4.7图形的位似
【知识点1】几何变换的类型 1
【知识点2】位似变换 1
【知识点3】作图-位似变换 2
【题型1】坐标系中的位似变换 2
【题型2】坐标系中的位似作图 5
【题型3】位似图形的概念 8
【题型4】位似图形的性质 11
【知识点1】几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．
（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．
（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．
（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．
【知识点2】位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【知识点3】作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【题型1】坐标系中的位似变换
【典型例题】如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′，B′，A′，B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A. （，n） B. （m，n） C. （，） D. （m，）
【答案】C
【解析】∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，点A、B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为（4，6），B点坐标为（6，2），A′点坐标为（2，3），B′点坐标为（3，1），
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（，）．
故选：C．
【举一反三1】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣2，4），C（﹣4，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′．若点C的对应点C′的坐标为（2，﹣2），则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A. （2，﹣3） B. （2，﹣1） C. （3，﹣2） D. （1，﹣2）
【答案】B
【解析】∵△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣2，4），C（﹣4，4），以原点O为位似中心，
将△ABC缩小后得到△A′B′C′，点C的对应点C′的坐标为（2，﹣2），
∴点A的对应点A′的坐标为（2，﹣1）．
故选：B．
【举一反三2】如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A. （2，﹣1）或（﹣2，1）
B. （8，﹣4）或（﹣8，﹣4）
C. （2，﹣1）
D. （8，﹣4）
【答案】A
【解析】以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，
则点E的对应点E′的坐标为（﹣4×，2×）或[﹣4×（﹣），2×（﹣）]，即（2，﹣1）或（﹣2，1）.
故选：A．
【举一反三3】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形的边长缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是 ．
【答案】（1，2）
【解析】∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，
∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．
【举一反三4】如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是 ．
【答案】（﹣2，）
【解析】由题意得△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，
又∵B（3，﹣2）∴B′的坐标是[3×，﹣2×]，即B′的坐标是（﹣2，）．
【举一反三5】如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…，AnAn+1BnCn按如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为（1，0）．
（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标；
（2）求正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．
【答案】解：（1）如图所示，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标为（0，0）．
（2）连接OB3．
∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为（1，0），
∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2，则A3O＝A3C3＝4，
∴OA4＝A4C4＝8，则OA5＝16，
故A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8），
所以正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标为A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．
【题型2】坐标系中的位似作图
【典型例题】在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，3），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于2：1，则点A′的坐标 ．
【答案】（1，），（﹣1，﹣）
【解析】在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，3），
∴则点A′的坐标为（1，），
不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，3），
∴则点A′的坐标为（﹣1，﹣）．
【举一反三1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ．
【答案】（4，2）或（﹣4，﹣2）
【解析】位似图形如图所示，B1（4，2），B2（﹣4，﹣2）．
【举一反三2】如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．
（1）在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案；
（2）求放大后金鱼的面积．
【答案】解：（1）如图所示.
S金鱼＝×4×（6+2）＝16．
【举一反三3】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【答案】解：（1）所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，再向下平移3个单位，可知M1的坐标（a﹣7，b﹣3）.
（2）所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣1，﹣4）．
【题型3】位似图形的概念
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A. 分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形
B. 两位似图形的面积之比等于位似比
C. 位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D. 位似图形的周长之比等于位似比的平方
【答案】C
【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大或缩小后的图形，∴A错误；
∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C．
故选：C．
【举一反三1】下列说法中正确的是（ ）
A. 位似图形可以通过平移而相互得到
B. 位似图形的对应边平行且相等
C. 位似图形的位似中心不只有一个
D. 位似中心到对应点的距离之比都相等
【答案】D
【解析】∵位似是相似的特殊形式，∴位似图形的对应边平行但不一定相等，
位似图形的位似中心只有一个，平移图形是全等图形，也没有位似中心．
位似中心到对应点的距离之比都相等，∴正确答案为D．
故选：D．
【举一反三2】对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（ ）
A. 平移 B. 位似 C. 轴对称 D. 先平移再作轴对称
【答案】B
【解析】A．平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”；
B．位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换；
C．轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”；
D．先平移再作轴对称，前、后的图形全等，则先平移再作轴对称是“等距变换”.
