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专题2.2等腰三角形十大题型（一课一讲）
①等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形（如图所示）
②等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
③等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形
题型一：利用三边关系求等腰三角形的周长
【例题1】已知是等腰三角形，其中两条边长度分别为和，这个三角形周长是（ ）
A． B． C．或 D．以上都有可能
【变式训练1-1】已知a，b是等腰三角形的两条边，且a，b满足等式，则此等腰三角形的周长是（ ）．
A．8或10 B．8 C．10 D．18
【变式训练1-2】(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练1-3】(24-25八上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)等腰三角形的边长分别为a，b，且满足．则的周长为 ．
题型二：根据等腰三角形的特征进行判断
【例题2】的三边，，满足，则是（ ）
A．等边三角形 B．腰与底不等的等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式训练2-1】锐角内有一点C，它关于，的对称点分别为点M，N，那么一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式训练2-2】(24-25七下·河北张家口桥西区·期末)如图所示的图形是由一张纸对折后（两部分完全重合）得到的，展开折纸，可能得到（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．长方形 D．正方形
【变式训练2-3】(24-25八下·甘肃酒泉肃州区·期中)已知a，b，c是的三边，且，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【变式训练2-4】(24-25八上·浙江杭州萧山区·月考)下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ）
A．， B．
C． D．
【变式训练2-5】(24-25七上·山东威海环翠区（五四制）·期末)以下条件，能画出唯一确定的三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
题型三：根据等腰三角形的定义求线段长度
【例题3】已知一个等腰三角形的两条边分别长5厘米，10厘米，那么它的第三条边长 厘米．
【变式训练3-1】(24-25七下·广东清远清城区·期末)在等腰三角形中，若，，则
【变式训练3-2】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·月考)等腰三角形有一边长为，周长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
【变式训练3-3】已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为两部分，已知底边长为，则腰长为 ．
【变式训练3-4】(24-25七下·山东烟台招远·期末)用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ．
【变式训练3-5】(24-25七下·山东济南东南片区·期末)四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为 ．
【变式训练3-6】(24-25八上·广东江门新会区三江镇初级中学·期中)如图，等腰三角形中，，是边的垂直平分线，若的周长是8，，则的长是 ．
题型四：根据等腰三角形的定义求角度
【例题4】等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式训练4-1】(25-26八上·辽宁沈阳第一二六中学·开学考)已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式训练4-2】（等腰三角形）一个等腰三角形中，顶角的度数是底角的2倍，它的底角是 ．
【变式训练4-3】(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图，点为的外心，若，，则的大小为 ．
【变式训练4-4】(24-25八上·辽宁大连瓦房店·期末)如图，在中，，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为 ．
【变式训练4-5】(24-25八上·重庆忠县·期末)如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为 ．
题型五：尺规作图作等腰三角形
【例题5】尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形．
【变式训练5-1】(2025·山东省青岛市·中考真题)已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点．
【变式训练5-2】(24-25八下·陕西西安经开第二中学·月考)如图，中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点M，使得是一个以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式训练5-3】(24-25七下·吉林长春净月慧泽学校·期中)如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
(1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形；
(2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形；
(3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形．
【变式训练5-4】(24-25七下·上海虹口区·期末)（1）如图，在正方形网格中，任意两个正方形的公共顶点称为“格点”．若点A、B、C都是格点，且为等腰三角形，请利用图中的网格画出点C一个可能的位置．
（2）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形（保留作图痕迹，写出结论）
【变式训练5-5】如图，在中，，点在边上，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
题型六：等腰三角形的定义综合证明
【例题6】已知：如图所示和都是等腰直角三角形，，连接，．求证：．
【变式训练6-1】如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
【变式训练6-2】如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证：
(1)；
(2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由．
【变式训练6-3】(24-25七下·山东烟台经开区·期末)如图，在中，，，，垂足为E，且，连接求证：为等腰三角形．
【变式训练6-4】(24-25七下·广东茂名高州十三校联考·月考)如图，为等腰直角三角形，为延长线上一点，点在边上，且，连接、．
(1)求证：；
(2)和有何位置关系？请说明理由．
【变式训练6-5】(24-25七下·陕西西安铁一中学·月考)如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，连接，，猜想与的关系，并证明.
