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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题2.2等腰三角形十大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．若等腰三角形的一边长是10，另一边长是8，则它的周长是（ ）
A．28 B．26 C．18 D．26或28
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得等腰三角形边长可以是10，10，8或10，8，8，
两种情况都符合三角形三边关系，
所以周长是28或26．
故选：D．
2．有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形，三角形的三边关系，
根据三角形的三边关系判断能否成为三角形，再根据等腰三角形的定义解答即可.
【详解】解：因为，不能组成三角形，所以A不符合题意；
因为，不能组成三角形，所以B不符合题意；
因为，不能组成三角形，所以C不符合题意；
因为，能组成三角形，且两边相等，所以D符合题意.
故选：D.
3．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是等腰三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均不对 D．甲、乙均对
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的分类，等腰三角形的定义．
根据等边三角形或等腰直角三角形是特殊的等腰三角形作答即可．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
∴P是等腰三角形；Q是等边三角形或等腰直角三角形，
∴只有甲说法正确，
故选：A．
4．如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系；根据题意可分当边长为腰长和当边长为腰长时，然后进行求解即可．
【详解】解：由题意可分：当边长为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系，
所以它的周长为；
当边长为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系，
所以它的周长为；
故选C．
5．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，进而可得的周长．
【详解】解：，
，
平分，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
所以，的周长为．
故选：D．
6．如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．5或7
【答案】A
【分析】本题考查三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键．
先求出，再根据为等腰三角形，求出的长为5或7，继而判断是否符合题意,即可解答．
【详解】解：如图，在中，根据三角形的三边关系，得
，
即
∵为等腰三角形，
∴当时，,且，符合题意；
当 时，不符合题意，舍去，
∴．
故选A．
7．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比．
【详解】解：当为腰时，则底边；
此时，优美比；
当为底边时，则腰为；
此时，优美比；
故选：C．
8．如图，中，，D是边上一点（不与A，C重合），则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系定理，结合图形解答即可．
本题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：A、由三角形三边关系可得：，，故，
正确；
B、由三角形三边关系可得：，正确；
C、根据题意，得，，可得：，即，正确；
D、无法得出，错误；
故选：D．
9．若是的三边，满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键．由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵为三边，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
故选：A．
10．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ）
A．6 B．14 C．14或6 D．12或8
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设，，是边上的中线，
，
分两种情况：
当的周长比的周长大6时，
，
解得：，
的三边长分别为12，12，6，
，
能组成三角形；
当的周长比的周长大6时，
即，
解得：，
的三边长分别为8，8，14；
，
能组成三角形；
综上所述：的长为6或14．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若实数、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质．
根据绝对值的非负性求出的值，然后根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义进行求解即可．
【详解】解：∵实数x，y满足，
∴，
∵3、3、6不能组成三角形，
∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6，
∴等腰三角形周长为．
故答案为：15．
12．周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有 个．
【答案】3
【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边长关系，二元一次方程的应用；
设腰长为x，底边长为y，列出二元一次方程，结合腰长为x，底边长为y都是整数，且任意两边之和大于第三边，即可求解．
【详解】解：设腰长为x，底边长为y，
则，即，
∵腰长为x，底边长为y都是整数，且任意两边之和大于第三边，
∴，
∴，
∴，或，或，
∴周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有3个．
故答案为：3．
13．如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，C为线段上一点，当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示数 ．
【答案】2或3或4
【分析】本题考查等腰三角形的定义，两点间的距离，先求出的长，分3种情况进行讨论求解即可．
【详解】∵数轴上A点表示数10，B点表示数6，
∴，，
当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，分3种情况：
①时，此时，符合题意，则：点C表示数4；
②时，此时，符合题意，则：点C表示数2；
③时，符合题意，则：点C表示数3；
综上：点C表示数2或3或4；
故答案为：2或3或4．
14．等腰三角形其中两个角的比是，这个三角形的顶角可能是 度或 度．
【答案】 20 120
【分析】本题考查了等腰三角形， 分为当顶角较小时和当顶角较大时两种情况，然后根据等腰三角形的性质两底角相等求解．
【详解】解：当顶角较小时，顶角度数是：（度）
当顶角较大时，顶角度数为：（度）
答：这个等腰三角形的顶角是20度或120度．
故答案为：20，120．
15．一个等腰三角形的周长是48厘米．其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是( )厘米．
【答案】
【分析】本题考查了比的应用、设三边长度分别为厘米、厘米、厘米，再根据等腰三角形的周长建立方程求出的值，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意，两条边的长度比是，只可能三边之比为，不存在
设这个等腰三角形的三边长度分别为厘米、厘米、厘米，
则，
解得，
则这个等腰三角形的底边长是（厘米），
故答案为：．
16．已知等腰三角形，腰长为，底边长为，若该三角形的周长为，则底边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平方差公式，一元一次方程的求解．熟练掌握等腰三角形的性质，平方差公式，一元一次方程的求解是解题的关键．
