浙教版2025年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷 含答案

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浙教版2025年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．s＝2t2﹣2t+1 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝3x﹣1 D．y
2．将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x+1）（x+3）
C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1
3．将抛物线y＝x2+2x+3向左平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2）
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
5．已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3，若点（0，y1），（1，y2），（3，y3）都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
6．如图，抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（1，0） D．（3，0）
7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　）
A．定价70元时，利润为6000元 B．定价56.5元时，利润为6105元
C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大
8．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OA＝OC，其对称轴为直线x＝1．则下列结论中正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b＝2a C．ac﹣b+1＝0 D．4a+2b+c＝0
9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c都是正整数）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）．若|x1|和|x2|都大于1，则下列说法错误的是（　　）
A．b＞2a B．a＞c
C．a+c＞b D．abc的最小值是25
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．当a＝　 　 时，y＝（a﹣1）x﹣3是关于x的二次函数．
12．抛物线y＝2（x﹣1）2+7的顶点坐标是　 　 ．
13．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．若当﹣1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为　 　 ．
14．一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示．现测得当水面宽AB＝2m时，涵洞顶点与水面的距离为2m．这时，离开水面1.5m处，涵洞ED的宽度是　 　 ．
15．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1），若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 　 　 ．
16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0，c＜0）经过点（﹣3，m），且m＞0．下列结论：①b＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有一个根是大于﹣3的负数；③b＜3a；④若a﹣b+c＝m，抛物线过点，且y1 y3＜0，则，y2 y4＜0．其中正确的结论是 　 　 ．（填写序号）
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，点A在x轴上，OA＝2，点B（﹣2，﹣8），求经过点A、O、B的抛物线的解析式．
18．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中的x，y满足如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 ■ 3 …
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）直接写出当y＜0时，x的取值范围．
19．（8分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求A，B，C，D四个点的坐标；
（2）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝m有两个不相等的负实数根，请直接写出m的取值范围．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，运动时间为t，△PBQ的面积为S．
（1）当t是多少秒时，S的值为20mm2？
（2）问S随t如何变化？当t取何值时，S最大？S最大值是多少？
21．（8分）图1是喷水管OA从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，OA所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为．
（1）求喷水管OA的高度；
（2）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管OA要升高多少？
22．（10分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
（1）当a＝1时，
①求证：该抛物线的顶点不在第三象限；
②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），求x2﹣x1的值．
（2）若b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n）．当t≤x≤t+1时，求的最小值．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交直线BC于点N，求的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，若抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y，点E为新抛物线y上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点P，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D D C C C B C
1．【解答】解：A、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故A正确；
B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；
C、y＝3x﹣1是一次函数，故C错误；
D、y＝x2不是二次函数，故D错误；
故选：A．
2．【解答】解：y＝x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣1，
故选：D．