题型七：等腰三角形中需分情况讨论问题
【例题7】一个等腰三角形的一个角是，那么这个三角形的最大的角是 度．
【变式训练7-1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形顶角为 ．
【变式训练7-2】(24-25七下·上海松江区·期末)已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ．
【变式训练7-3】(23-24八下·甘肃兰州中国科学院兰州分院中学·期中)等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ．
【变式训练7-4】(24-25八上·山东临沂罗庄区·期末)已知一个等腰三角形两条边长分别为3和5，则该等腰三角形的周长为 ．
【变式训练7-5】(24-25八上·辽宁鞍山·期末)等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多，则该等腰三角形中最小的内角的度数是 ．
【变式训练7-6】在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15或12两个部分，则该等腰三角形的底边长等于 ．
题型八：等腰三角形中被中线分成两部分问题
【例题8】在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为 ．
【变式训练8-1】(24-25七下·上海浦东模范中学·月考)等腰中，，边上的中线把的周长分成和两部分．求边的长．
【变式训练8-2】(24-25八上·四川德阳罗江区深雪堂初级中学校·期中)如图，在中，，是腰上的中线．若的周长为，将的周长分成差为的两部分，求的边长．
【变式训练8-3】(24-25七下·福建泉州第七中学·月考)已知等腰三角形
(1)若其两边长分别为2和3，求的周长；
(2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求的腰长．
【变式训练8-4】在中，，边上的中线把的周长分为和的两部分，求的长．
题型九：等腰三角形与整式乘法的综合
【例题9】常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但仍然有很多多项式用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式， 后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式． 然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．
过程为：
以上这种分解因式的方法叫分组分解法． 请利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)若△ABC的三边a， b， c满足试判断△ABC的形状．
【变式训练9-1】(23-24八下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期末)我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法：
例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求因式分解：
①分组分解法：；
②拆项法：；
(2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由．
【变式训练9-2】(24-25八上·四川内江第一中学·期中)先阅读下面的内容，再解决问题．
材料一：若，求和的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
材料二：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为，
∴或，
∴原方程的解为或，
请根据上述材料解决下列问题：
(1)若，求和的值．
(2)已知：、、为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
(3)若，，则______，______，______．
【变式训练9-3】(24-25八上·山东日照北京路中学·月考)我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是－8．根据阅读材料用配方法解决下列问题；
(1)分解因式：______．
(2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，并且满足等式，请求出的周长，并判断的形状．
【变式训练9-4】(24-25八下·广东佛山南海区春瀚文学校·月考)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式：
(2)已知的三边长分别为、、，且满足，判断的形状．
【变式训练9-5】(24-25八下·山东济南商河县郑路中学·月考)王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若，求和的值．
解：，
即
，，
，，
为什么要对进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
(1)若，求的值：
(2)已知、、是等腰的三边长，且满足．求此三角形的周长．
题型十：腰三角形中综合压轴
【例题10】（1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；
（2）如图2，和都是等腰三角形，即，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
【变式训练10-1】(24-25七下·广东深圳光明区·期末)等腰三角形是常见的轴对称图形．某学习小组利用两个等腰三角形开展了以下研究性学习：
(1)如图1，和是等腰三角形，，，底边．将点、分别和点、重合，得到如图2的新图形，该图形_________（填“是”或“不是”）轴对称图形．如果是，请画出它的对称轴．
(2)如图3，和是两个全等的等腰三角形，两底边、相交于点，连接，小组成员发现一组新的全等三角形，它们是：__________________，请说明理由．
(3)如图4，和都是等腰直角三角形，，连接、，延长分别交、于点、，求的度数．
【变式训练10-2】(24-25七下·吉林长春绿园区·期末)如图，在中，，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
(1)当点在上运动时，的长为___________（用含的代数式表示）．
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值
(3)当将分成的两部分的面积比为时，求的值
(4)当点与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值．
【变式训练10-2】(24-25七下·四川成都玉林中学·月考)（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：．
（2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明．
