÷8＝5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm.
故选：A.
【举一反三3】已知△ABC的三边之比为2∶3∶4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF的最大边长为20，则△DEF的周长为__________．
【答案】45
【解析】∵△DEF∽△ABC，△ABC的三边之比为2∶3∶4，∴△DEF的三边之比为2∶3∶4，
又∵△DEF的最大边长为20，∴△DEF的另外两边分别为10，15，∴△DEF的周长为10＋15＋20＝45.
【举一反三4】△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：△A′B′C′的周长.
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，=，△ABC的周长为20cm，
∴＝，∴C△A′B′C′＝20×2＝40(cm)，∴△A′B′C′的周长为40cm.
【题型3】相似三角形对应角的角平分线、中线之比等于相似比
【典型例题】如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的一组对应边上的中线之比是( )
A. 9∶16 B. 3∶7 C. 3∶4 D. 4∶3
【答案】C
【解析】∵两个相似三角形对应边的比为3∶4，∴它们的对应中线的比是3∶4.
故选：C.
【举一反三1】如果两个相似三角形相似比是1∶4，那么它们的对应角平分线之比是( )
A. 1∶4 B. 1∶8 C. 1∶16 D. 1∶2
【答案】A
【解析】∵两个相似三角形的相似比是1∶4，∴它们对应的角平分线之比是1∶4.
故选：A.
【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为.
故选：A．
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为__________．
【答案】2∶3
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2∶3，∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2∶3.
【举一反三4】如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为____________．
【答案】1∶4
【解析】∵两个相似三角形的周长的比为1∶4，∴两个相似三角形的相似比为1∶4，∴周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1∶4.
【举一反三5】如图所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB＝12 cm，DE＝3 cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝，
∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝，
∵Rt△ABC∽Rt△DFE，∴，即，∴DF＝5，
∵EN为斜边DF上的中线，∴EN＝.
（2）∵，相似比为，
∴相似三角形对应中线的比等于相似比．
【题型4】相似三角形的对应高线长之比等于相似比
【典型例题】已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF的高的比为( )
A. 1∶3 B. 1∶9 C. 1∶18 D. 1∶81
【答案】B
【解析】∵△ABC与△DEF的周长之比为1∶9，∴两三角形的相似比为1∶9，
∴△ABC与△DEF对应的高的比1∶9.
故选：B.
【举一反三1】已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的对应高之比为( )
A. 2∶3 B. 3∶2 C. 4∶9 D. 9∶4
【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，∴△ABC与△DEF的对应高之比为2∶3.
故选：A.
【举一反三2】若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A. 3∶2 B. 3∶5 C. 9∶4 D. 4∶9
【答案】A
【解析】∵△ABC～△DEF，相似比为3∶2，∴对应高的比为3∶2.
故选：A.
【举一反三3】已知两个三角形相似，它们的一组对应边分别是3和4，那么它们对应高的比等于__________．
【答案】3∶4
【解析】∵两个三角形相似，它们的一组对应边分别是3和4，∴它们相似比为3∶4，∴它们对应高的比等于3∶4.
【举一反三4】已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为__________．
【答案】4∶1
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4∶1.
【举一反三5】如图，△ABC∽△A′BC′，AD、A′D′分别是这两个三角形的高，EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线，与相等吗？为什么？
【答案】解：与相等．理由如下：
∵△ABC∽△A′B′C′，∴=，
∵EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线，∴＝'＝，∴＝，∴＝，
∵AD、A′D′分别是这两个三角形的高，∴＝，∴＝.
【举一反三6】等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，已知斜边AB＝12 cm.
（1）求△A′B′C′斜边A′B′的长；
（2）求△A′B′C′斜边A′B′上的高．
【答案】解：（1）∵等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，∴AB∶A′B′＝3∶1，
∵Rt△ABC的斜边AB＝12 cm，∴△A′B′C′斜边A′B′＝4cm.
（2）∵△A′B′C′是等腰直角三角形，∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝△A′B′C′斜边A′B′上的中线，
∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝2cm.