故选：B．
【举一反三3】已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是 图形，其中 点是位似中心．
【答案】位似 O
【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，
∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．
【举一反三4】请指出图中的位似图形，并说明理由．
【答案】解：图①两个图形不是相似图形，不是位似图形；
图②对应边不互相平行，不是位似图形；
图③对应边不互相平行，不是位似图形；
图④是位似图形，
∵两个图形是相似图形，对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，∴是位似图形．
【举一反三5】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么 ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？
【答案】解：是，理由：
∵E、F分别是OA、OB的中点，∴FE＝AB，FE∥AB，G、H分别是OC、OD的中点，
∴HG＝CD，HG∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴EF＝HG，FE∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵FE∥AB，∴∠OEF＝∠OAB，
同理∠OEH＝∠OAD，∴∠HEF＝∠DAB，
同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA，＝＝＝＝，
∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD，
又∵各组对边对应点得连线相交于点O，∴平行四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，O为位似中心．
【题型4】位似图形的性质
【典型例题】下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A. 点E B. 点F C. 点G D. 点D
【答案】D
【解析】四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D．
故选：D．
【举一反三1】△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′BC′的位似比是2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ）
A. 2：3 B. ： C. 4：9 D. 8：27
【答案】C
【解析】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′BC′的位似比是2：3，
∴△ABC与△A′BC′的相似比是2：3，∴这两个相似三角形面积的比为4：9．
故选：C．
【举一反三2】如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A. 1：6 B. 1：5 C. 1：4 D. 1：2
【答案】C
【解析】∵△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
∴两图形的位似之比为1：2，则△DEF与△ABC的面积比是1：4．
故选：C．
【举一反三3】定义：如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后．使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，△A1BC1是△ABC以点B为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点B为转似中心的另一个转似三角形△A2BC2（点A2、C2分别与A、C对应）的边A2C2的长为 ．
【答案】
【解析】根据题意作图如下，
∵△ABC∽△A2BC2，∴，∴，∴．
【举一反三4】如图，△ABC与△DEF是位似图形，点B的坐标为（3，0），则其位似中心的坐标为 ．
【答案】（1，0）
【解析】连接各对应点A，D，与C，F，交点Q即是位似中心的坐标，∴其位似中心的坐标为（1，0）．
【举一反三5】如图所示，由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…，正△AnBnCn组成的相似图形，其中第一个△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点，…，An是OAn﹣1的中点，顶点B2，B3，…，Bn．C2，C3，…，Cn都在B1C1边上．
（1）试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；
（2）求出第n个三角形△AnBnCn（n≥2）的周长．
【答案】解：（1）∵△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，
∴正△A2B2C2的边长为，
正△A3B3C3的边长为（）2，
正△A10B10C10和的边长为（）9，正△A7B7C7的边长为（）6，
∴正△A10B10C10和正△A7B7C7的相似比＝＝，它们的位似中心为点O.
（2）∵第n个三角形△AnBnCn（n≥2）的边长为（）n﹣1，
∴第n个三角形△AnBnCn（n≥2）的周长为．4.7图形的位似
【知识点1】几何变换的类型 1
【知识点2】位似变换 1
【知识点3】作图-位似变换 2
【题型1】坐标系中的位似变换 2
【题型2】坐标系中的位似作图 4
【题型3】位似图形的概念 5
【题型4】位似图形的性质 7
【知识点1】几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．
（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．
（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．
（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．
【知识点2】位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【知识点3】作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【题型1】坐标系中的位似变换
【典型例题】如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′，B′，A′，B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A. （，n） B. （m，n） C. （，） D. （m，）
【举一反三1】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，2），B（﹣2，4），C（﹣4，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′．若点C的对应点C′的坐标为（2，﹣2），则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A. （2，﹣3） B. （2，﹣1） C. （3，﹣2） D. （1，﹣2）
【举一反三2】如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A. （2，﹣1）或（﹣2，1）
B. （8，﹣4）或（﹣8，﹣4）
C. （2，﹣1）
D. （8，﹣4）
【举一反三3】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形的边长缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是 ．
【举一反三4】如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是 ．
【举一反三5】如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…，AnAn+1BnCn按如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为（1，0）．
（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标；
（2）求正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．
【题型2】坐标系中的位似作图
【典型例题】在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，3），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于2：1，则点A′的坐标 ．
【举一反三1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ．
【举一反三2】如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．
（1）在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案；
（2）求放大后金鱼的面积．
【举一反三3】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【题型3】位似图形的概念
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A. 分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形
B. 两位似图形的面积之比等于位似比
C. 位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D. 位似图形的周长之比等于位似比的平方
【举一反三1】下列说法中正确的是（ ）
A. 位似图形可以通过平移而相互得到
B. 位似图形的对应边平行且相等
C. 位似图形的位似中心不只有一个
D. 位似中心到对应点的距离之比都相等
【举一反三2】对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（ ）
A. 平移 B. 位似 C. 轴对称 D. 先平移再作轴对称
【举一反三3】已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是 图形，其中 点是位似中心．
【举一反三4】请指出图中的位似图形，并说明理由．
【举一反三5】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么 ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？
【题型4】位似图形的性质
【典型例题】下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A. 点E B. 点F C. 点G D. 点D
【举一反三1】△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′BC′的位似比是2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ）
A. 2：3 B. ： C. 4：9 D. 8：27
【举一反三2】如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A. 1：6 B. 1：5 C. 1：4 D. 1：2
【举一反三3】定义：如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后．使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，△A1BC1是△ABC以点B为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点B为转似中心的另一个转似三角形△A2BC2（点A2、C2分别与A、C对应）的边A2C2的长为 ．
【举一反三4】如图，△ABC与△DEF是位似图形，点B的坐标为（3，0），则其位似中心的坐标为 ．
【举一反三5】如图所示，由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…，正△AnBnCn组成的相似图形，其中第一个△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点，…，An是OAn﹣1的中点，顶点B2，B3，…，Bn．C2，C3，…，Cn都在B1C1边上．
（1）试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；
（2）求出第n个三角形△AnBnCn（n≥2）的周长．