（3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰， ，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由．
【变式训练10-3】(24-25七下·江西赣州石城县·月考)综合与实践
【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考：
（）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______．
． ． ． ．
（）求中线长的取值范围．
【解决问题】
（）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长．
【变式训练10-4】(24-25八上·广西崇左宁明县·期末)体验与实践
【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有．
某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以，
而①式化为：可得．
【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，．
(1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值；
(2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.2等腰三角形十大题型（一课一讲）
①等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形（如图所示）
②等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
③等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形
题型一：利用三边关系求等腰三角形的周长
【例题1】已知是等腰三角形，其中两条边长度分别为和，这个三角形周长是（ ）
A． B． C．或 D．以上都有可能
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是检验三边长能否组成三角形．先确定等腰三角形的腰与底的长，分腰长为和腰长为两种情况进行讨论，根据三角形的三边关系验证能否组成三角形，进而求解三角形的周长．
【详解】解：若腰长为，底边长为， 由于，两边之和不大于第三边，则三角形不存在；
若腰长为，底边长为， 则符合三角形的两边之和大于第三边， 所以这个三角形的周长为．
故选：A．
【变式训练1-1】已知a，b是等腰三角形的两条边，且a，b满足等式，则此等腰三角形的周长是（ ）．
A．8或10 B．8 C．10 D．18
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式、绝对值和偶次方的非负性、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式可得，则可得，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系分两种情况，据此求解即可得．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵是等腰三角形的两条边，
∴①当这个等腰三角形的三边长为时，，满足三角形的三边关系，
则这个等腰三角形的周长是；
②当这个等腰三角形的三边长为时，，不满足三角形的三边关系，舍去；
综上，这个等腰三角形的周长是10，
故选：C．
【变式训练1-2】(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键．
分类讨论：①当为底边，为腰时，②当为底边，为腰时，
逐个分析判断能否组成三角形，再求周长，即可解答．
【详解】解：①当为底边，为腰时，
∵，
∴5，10，10能组成三角形，
则它的周长是；
②当为底边，为腰时，
∵，
∴5，5，10不能组成三角形．
综上所述，它的周长是．
故选B．
【变式训练1-3】(24-25八上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)等腰三角形的边长分别为a，b，且满足．则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系，非负数性质，求得的值是解题的关键．
根据完全平方公式因式分解，根据平方的非负性，求得的值，根据等腰的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得，，
∵等腰三角形的边长分别为a，b，
∴当是腰时，,不能构成三角形；
当是腰时，三边长为、、，能构成三角形，
∴的周长为；
综上，的周长为．
故答案为：．
题型二：根据等腰三角形的特征进行判断
【例题2】的三边，，满足，则是（ ）
A．等边三角形 B．腰与底不等的等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定和等腰三角形的判定，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．
方程两边乘2，再移项后分组得出，求出且且，求出，再根据等边三角形的判定得出即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
且且，
即，
所以是等边三角形，
故选：．
【变式训练2-1】锐角内有一点C，它关于，的对称点分别为点M，N，那么一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
根据轴对称的性质可得垂直平分，垂直平分，继而可得,根据等腰三角形的判定即可求解．
【详解】解：∵点C关于，的对称点分别为点M，N，
∴垂直平分，垂直平分，
∴,
∴是等腰三角形
故选：A．
【变式训练2-2】(24-25七下·河北张家口桥西区·期末)如图所示的图形是由一张纸对折后（两部分完全重合）得到的，展开折纸，可能得到（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．长方形 D．正方形
【答案】A
【分析】本题考查了图形的折叠、折叠的性质、等腰三角形，熟练掌握图形的折叠是解题关键．根据图形的折叠画出可能得到的图形，由此即可得．
【详解】解：由题意，可能得到的图形如下：它们均是轴对称图形，折痕是它的对称轴．
则可能得到等腰三角形和四边形，
故选：A．
【变式训练2-3】(24-25八下·甘肃酒泉肃州区·期中)已知a，b，c是的三边，且，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，
将等式进行因式分解，分析得出三角形边的关系，从而判断形状．
【详解】解：∵
∴
∴
∴或，即或．
由于、、是三角形的三边，至少有两边相等，故一定是等腰三角形．
故选：A．
【变式训练2-4】(24-25八上·浙江杭州萧山区·月考)下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据三角形的内角和定理可得的度数，由此即可判断A错误；根据三角形的三边关系即可判断B错误；根据三角形的内角和定理可得，，由此即可判断C正确；根据三角形的内角和定理可得，由此即可判断D错误．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意；