【题型5】相似三角形中的动点问题
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，
当△PAE∽△PBC时，，即，解得，x，
当△PAE∽△CBP时，，即，解得，x＝2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故选：C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：△ABD∽△DCE；
乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE；
丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A.只有甲同学正确 B.乙和丙同学都正确 C.甲和丙同学正确 D.三个同学都正确
【答案】D
【解析】在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，甲同学正确；
∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE，∴△ABD≌△DCE，∴BD＝CE，乙同学正确；
当DE⊥AC时，∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∴BD＝CD，D为BC的中点，丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确．
故选：D．
【举一反三2】如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（ ）
A. B. C.3或5 D.或
【答案】C
【解析】设AE＝x，则EB＝8﹣x，
根据勾股定理可得，DE，
EC．
若格点△DAE与△EBC相似，分两种情况：
①如果△DAE∽△EBC，那么，即，解得x1＝2，x2＝6．
当x＝2时，DE，EC2，∴DE+EC23；
当x＝6时，DE3，EC2，∴DE+EC＝325；
②如果△DAE∽△CBE，那么，即，解得x．
当x时，DE，EC，
∴DE+EC（不合题意舍去）．
综上所述，DE+EC的长为3或5．
故选：C．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PCDE＝2，
∵，，∴，
∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴，∴PFPB，∴PAPB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF，∴PAPB，
∴PAPB的最小值为.
【举一反三4】如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在DB上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则DP＝ ．
【答案】2或12或5.6
【解析】∵①若△PCD∽△APB，则，即，解得DP＝2或12；
②若△PCD∽△PAB，则，即，解得DP＝5.6．
∴DP＝2或12或5.6．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？
【答案】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．则AP＝2x cm，BQ＝4x cm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝（8﹣2x）cm，
①BP与BC边是对应边，则，即，解得x＝0.8，
②BP与AB边是对应边，则，即，解得x＝2．
综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：存在t＝3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分），
设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM＝t，CN＝2t，AN＝12﹣2t（0≤t≤6），
（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，则，即，解得t＝3；
（2）当∠AMN＝∠C时，△ANM∽△ABC，则，即，解得t＝4.8；
故所求t的值为3秒或4.8秒．
【题型6】相似三角形判定与性质的综合
【典型例题】如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ）
A. 1：3 B. 2：3 C. ：2 D. ：3
【答案】A
【解析】∵△ABC是正三角形，∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE＝∠CED＝∠BDF＝90°，
∴∠BFD＝∠CDE＝∠AEF＝30°，∴∠DFE＝∠FED＝∠EDF＝60°，＝，
∴△DEF是正三角形，∴BD：DF＝1：①，BD：AB＝1：3②，△DEF∽△ABC，
①÷②，＝，∴DF：AB＝1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．
故选：A．
【举一反三1】如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于F，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，
又AB＝，BC＝，∴BD＝＝3，
∵BE＝1.8，∴DE＝3﹣1.8＝1.2，
∵AB∥CD，∴＝，即＝，解得DF＝，
则CF＝CD﹣DF＝，∴＝＝.
故选：A．
【举一反三2】如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH PC.
其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
【答案】C
【解析】∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE，故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，故②正确；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠ADB＝45°，∴∠PDB＝30°，而∠DFP＝60°，∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH PC，故④正确.
故选：C．
【举一反三3】如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝ ，则CE＝ ．
【答案】
【解析】如图，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°，
∴AM＝BM＝1，
在Rt△ADM中，DM＝＝＝，
∵AM∥CD，∴＝，∴DP＝，
∵PF＝，∴DF＝DP﹣PF＝，
∵∠EDF＝∠PDC，∠DFE＝∠DCP，∴△DEF∽△DPC，∴，∴＝，∴DE＝，
∴CE＝CD﹣DE＝2﹣＝．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，D是BC边的中点．
（1）尺规作图：在AB上找一点E，使得△BDE∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求DE的长．
【答案】解：（1）如图所示，过D作DE⊥AB于E，
则点E即为所求，且△BDE∽△BAC.
（2）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，
∵D是BC边的中点，∴BD＝BC＝6，
∵△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，∴DE＝．
【举一反三5】如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．
【答案】解：（1）当F和B重合时，∵EF⊥DE，DE⊥BC，∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴AB∥DE，
∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝EF＝9，∴CE＝BC﹣EF＝12﹣9＝3.
（2）过D作DM⊥BC于M，
∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴DM∥AB，
∵AD∥BC，∴四边形ABMD是矩形，∴AD＝BM＝9，AB＝DM＝7，CM＝12﹣9＝3，
设AF＝CE＝a，则BF＝7﹣a，EM＝a﹣3，BE＝12﹣a，
∵∠FEC＝∠B＝∠DMB＝90°，∴∠FEB+∠DEM＝90°，∠BFE+∠FEB＝90°，
∴∠BFE＝∠DEM，
∵∠B＝∠DME，∴△FBE∽△EMD，∴，∴，解得a＝5或a＝17，
∵点F在线段AB上，AB＝7，∴AF＝CE＝17（舍去），即CE＝5．
【题型7】相似三角形的面积之比等于相似比的平方
【典型例题】已知△ABC∽△DEF，AB＝4，DE＝8，若△ABC面积是6，则△DEF面积是( )
A. 12 B. 16 C. 24 D. 32
【答案】C
【解析】∵△ABC∽△DEF，AB＝4，DE＝8，∴＝＝.