3．【解答】解：由题意知，y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线y＝x2+2x+3向左平移3个单位后的抛物线的解析式为y＝（x+1+3）2+2＝（x+4）2+2，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣4，2），
故选：B．
4．【解答】解：A、由二次函数图象可知a＞0，b＜0，由一次函数图象可知a＞0，b＝0，故选项A错误，不符合题意；
B、由二次函数图象可知a＞0，b＜0，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，故选项A错误，不符合题意；
C、由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＝0，故选项A错误，不符合题意；
D、由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
5．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，
∴a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵1﹣0＝1，1﹣1＝0，3﹣1＝2，2＞1＞0，
∴y3＜y1＜y2，
故选：D．
6．【解答】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为点P．
当y＝3时代入到抛物线解析式得：
x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1．
则由图可知点A（﹣1，3），点B（3，3），
∴B′（3，﹣3）．
设直线AB′的解析式为：y＝kx+b．
代入A，B′求得：y，
则该直线与x轴的交点为：当y＝0时，x＝1．
∴点P（1，0）．
故选：C．
7．【解答】解：定价70元时，利润为（70﹣40）[300﹣10（70﹣60）]＝6000，故A正确；
定价56.5元时，利润为（56.5﹣40）[300+20（60﹣56.5）]＝6105，故B正确；
设每件降价m元，利润为w，
则w＝（60﹣40﹣m）（300+20m）＝﹣20m2+100m+6000，
当时，利润最大，故C错误；
设每件涨价m元，利润为w，
则w＝（60﹣40+m）（300﹣10m）＝﹣10（m﹣5）2+6250，
当m＝5时，利润最大，故D正确；
故选：C．
8．【解答】解：∵该二次函数图象开口方向向下，对称轴为x＝1，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，，即b＝﹣2a＞0，故B选项错误，不符合题意；
∵该二次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故A选项错误，不符合题意；
∵当x＝0时，y＝c，
∴C（0，c），
∵OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c可得0＝ac2﹣bc+c，
∴ac﹣b+1＝0，故C选项正确，符合题意；
∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，c），
∴点C（0，c）关于直线x＝1的对称轴为（2，c），
将C（2，c）代入y＝ax2+bx+c可得c＝4a+2b+c，
∴4a+2b＝0，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
9．【解答】解：∵a，b，c都是正整数，
∴对称轴在y轴的左侧，抛物线的开口向上，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点A，且|x1|和|x2|都大于1，
∴b2﹣4ac＞0，x1＜﹣1，x2＜﹣1，
∴对称轴在x＝﹣1的左侧，，
∴，c＞a，
故B选项错误，
故符合题意；
∴b＞2a，
故A选项正确，
故不符合题意，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
故C选项正确，
故不符合题意；
∵b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∵a，b，c都是正整数，
∴，a﹣b+c≥1，
∴，
∴，
∴，
∵b，a，c都是正整数且c＞a，
故a的最小值为1，
当a＝1时，则，
∴，
∴c＞4，
∴c的最小值为5，
∵，
∴b的最小值也为5，
∴abc的最小值为：25；
故D选项正确，
故不符合题意；
故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意，
故选：B．
10．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，符合题意；
②由题意可得：b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②符合题意；
③当x＝0和x＝2时函数值相等，都小于0，
∴y＝4a+2b+c＜0，故③不符合题意；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④符合题意；
⑤由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：由题意得：a2+1＝2且a﹣1≠0，
∴a＝±1且m≠1，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），
∴y＝2（x﹣1）2+7的顶点坐标是（1，7），
故答案为：（1，7）．
13．【解答】解：依题意，二次函数的对称轴为直线x＝1，
∵﹣1≤x≤4，
∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝1右侧y随x的增大而增大，
当x＝4时y有最大值5，
5＝16a﹣8a﹣3a，
解得：a＝1，
当a＜0时，开口向下，x＝1时y有最大值5，
a×12﹣2a×1﹣3a＝5，
解得，
故答案为：1或．
14．【解答】解：设该涵洞的截面边缘对应的抛物线解析式为y＝ax2，
∵当水面宽AB＝2m时，涵洞顶点与水面的距离是2m，
∴A（﹣1，﹣2），
∴﹣2＝a×（﹣1）2，
解得：a＝﹣2，
∴物线解析式为y＝﹣2x2，
由题意可知点D的纵坐标为：﹣（2﹣1.5）＝﹣0.5，
当y＝﹣0.5时，得：﹣0.5＝﹣2x2，
解得：x＝0.5或x＝﹣0.5，
∴D（0.5，﹣0.5），E（﹣0.5，﹣0.5），
∴DE＝0.5﹣（﹣0.5）＝1（m），
∴涵洞ED的宽度是1m．
故答案为：1m．
15．【解答】解：由点A、B的坐标得，直线AB为yx，
抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令xax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0，
∴Δ＝9﹣8a＞0，
∴a．
①当a＜0时，
则，
解得a≤﹣2，
故a≤﹣2；
②当a＞0时，
则，
解得a≥1，
∴1≤a．
综上所述：1≤a或a≤﹣2，
故答案为：1≤a或a≤﹣2．
16．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，m），
∴m＝9a﹣3b+c，
∵m＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴b，
∵a＜0，c＜0，
∴b＜0，
故①错误；
如图：无论点（﹣3，m）位于第二象限的抛物线上的任意位置，抛物线与x轴两个交点中右边的交点一定在﹣3和0之间，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有一个根是大于﹣3的负数；
故②正确；
∵9a﹣3b+c＞0，
∴3a﹣b，
∵c＜0，
∴3a﹣b＞0，
∴b＜3a，
故③正确；
∵a﹣b+c＝m，