B、由题意，设，则，
∵，
∴不能构成三角形，则此项不符合题意；
C、∵，
∴，，
∴可以判定是等腰三角形，则此项符合题意；
D、∵，，
∴，
∴可以判定是直角三角形，不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意；
故选：C．
【变式训练2-5】(24-25七上·山东威海环翠区（五四制）·期末)以下条件，能画出唯一确定的三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定定理等知识．根据相关知识进行判断即可．
【详解】解：A、∵，则
∴是直角三角形，但不能画出唯一确定的三角形，故选项不符合题意；
B、∵，
∴可设，
∴是等腰三角形，但不能画出唯一确定的三角形，故选项不符合题意；
C、根据，，，已知两角和夹边，能画出唯一确定的三角形，符合题意；
D、根据，，，已知两边和一边的对角，不能画出唯一确定的三角形，不符合题意；
故选：C．
题型三：根据等腰三角形的定义求线段长度
【例题3】已知一个等腰三角形的两条边分别长5厘米，10厘米，那么它的第三条边长 厘米．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况：当5厘米为腰时，当10厘米为腰时，判断能否构成三角形，即可得到结论．
【详解】解：当5厘米为腰时，三角形三边长为：，
，不能构成三角形，舍去，不符合题意；
当10厘米为腰时，三角形三边长为：，
，能构成三角形，
它的第三条边长厘米．
故答案为：．
【变式训练3-1】(24-25七下·广东清远清城区·期末)在等腰三角形中，若，，则
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识，根据等腰三角形的性质，三角形的三边关系分情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当时，
∵，
∴不能组成三角形，
当时，
∵，
∴能组成三角形，
综上所述，，
故答案为：．
【变式训练3-2】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·月考)等腰三角形有一边长为，周长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，将已知边长分为底边和腰两种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：①当等腰三角形底边为时，
则腰长为：，
三边为：，，，等腰三角形成立；
②当等腰三角形腰长为时，
则底边为：，
三边为：，，，由于，不满足三角形的三边关系；
综上，等腰三角形的腰长为．
故答案为：．
【变式训练3-3】已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分为两部分，已知底边长为，则腰长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形定义，三角形三边关系，设，则，又中线将三角形周长分为两部分，则分 和 两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，，，为中线，
设，则，
∵中线将三角形周长分为两部分，
∴ ，解得，
∴，符合题意，
，解得，
∴，
则三边为，，，不能构成三角形，不符合题意，
故答案为：．
【变式训练3-4】(24-25七下·山东烟台招远·期末)用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是要分两种情况讨论．
由三角形三边关系判定等腰三角形的腰长是底边长的倍，设较短的边长是，则较长的边长是，列出一元一次方程，解方程，再由三角形三边关系即可求解．
【详解】解：设较短的边长是，则较长的边长是，
如果等腰三角形的腰长是底边长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系；
如果等腰三角形的底边长是腰长的倍，
，
，
此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形；
综上所述，等腰三角形的底边长是，
故答案为：．
【变式训练3-5】(24-25七下·山东济南东南片区·期末)四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：分两种情况：
①时，
在中，，符合题意；
②时，
在中，，不能构成三角形，不符合题意；
综上所述，线段的长为3，
故答案为：3．
【变式训练3-6】(24-25八上·广东江门新会区三江镇初级中学·期中)如图，等腰三角形中，，是边的垂直平分线，若的周长是8，，则的长是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的定义以及性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，得到，即可得到答案．
【详解】解：等腰三角形中，，是边的垂直平分线，
，
的周长是8，，
，
即，
，
，
故答案为：．
题型四：根据等腰三角形的定义求角度
【例题4】等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要分情况进行分析求解．
【详解】解：等腰三角形的一个角是，
当顶角为时，那么底角为：；
当底角为时，那么另一个底角为，
故选：．
【变式训练4-1】(25-26八上·辽宁沈阳第一二六中学·开学考)已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解．
此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数．
【详解】解：①若是顶角的外角，则顶角；
②若是底角的外角，则底角，那么顶角．
故选：C．
【变式训练4-2】（等腰三角形）一个等腰三角形中，顶角的度数是底角的2倍，它的底角是 ．
【答案】45
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，等腰三角形中，顶角的度数是底角的度数的2倍，则三个角的比为，其中底角度数占三角形内角和的，进而根据按比例分配知识求出底角即可．
【详解】解：由题意可知：这个等腰三角形三个角的度数之比是，
所以底角为．
故答案为：45．
【变式训练4-3】(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图，点为的外心，若，，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【详解】∵点为的外心，，，
∴点P为三边垂直平分线的交点，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-4】(24-25八上·辽宁大连瓦房店·期末)如图，在中，，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为 ．
【答案】
【分析】由作图过程可知，，射线为的平分线，可得，进而可证明，则．由等腰三角形的性质可得，进而得到，再根据可得答案．
【详解】解：由作图过程可知，，射线为的平分线，
．
，
，
．