∵△ABC面积是6，∴＝＝，解得S△DEF＝24.
故选：C.
【举一反三1】若两个相似三角形的面积之比为2∶3，则它们对应角的平分线之比为( )
A. 2：3 B. 3：2 C. 6：3 D. 6：2
【答案】A
【解析】∵两个相似三角形的相似比为2∶3，∴它们的对应角平分线之比为2∶3.
故选：A.
【举一反三2】已知△ABC∽△DEF，且△ABC的面积与△DEF的面积之比为4∶9，则AB∶DE等于( )
A. 4∶9 B. 2∶3 C. 16∶81 D. 9∶4
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的面积与△DEF的面积之比为4∶9，∴△ABC与△DEF的相似比为2∶3，
∴AB∶DE＝2∶3.
故选：B.
【举一反三3】已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.
【答案】
【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，∴＝＝.
【举一反三4】已知△ABC的三边长之比是3∶4∶5，与其相似的△DEF的周长为18，则△DEF的面积为____________．
【答案】13.5
【解析】根据勾股定理逆定理，△DEF与△ABC均为直角三角形，设△DEF三边分别为3x，4x，5x，
则3x＋4x＋5x＝18，x＝32三边长分别为92，6，152，所以S△DEF＝12×6×92＝13.5.
【举一反三5】已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4：1，求△ABC和△A′B′C′的周长．
【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′，面积比为4：1，∴相似比为2：1，周长比为2：1．
∵周长比相差1，而周长之差为20，∴每份周长为20，
∴△ABC的周长是2×20＝40，△A′B′C′的周长是1×20＝20．
【题型8】相似三角形性质的应用
【典型例题】如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（ ）
A.1米 B.2.25米 C.2米 D.3米
【答案】D
【解析】构造几何模型如图：
依题意知DE＝2米，BC＝2+1＝3（米），FG＝1.5米，
由△DAE∽△BAC得，即，解得AF＝3，
则灯泡距离桌面3米．
故选：D．
【举一反三1】如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段AE和BD相交于点C，点F在AE的延长线上，测得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，则∠DEF的度数为（ ）
A.120° B.125° C.130° D.135°
【答案】A
【解析】∵AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，∴，，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE，∴△ACB∽△ECD，∴∠BAC＝∠DEC＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠DEC＝120°.
故选：A．
【举一反三2】如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（ ）
A.15cm B.14.4cm C.13.5cm D.9cm
【答案】C
【解析】由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，∴四边形ABOE是平行四边形，∴AE＝OB＝6cm，
∵AE∥OF，∴△CAE∽△COF，∴，∴，∴，
∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，∴，∴CD＝13.5cm.
故选：C．
【举一反三3】在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体，如图，有一圆形石块，要使其滚动，杠杆的端点C必须向上翘起5cm，若杠杆AC的长度为120cm，其中BC段的长度为20cm，则要使该石块滚动，杠杆的另一端点A必须向下压 cm．
【答案】25
【解析】如图，过点B作水平线MN，过点A作AM⊥MN于点M，过点C作CN⊥MN于点N，
∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
∵∠ABM＝∠CBN，∴△ABM∽△CBN，∴，
∵AC：BC＝120：20＝6：1，AB：BC＝5：1，∴AM：CN＝5，
∵CN＝5cm，∴AM＝25cm，∴要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压25cm.
【举一反三4】如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度AB＝ ．
【答案】cm
【解析】如图，作BE⊥DE于E，则∠BED＝90°，
由题意知，BD＝17cm，BC＝6cm，BE＝8cm，∠C＝90°，AB∥DE，AC∥BD，
∴∠CAB＝∠DBA＝∠BDE，
又∵∠C＝∠BED＝90°，∴△CAB∽△EDB，∴，即，解得cm.
【举一反三5】小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图），当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m，求旗杆的高度．
【答案】解：如图，CD＝2m，BD＝21m，
∵，∴DE＝1.5CD＝3，
∵，∴AB16（m）．
答：旗杆的高度为16m．
