浙教版八上2.7探索勾股定理（第1课时） 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
第2章 特殊三角形
2.7探索勾股定理（第1课时）
（浙教版）八年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
经历用测量、数格子（或割、补、拼等）的方法探索、验证勾股定理的过程,了解勾股定理的各种探究方法及内在联系,发展几何直观和推理能力。
在具体情境中,能运用勾股定理解决实际问题,发展应用意识。
02
新知导入
如图是在北京召开的第 24届国际数学家大会（ICM-2002）的会标。它的设计思路可追溯到 3 世纪中国数学家赵爽使用的弦图。用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位。
03
新知讲解
合作学习
（1）剪四个全等的直角三角形纸片（图 2-34），把它们按图 2-35放入一个边长为c的正方形中。这样就拼成了一个形如图2-35的图形。
（2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c。
分别计算图 2-35中的蓝色部分的面积和大、小两个正方形的面积。
（3）比较图2-35中蓝色部分和大、小两个正方形的面积，你发现了什么？
你还有其他拼图方法得到这些结论吗？
03
新知讲解
合作学习
S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
03
新知探究
勾股定理：
直角三角形的三条边长的关系：
直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么a2+b2=c2。
a
b
c
03
新知探究
注意：
（1）可变形为， ，故已知直角三角形中任意两边的长，即可求第三边的长。
（2）勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是在直角三角形中。
如何证明直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方？
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
03
新知探究
03
新知探究
a
b
c
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.
03
新知探究
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
03
新知探究
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
03
新知探究
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
03
新知探究
我国早在三千多年前就知道直角三角形的这个性质。古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是数学中最著名的定理之一，在图形研究、生活生产实践中有着广泛的应用。
03
新知讲解
已知在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c。
（1）若a＝1，b＝2，求c；
（2）若a＝15，c＝17，求b。
例1
c2=a2+b2=12 +22 =5
因为c>0,所以c=
解:(1)根据勾股定理，得
(2)根据勾股定理，得
因为b>0 , 所以b=8.
=172 -152
=64.
=(17＋15)(17－15)
b2 = c2 -a2
03
新知讲解
如图是一个长方形零件图。根据所给的尺寸（单位：mm），求两孔中心A，B之间的距离。
例2
解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB＝90°，
AC＝90－40＝50（mm），
BC＝160－40＝120（mm）。
在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2 =502+1202=16900（mm2）因为AB＞0，所以AB＝130（mm）。
答：两孔中心A，B之间的距离为130 mm。
分析：解决问题的关键是构造出含所求
线段的直角三角形，然后用勾股定理求解。
03
新知讲解
做一做
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=5，b=12，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
解：由勾股定理得52+122=c2 ,c=13;
解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;
解：由勾股定理得a2+152=252 ,a=20.
04
课堂练习
基础题
1．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
C
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
C
04
课堂练习
基础题
3.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　 　)
A．48 B．60
C．76 D．80
C
04
课堂练习
基础题
4. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm.求：
（1） AD的长；
解：（1） 设AD＝xcm，则AC＝AB＝（x＋3）cm.
因为CD⊥AB，所以∠CDA＝90°.
在Rt△ACD中，
由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2，即x2＋42＝（x＋3）2，解得x＝ .所以AD的长为 cm
04
课堂练习
基础题
4. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm.求：
（2） △ABC的面积.
解：（2） 由（1）可知，AB＝AC＝ ＋3＝ （cm）.
因为CD⊥AB，
所以S△ABC＝ AB·CD＝ × ×4＝ （cm2）
04
课堂练习
提升题
1. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝5，CD＝4，且AC＝AD. 记AB的长为x，AC的长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（　A　）
A. x2－y2 B. x2＋y2 C. x－y D. x＋y
A
04
课堂练习
提升题
2. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m.若梯子的顶端沿墙AO向下滑1m，这时梯子的底端也向右滑1m，求梯子AB的长.
解：设BO＝xm.由题意，得AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB2＝AO2＋BO2；
在Rt△COD中，由勾股定理，得CD2＝CO2＋DO2.
因为AB＝CD，所以42＋x2＝（4－1）2＋（x＋1）2，
解得x＝3.所以AB2＝ 42＋32＝25（m2）.
又因为AB＞0，所以AB＝5m.
所以梯子AB的长为5m
04
课堂练习
拓展题
1. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点.
（1） 在图①中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
解：（1） 如图①所示
04
课堂练习
拓展题
（2） 在图②中以格点为顶点画一个三边长分别为2， ， 的三角形；
解：（2） 如图②所示
04
课堂练习
拓展题
（3） 如图③，A，B，C，D是格点，点D在线段AB上，求∠ABC的度数.
解：（3） 如图③，连结AC，CD.
由勾股定理，得AC2＝BC2＝32＋12＝10，AD2＝BD2＝CD2＝22＋12＝5，所以AC＝BC，AD＝BD＝CD.
所以△ABC是等腰三角形，CD是AB边上的中线.所以CD⊥AB. 所以∠CDB＝90°.
又因为CD＝BD，所以∠ABC＝ ×（180°－90°）＝45°
05
课堂小结
勾股定理：
直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
字母表示：a2+b2=c2，，
06
板书设计
2.7探索勾股定理（第1课时）
勾股定理：
直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
字母表示：a2+b2=c2，，
Thanks!
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