∴抛物线过点（﹣1，m），
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣2，
∴横坐标为和的点在对称轴的左边，横坐标为和的点在对称轴的右边，
∴横坐标为和的点关于对称轴对称的点的横坐标分别为：，，且y1 y3＜0，如图所示：
∴y2 y4＜0，
故④正确，
故答案为：②③④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．【解答】解：∵OA＝2，
∴A（2，0），
∵抛物线过原点O，
∴抛物线的解析式中常数项为0，
设经过点A，O，B的抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
把A（2，0），B（﹣2，﹣8）代入y＝ax2+bx中，
得，
解得．
∴经过点A，O，B的抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．
18．【解答】解：（1）把（1，0），（2，﹣1）分别代入得，
解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于点（1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴当1＜x＜3时，y＜0．
19．【解答】解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0），A（﹣3，0），
当x＝0时，y＝02+2×0﹣3＝﹣3，
所以C（0，﹣3），
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点D（﹣1，﹣4）；
∴综上，A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）；
（2）关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝m有两个不相等的负实数根，即抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点过点D（﹣1，﹣4）和点C（0，﹣3）之间，
由图可知，当﹣4＜m＜﹣3时，关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝m有两个不相等的负实数根．
20．【解答】解：（1）由题意得，结合函数的图象，△PBQ的面积S随出发时间t变化，先增大然后减小．
又∵AP＝2t mm，BQ＝4t mm，且AB＝12mm，BC＝24mm，
∴BP＝（12﹣2t）mm，
∴SBP×BQ（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2，即S＝24t﹣4t2（0＜t＜6）．
当S的值为20mm2时，则20＝24t﹣4t2（0＜t＜6），
解得t＝1秒或t＝5，
故当t＝1或5秒时，S的值为20mm2；
（2）∵BQ＝4t＞0，BP＝12﹣2t，
∴0＜t＜6，
∵S＝24t﹣4t2＝﹣4（t﹣3）2+36，
∵﹣4＜0，
∴当t＝3时，S有最大值，最大值为36mm2．
21．【解答】解：（1）∵抛物线为，
∴令x＝0，则，，
∴喷水管OA的高度为m；
（2）设喷水管OA的高度要升高h m，
则抛物线的表达式为．
把（5，0）代入得：．
解得：h＝0.75．
∴喷水管OA的高度要升高0.75m．
22．【解答】解：（1）将（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵点A坐标为（﹣3，0），
∴点B坐标为（1，0），
∴AB＝4，
∵三角形ABP的面积为6，
∴S△ABPAB |yP|＝2|yP|＝6，
∴yP＝±3，
把y＝3代入y＝x2+2x﹣3得3＝x2+2x﹣3，
解得x＝﹣1或x＝﹣1，
把y＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得﹣3＝x2+2x﹣3，
解得x＝0或x＝﹣2，
∴点P坐标为（﹣1，3）或（﹣1，3）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
23．【解答】（1）①证明：当a＝1时，代入抛物线并化为顶点式得：
，
∴顶点坐标为，
若顶点在第三象限，则
解得：，
∴该不等式组无解，
∴抛物线的顶点不在第三象限；
②解：∵b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），
∴Δ＝（b﹣2）2﹣b2＞0．
∴b＜1，
∴b＝0，
∴抛物线为y＝x2﹣2x，
当y＝0时，x1＝0，x2＝2．则x2﹣x1＝2；
（2）解：b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n），
∴m＝2﹣m．
解得：m＝1．
∴．
∵b＜0，
∴b＝﹣2．
∴y＝ax2﹣4x+1，
∵直线y＝ax+m与该抛物线有交点B（2，n），将点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线为y＝4x2﹣4x+1．
∴y＝4x2﹣4x+1的图象开口方向向上，对称轴为直线．
①当，即时，t≤x≤t+1，y随x的增大而减小，
∴当x＝t+1时，y取最小值为4t2+4t+1．
②当，即时，，y随x的增大而减小，
，y随x的增大而增大，
∴当时，y取最小值为0．
③当时，t≤x≤t+1，y随x的增大而增大，
∴当x＝t时，y取最小值为4t2﹣4t+1．
综上可知，当时，y取最小值为4t2+4t+1；当时，y取最小值为0；当时，y取最小值为4t2﹣4t+1．
24．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：b＝﹣a+3．
∵该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴，即b＝2a，
∴﹣a+3＝2a，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于点A（1，0），B两点，
当y＝0时，得：x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（﹣3，0），
设直线BC解析式为y＝mx+n，将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝﹣x﹣3，
过N作ND⊥y轴于D，如图1，
设P（x，x2+2x﹣3），则N（x，﹣x﹣3），
∴NP＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴BO＝CO＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴△CDN是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
＝﹣x2﹣5x
，
∴当时，取最大值，最大值为，此时；
（3）存在以点B、P、E、F构成的平行四边形；点E的坐标为，或．理由如下：
∵原抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，对称轴为直线x＝﹣1，
∴F的横坐标为﹣1，
∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴．
∵抛物线沿射线AC的方向平移个单位长度得到抛物线y，
∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y，
∴抛物线的解析式为．
设点．
①当BP为对角线时，
∴，
解得：，
∴，
∴点E的坐标为；
②当BE为对角线时，
∴，
解得：，
∴，
∴点E的坐标为；
③当BF为对角线时，
∴，
解得：，
∴，
∴点E的坐标为．
综上所述，存在以点B、P、E、F构成的平行四边形；点E的坐标为，或．