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练4-5】(24-25八上·重庆忠县·期末)如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，设等腰三角形的底角为，根据题意，腰上的高与另一腰的夹角也为，由于等腰三角形两底角相等，可分为两种情况：①锐角三角形；②钝角三角形讨论即可得到答案．
【详解】解：设等腰三角形的底角为，由题可得：腰上的高与另一腰的夹角也为，
∵等腰三角形两底角相等，可分为两种情况：
①锐角三角形：
由图可知，此时不满足题意，故舍去；
②钝角三角形：
由图可得：，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
题型五：尺规作图作等腰三角形
【例题5】尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了复杂作图，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂线的画法．
首先作射线，截取，再作的中垂线，垂足为O，然后截取，再画腰即可．
【详解】解：如图，即为所求．
【变式训练5-1】(2025·山东省青岛市·中考真题)已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作．
【详解】解：如图，等腰即为所作：
【变式训练5-2】(24-25八下·陕西西安经开第二中学·月考)如图，中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点M，使得是一个以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图——作线段的垂直平分线．熟练掌握线段的垂直平分线的性质，是解题的关键．作线段的垂直平分线交于点D，连接，即可求解．
【详解】解：如图，点M即为所求．（作法不唯一）．
【变式训练5-3】(24-25七下·吉林长春净月慧泽学校·期中)如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
(1)在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形；
(2)在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形；
(3)在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义；由等腰三角形的定义作图即可．
（1）按等腰三角形的定义作图即可；
（2）按等腰三角形的定义作图即可；
（3）按等腰三角形的定义作图即可；
【详解】（1）解：如图，
为所求作；
（2）解：如图，
为所求作；
（3）解：如图，
为所求作．
【变式训练5-4】(24-25七下·上海虹口区·期末)（1）如图，在正方形网格中，任意两个正方形的公共顶点称为“格点”．若点A、B、C都是格点，且为等腰三角形，请利用图中的网格画出点C一个可能的位置．
（2）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形（保留作图痕迹，写出结论）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、全等三角形的判定与性质、轴对称的概念等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据等腰三角形的定义结合网格特点作图即可；
（2）分别以点、为圆心，以、的长为半径画弧，两弧在边的另一侧交于点，连接、，则点即为所求．
【详解】解：（1）如图，点即为所作，
；
（2）如图，分别以点、为圆心，以、的长为半径画弧，两弧在边的另一侧交于点，连接、，则点即为所求，
，
由作图可得：，，
∵，
∴，
由轴对称图形的定义可得，四边形为轴对称图形．
【变式训练5-5】如图，在中，，点在边上，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质，在的上方作，交于点E，则点E即为所求．
【详解】解：如图，在的上方作，交于点E，
∵，
∴，
∴，
则点E即为所求．
题型六：等腰三角形的定义综合证明
【例题6】已知：如图所示和都是等腰直角三角形，，连接，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，由和都是等腰直角三角形可得，，则可证，利用可证得，由此即可得证．
【详解】证明：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中
，
．
【变式训练6-1】如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理．
（1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形；
（2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）如图，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练6-2】如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证：
(1)；
(2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
（1）求出，由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由，，
三角形内角和定理可求解．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
∴，
（2）解：，理由如下：
如图，设与于G，
∵，
，
，，
，
【变式训练6-3】(24-25七下·山东烟台经开区·期末)如图，在中，，，，垂足为E，且，连接求证：为等腰三角形．
【答案】详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，判定，推出，即可证明是等腰三角形．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【变式训练6-4】(24-25七下·广东茂名高州十三校联考·月考)如图，为等腰直角三角形，为延长线上一点，点在边上，且，连接、．
(1)求证：；
(2)和有何位置关系？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
（1）先根据等腰直角三角形的定义可得，，再根据定理即可得证；
（2）延长，与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再证出，则可得，由此即可得．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，延长，与交于点，
由（1）已证：，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练6-5】(24-25七下·陕西西安铁一中学·月考)如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，连接，，猜想与的关系，并证明.