根据等腰三角形的周长公式可以列出方程，然后求解出的值，进而求得底边的长度．
【详解】解：等腰三角形的周长，
化简方程得：
方程两边同时乘以得：，
解得：．
当时，，腰长为，底边长为
，能构成三角形．
故答案为：．
17．如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ．
【答案】13
【分析】本题考查了图形的平移，等腰三角形的性质，由平移得到可得是解决本题的关键．
由图形平移，即沿着的方向平移得到线段，可得到两个信息，，且，再结合等腰三角形的腰长相等计算周长即可．
【详解】解：因为线段沿着的方向平移得到线段，
又，
所以，且，
又因为，
所以，
又因为是以为底边的等腰三角形，
所以，
则的周长为．
故答案为：13 ．
18．在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，以为顶点的等腰三角形的底角的度数为 °．（用含n的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质．
根据题意得出，的度数，找出规律是解答此题的关键．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个等腰三角形的底角的度数，进而求出以为顶点的等腰三角形的底角的度数．
【详解】解：∵在中，
∴第个等腰三角形的底角：，
∵是的外角，
∴第个等腰三角形的底角：；
∵，是的外角，
∴第个等腰三角形的底角：，
同理可得，第个等腰三角形的底角：，
∴第个等腰三角形的底角的度数为：，
∴以为顶点的等腰三角形的底角的度数为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在△ABC中，，，延长至点D，连接，以为直角边作等腰三角形，其中，连接．
(1)若，求的长；
(2)与有何位置关系？请说明理由．
【答案】(1)
(2)与垂直，理由见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键．
（1）利用等腰三角形证明角度相等，用证明，得出即可；
（2）利用三角形全等的性质得到，再通过互余证明垂直即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴；
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：与垂直．
理由如下：
∵，
∴，
而，
∴，
∴．
20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，边上找点，使；
(2)在图②中，边上找点，使；
(3)在（2）的前提下，作点关于的对称点．
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析；
(3)画图见解析．
【分析】本题考查了作图——轴对称变换，作垂线，解题的关键是理解题意，正确作出图形.
（）如图中，取格点，连接交于点，线段即为所求；
（）如图中，构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求；
（）如图中，取格点，连接，，交于点，连接，延长，交于点，点即为所求.
【详解】（1）解：如图中，线段即为所求；
（2）解：如图，点即为所求；
（3）解：如图，点即为所求．
21．【代数推理】设的三边长是、、，周长是，其中，．
(1)直接写出及的取值范围；
(2)当为奇数时，求的最大值和最小值．
(3)若小于的偶数，判断的形状．
【答案】(1)，；
(2)最大为，最小为
(3)是等腰三角形，理由见解析过程．
【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案；
（2）根据奇数的定义和的取值范围，可求解；
（3）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可．
【详解】（1）解：因为，，
所以．
故周长的范围为．
（2），，为奇数，
，
最大为，最小为．
（3）周长为小于的偶数，
或．
当为时，；
当为时，．
当时，，为等腰三角形；
当时，，为等腰三角形．
综上所述，是等腰三角形．
22．“提公因式法”是分解因式的一种常用方法，例如：①，②，为了拓展同学们的思维，老师要求对多项式：进行分解因式．爱动脑筋的小明思考了一会儿发现，虽然这个多项式的四项没有公因式，但对这个多项式先进行简单的分组后，问题就可以得到解决．
即：
请仿照以上方法，完成下列任务：
(1)分解因式：；
(2)若的三边分别为：，，，且，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)是等腰三角形，理由见解析．
【分析】本题主要考查了分解因式，等腰三角形的定义，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）把原式分组得到，再利用提公因式（数）法把两项都分解因式，进而提取公因式分解因式即可；
（2）把已给条件式分组得到，再利用提公因式法和平方差公式分解因式得到，进而得到，据此可得结论．
【详解】（1）解：
；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
∵，
∴，
，
即：，
是等腰三角形．
23．问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．
探究一：
（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．
∴ 当时，．
（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
综上所述，可得表①．
表①∶
3 4 5 6
1 0 1 1
探究二：
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中)
表②∶
7 8 9 10
2
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究……
问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中)
表③∶
问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形．
【答案】探究二（2）1，2，2；问题解决：，，，；问题应用：
【分析】探究二（2）仿照探究一中的方法，将木棒分成相等的两部分和另一部分，利用三角形成立的条件进行判断即可；
问题解决：从两个表格中总结出规律填表即可
问题应用：用2025和4的倍数关系，结合问题解决中的规律即可解答．
【详解】解：探究二（2）①用8根相同的木棒搭一个三角形，
即分成2根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
此时，能搭成1种等腰三角形，
当时，．
②用9根相同的木棒搭一个三角形，
即分成1根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
即分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
此时，能搭成2种等腰三角形，
当时，．
③用10根相同的木棒搭一个三角形，
即分成2根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
即分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
此时，能搭成2种等腰三角形，
当时，．
填表如下：
7 8 9 10
2 1 2 2
问题解决：由规律可知，
用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形，
用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、6、……根木棒，能搭成种等腰三角形，
用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形，
用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形，
填表如下：
问题应用：，
用2025根相同的木棒搭一个三角形，能搭成506种不同的等腰三角形．
【点睛】本题考查的是基本作图及等腰三角形，解题的关键是掌握等腰三角形的性质及三角形成立的条件．
24．如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边CD上任意一点（点不与点、重合），连接PQ、QE．
(1)请直接用含，的代数式表示线段QD的长度；
(2)当时.