【答案】，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，
先根据等腰直角三角形的性质得，可证明，可得，再根据直角三角形的性质得出答案．
【详解】解：．
证明：如图所示，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
题型七：等腰三角形中需分情况讨论问题
【例题7】一个等腰三角形的一个角是，那么这个三角形的最大的角是 度．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况：当为等腰三角形的顶角时；当为等腰三角形的一个底角时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：
当为等腰三角形的顶角时，
∴等腰三角形的两个底角都，
∴这个三角形的最大的角是；
当为等腰三角形的一个底角时，则另一个底角也是，
∴等腰三角形的顶角，
∴这个三角形的最大的角是；
综上所述：这个三角形的最大的角是或，
故答案为：或．
【变式训练7-1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形顶角为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，
∴，
若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，
综上，等腰三角形的顶角的度数为或．
故答案为：或．
【变式训练7-2】(24-25七下·上海松江区·期末)已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图①，当为锐角三角形时，；
如图②，当钝角三角形时，，
所以．
综上，的度数为或．
故答案为：或．
【变式训练7-3】(23-24八下·甘肃兰州中国科学院兰州分院中学·期中)等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．
【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是，
①是顶角，是底角时，，
解得，
所以，底角为；
②是底角，是顶角时，，
解得，
所以，底角是；
③与都是底角时，，
解得，
所以，底角是；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或．
故答案为：或或．
【变式训练7-4】(24-25八上·山东临沂罗庄区·期末)已知一个等腰三角形两条边长分别为3和5，则该等腰三角形的周长为 ．
【答案】11 或 13
【分析】本题考查等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系．此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生熟练掌握．
因为给的两个边长没说哪个是腰，哪个是底，所以分两种情况讨论求得结果．
【详解】解：①当腰是3，底边是5时，能构成三角形，则其周长；
②当底边是3，腰长是5时，能构成三角形，则其周长．
故答案为：11或13．
【变式训练7-5】(24-25八上·辽宁鞍山·期末)等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多，则该等腰三角形中最小的内角的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论即可得出结论．
【详解】解：在中，设，分情况讨论：
当为底角时，，解得，则；所以，三个分别为；．
当为底角时，，解得，所以，三个分别为；．
当时，，此种情况不存在，
所以，该等腰三角形中最小的内角的度数是或．
故答案为：或．
【变式训练7-6】在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15或12两个部分，则该等腰三角形的底边长等于 ．
【答案】7或11
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确给出哪一部分长一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
【详解】解：根据题意，
①当15是腰长与腰长一半时，，解得，
所以底边长；
②当12是腰长与腰长一半时，，解得，
所以底边长．
所以底边长等于7或11．
故答案为：7或11．
题型八：等腰三角形中被中线分成两部分问题
【例题8】在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线性质，三角形三边的关系，根据中线的性质结合题意，可设，则，分两种情况讨论，当时，当时，解出的值即可求解，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵腰上的中线，可设，则，
由题意得：当时，即，
解得，
∴，
∴，，
∵，
∴能构成三角形，
当时，即，
解得，
∴，
∴，，
∵，
∴能构成三角形，
∴这个三角形的底边长为或，
故答案为：或．
【变式训练8-1】(24-25七下·上海浦东模范中学·月考)等腰中，，边上的中线把的周长分成和两部分．求边的长．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系定理，合理进行分类讨论并检验结果是否符合三角形三边关系定理是解题关键．分为两类：或，求出三边后验证是否符合三角形三边关系定理即可．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴设，则
∵边上的中线把的周长分成和两部分，
或，
当AB+AD=15cm时，
，
，
，，
此时，
,
检验满足三角形两边之和大于第三边，
；
当时，
，
，，
此时，
,
，所以舍去；
综上所述，．
【变式训练8-2】(24-25八上·四川德阳罗江区深雪堂初级中学校·期中)如图，在中，，是腰上的中线．若的周长为，将的周长分成差为的两部分，求的边长．
【答案】或．
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义、三角形的中线、三角形的周长、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
根据三角形中线的定义可得：将分成两个三角形的周长差为，再分或两种情况，分别根据三角形的周长列等式求解即可．
【详解】解：∵是腰上的中线．
．
，
∴的周长与的周长之差为．
∵的周长为，
∴，即①，
∵将的周长分成差为的两部分，
∴当②时，
①②联立解得：，
由，则能组成三角形，
∴的边长；
当③时，
①③联立解得：，
∴的边长．
由，则能组成三角形，
∴的边长．
综上，的三边分别为或．
【变式训练8-3】(24-25七下·福建泉州第七中学·月考)已知等腰三角形
(1)若其两边长分别为2和3，求的周长；
(2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求的腰长．
【答案】(1)的周长为8或7
(2)这个等腰三角形的腰长为12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线.
（1）分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，先利用三角形三边关系验证是否成立，再求周长即可．
（2）已知给出的9和18两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时，
∵，
∴该等腰三角形成立，
∴此时这个等腰三角形的周长为；
当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，
∵，
∴该等腰三角形成立，
∴此时这个等腰三角形的周长为．
综上可知这个等腰三角形的周长为7或8．
（2）设三角形的腰为x，如图：
是等腰三角形，，是边上的中线，
∴
则有、或、，
分下面两种情况：
当，即，
∴，
此时，即，
∴三边长分别为6，6，15，
∵，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
当，即，
∴，
此时，即，
∴三边长分别为12，12，3．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为12．
【变式训练8-4】在中，，边上的中线把的周长分为和的两部分，求的长．
【答案】的长为或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的中线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由三角形的中线得到，分两种情况讨论，①当时；②当时，进行求解即可．
【详解】解：因为为边上的中线，所以，
又因为，
所以．
分两种情况：①当时，，
解得，
所以．
因为，
所以；
②当时，，
解得，
所以．
因为，
所以．
所以的长为或．
题型九：等腰三角形与整式乘法的综合
【例题9】常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但仍然有很多多项式用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式， 后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式． 然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．
过程为：
以上这种分解因式的方法叫分组分解法． 请利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：
(2)若△ABC的三边a， b， c满足试判断△ABC的形状．
【答案】(1)；
(2)是等腰三角形．
【分析】本题主要考查了分组分解法分解因式以及利用因式分解判断三角形的形状．熟练掌握分组分解法的步骤和完全平方公式、提取公因式法等知识，通过合理分组进行因式分解，并根据分解结果判断三角形的形状是解题的关键．
（1）前三项符合完全平方公式，后两项可提取公因式，然后前后两部分分别分解因式后会产生公因式，再提取公因式完成整个式子的分解因式．
（2）对进行分组分解，通过提取公因式得到关于、、的关系，从而判断的形状．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
∴或
即或
∴是等腰三角形．
【变式训练9-1】(23-24八下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期末)我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法：
例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求因式分解：
①分组分解法：；
②拆项法：；
(2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)为等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了分组分解法分解因式及其应用，等腰三角形的定义，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键．
（1）①将变形为，再由平方差公式因式分解；②将变形为，再由完全平方公式和平方差公式分解；
（2）将利用分组分解法因式分解为，即可求解．
【详解】（1）解：①；
②
（2）解：为等腰三角形，理由如下：
，
，
∴或（舍），
∴，
∴为等腰三角形．
【变式训练9-2】(24-25八上·四川内江第一中学·期中)先阅读下面的内容，再解决问题．
材料一：若，求和的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
材料二：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为，
∴或，
∴原方程的解为或，
请根据上述材料解决下列问题：
(1)若，求和的值．
(2)已知：、、为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
(3)若，，则______，______，______．
【答案】(1)；
(2)为等腰三角形，理由见解析
(3)，，
【分析】本题考查了因式分解得应用，等腰三角形的定义，利用完全平方公式与提公因式法因式分解，熟练运用因式分解是解题的关键．
（1）利用完全平方公式因式分解得到，得到，，进而求解即可；
（2）利用分组分解法因式分解得到，得到，进而求解即可；
（3）利用完全平方公式把变形为，将变形为，再代入计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：；；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵、、为的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
把代入可得：，解得，
∴，
故答案为：；；．
【变式训练9-3】(24-25八上·山东日照北京路中学·月考)我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是－8．根据阅读材料用配方法解决下列问题；
(1)分解因式：______．
(2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，并且满足等式，请求出的周长，并判断的形状．
【答案】(1)
(2)当时，最小值是5
(3)周长为5，它是等腰三角形，
【分析】（1）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方差公式分解因式即可得到答案；
（2）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性即可求出最小值；
（3）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，根据三角形的三边关系求出c的值，即可判定的形状．
【详解】（1）解：由材料中的解法可知，
，
故答案为：
（2）解：由材料中的解法可知，
，
，
当时，有最小值，最小值是5；
（3）解：∵，
∴
即，
，
，
∵根据三角形三边关系有，
∴，
∵c为正整数，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式，平方差公式，平方非负性的应用，，三角形的三边关系等知识，读懂题意，理解配方法是解决问题的关键．
【变式训练9-4】(24-25八下·广东佛山南海区春瀚文学校·月考)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式：
(2)已知的三边长分别为、、，且满足，判断的形状．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形
【分析】本题主要考查了分组分解法分解因式，提公因式，完全平方公式，三角形的三边关系，等腰三角形等知识．
（1）按照分组分解法分解因式即可．
（2）按照分组分解法分解因式可得出，得到或（不符合题意，舍去），即可解答．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：由三角形的三边关系，得，
∵，
∴，
即，
∴或，
即或（不符合题意，舍去），
∴是等腰三角形．
【变式训练9-5】(24-25八下·山东济南商河县郑路中学·月考)王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若，求和的值．
解：，
即
，，
，，
为什么要对进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
(1)若，求的值：
(2)已知、、是等腰的三边长，且满足．求此三角形的周长．
【答案】(1)
(2)三角形的周长为或
【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，再结合非负数的性质计算即可得解；