①若点是CD的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值；
②若与全等，求DE的长；
(3)若在边AD上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点，，），请直接写出的取值范围．
【答案】(1)线段的长度为
(2)①；②或
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论．
（1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题；
（2）当时．由题意得：，
①若点是的中点，则，根据题意只有，解答即可．
②由题意得：，当时：当时，分别建立方程，解方程即可求解；
（3）由，知，故，得，可得，即可解得答案．
【详解】（1）解：根据题意，，
，
∴线段的长度为；
（2）解：当时．
由题意得：，
①若点是的中点，则，
当时，，解得：．
②当时，，
解得：，
此时；
当时：，
解得：，
此时；
综上所述：或时，与全等；
（3）解：，
，
由知：，
解得：，
，
，
即．
，
，
，
即；
由①②解得：，
∴满足条件的取值范围为．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题2.2等腰三角形十大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．若等腰三角形的一边长是10，另一边长是8，则它的周长是（ ）
A．28 B．26 C．18 D．26或28
2．有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是等腰三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均不对 D．甲、乙均对
4．如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
5．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．5或7
7．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图，中，，D是边上一点（不与A，C重合），则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若是的三边，满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
10．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ）
A．6 B．14 C．14或6 D．12或8
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若实数、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
12．周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有 个．
13．如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，C为线段上一点，当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示数 ．
14．等腰三角形其中两个角的比是，这个三角形的顶角可能是 度或 度．
15．一个等腰三角形的周长是48厘米．其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是( )厘米．
16．已知等腰三角形，腰长为，底边长为，若该三角形的周长为，则底边长为 ．
17．如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ．
18．在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，以为顶点的等腰三角形的底角的度数为 °．（用含n的式子表示）
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在△ABC中，，，延长至点D，连接，以为直角边作等腰三角形，其中，连接．
(1)若，求的长；
(2)与有何位置关系？请说明理由．
20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，边上找点，使；
(2)在图②中，边上找点，使；
(3)在（2）的前提下，作点关于的对称点．
21．【代数推理】设的三边长是、、，周长是，其中，．
(1)直接写出及的取值范围；
(2)当为奇数时，求的最大值和最小值．
(3)若小于的偶数，判断的形状．
22．“提公因式法”是分解因式的一种常用方法，例如：①，②，为了拓展同学们的思维，老师要求对多项式：进行分解因式．爱动脑筋的小明思考了一会儿发现，虽然这个多项式的四项没有公因式，但对这个多项式先进行简单的分组后，问题就可以得到解决．
即：
请仿照以上方法，完成下列任务：
(1)分解因式：；
(2)若的三边分别为：，，，且，请判断的形状，并说明理由．
23．问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．
探究一：
（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．
∴ 当时，．
（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
综上所述，可得表①．
表①∶
3 4 5 6
1 0 1 1
探究二：
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
∴ 当时，．
（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中)
表②∶
7 8 9 10
2
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究……
问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中)
表③∶
问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形．
24．如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边CD上任意一点（点不与点、重合），连接PQ、QE．
(1)请直接用含，的代数式表示线段QD的长度；
(2)当时.
①若点是CD的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值；
②若与全等，求DE的长；
(3)若在边AD上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点，，），请直接写出的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