（2）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，再结合非负数的性质计算得出，，再由等腰三角形的定义，分两种情况，分别计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵、、是等腰的三边长，
∴当为腰长时，三边长为，，，能组成三角形，的周长；
当为腰长时，三边长为，，，能组成三角形，的周长；
综上所述，三角形的周长为或．
题型十：腰三角形中综合压轴
【例题10】（1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；
（2）如图2，和都是等腰三角形，即，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）先得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先得出，再证明，得到，，由，得到，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
∵，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【变式训练10-1】(24-25七下·广东深圳光明区·期末)等腰三角形是常见的轴对称图形．某学习小组利用两个等腰三角形开展了以下研究性学习：
(1)如图1，和是等腰三角形，，，底边．将点、分别和点、重合，得到如图2的新图形，该图形_________（填“是”或“不是”）轴对称图形．如果是，请画出它的对称轴．
(2)如图3，和是两个全等的等腰三角形，两底边、相交于点，连接，小组成员发现一组新的全等三角形，它们是：__________________，请说明理由．
(3)如图4，和都是等腰直角三角形，，连接、，延长分别交、于点、，求的度数．
【答案】(1)是
(2)；
(3)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，画对称轴，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；
（1）根据题意画出直线，即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质，结合题意根据证明，即可求解．
（3）同（2）的方法，先证明得到，进而根据三角形的内角和定理，即可得出
【详解】（1）该图形是轴对称图形，对称轴为直线，如图，
（2）如图，与是全等三角形，
因为和是两个全等的等腰三角形，
所以，．
所以，即．
在和中，
因为，，，
所以．
故答案为： ；．
（3）方法一：因为和都是等腰直角三角形
所以，．
所以，即．
在和中，
因为，，，所以．
所以
因为，
所以．
方法二：因为和都是等腰直角三角形
所以，．
所以，即．
在和中，
因为，，，
所以．
所以
所以．
所以．
【变式训练10-2】(24-25七下·吉林长春绿园区·期末)如图，在中，，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
(1)当点在上运动时，的长为___________（用含的代数式表示）．
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值
(3)当将分成的两部分的面积比为时，求的值
(4)当点与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)的值为或2.4或3.6或5.6．
【分析】题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
（1）观察图形用即可列式来求解；
（2）当时，表示出，即可列式求解；
（3）当将分成的两部分的面积比为，则点P在上，分两种情况：当时；当时；分别求解即可；
（4）先求出周长的一半，再利用当点在上时，或，此时；当点在上时，或，此时；当点在上时，或，此时，分别求解即可．
【详解】（1）解：点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒，，
；
故答案为：；
（2）解：是以为腰的等腰三角形时，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：∵当将分成的两部分的面积比为，
∴点P在上，
分两种情况：当时；
∵，
∴
∵
∴
∴
解得：；
当时；
∴
∵
∴
∴
解得：；
综上，当将分成的两部分的面积比为时，或．
（4）解：，，，，
的周长为，
点与顶点连接的线段将的周长分为的两部分时，每一部分的周长为或，
当点在上时，或，此时，
或，
或（舍去）；
当点在上时，或，此时，
或，
或；
当点在上时，或，此时，
或，
（舍去）或；
综上所述，的值为或2.4或3.6或5.6．
【变式训练10-2】(24-25七下·四川成都玉林中学·月考)（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：．
（2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明．
（3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰， ，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定；
（2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定得，，由此可得出、、的数量关系；
（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定，则，，同理可证明得，，再证明得，再根据可得结论．
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
【变式训练10-3】(24-25七下·江西赣州石城县·月考)综合与实践
【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考：
（）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______．
． ． ． ．
（）求中线长的取值范围．
【解决问题】
（）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长．
【答案】（）；（）；（）
【分析】（）根据全等三角形的判定即可求解；
（）由全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系解答即可求解；
（）延长至，使，连接，可证，可得，，再证明，得到，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：（）为边上的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的理由是，
故选：；
（）∵，
∴，
∵，
∴，
即；
（）延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
【变式训练10-4】(24-25八上·广西崇左宁明县·期末)体验与实践
【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有．
某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以，
而①式化为：可得．
【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，．
(1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值；
(2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？
【答案】(1)见解析
(2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键．
（1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可；
（2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可．
【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D，
则为三角形的高，
，
①，
而，
①式化为：，
可得．
因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值．
（2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D，
则为三角形的高，
，
，
而，所以，
可得．
同理，若P在的延长线上，则有．
